微積分與概率論的初步設想

林 群，薛曉歡

（中國科學院 數學與系統科學研究院，北京 100190）

微積分與概率論的初步設想

林 群，薛曉歡

（中國科學院 數學與系統科學研究院，北京 100190）

微積分中各種測量都會出現同一公式：．在概率論中，這一比例數只在概率意義下成立．

微積分；概率論；相對真理；絕對真理；比例數； 9.0˙

1 微 積 分

微積分是什么？站高些，統一到一個哲學公式，帶有比例數

它揭示了追求真理的數字化過程：要經多道坎（即0.9，0.99，0.999，…）再將比例提到1．或者說，相對真理不可能100%正確，只能正確到90%，99%，99.9%，…

就像“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”．

微積分各個公式，歸根結底只是這個公式的具體化．舉例：

1. 求圓面積，是絕對真理

所以要經過若干坎，0.9，0.99，0.999，…，簡言之，有公式（1）．

2. 更一般，求曲邊圍成的面積，是絕對真理

“達布小和”（曲邊下面小矩形面積之和）是相對真理，它們的比值也要經過若干坎，0.9，0.99，0.999，…，簡言之，也有公式（1）．但這里的絕對真理是未知數，可以通過下面不等式

來求面積．

3. 求圓周長，是絕對真理，正多邊形周長是相對真理，它們的比值

也要經過若干坎，0.9，0.99，0.999，…，簡言之，也有公式（1）．

4. 求曲線弧長，是絕對真理

黑色三角形的斜邊長是相對真理，它們的比值

也要經過若干坎，0.9，0.99，0.999，…，簡言之，也有公式（1）．

甚或曲率，可作為求弧長的副產品．

5. 求曲線高，是絕對真理

黑色三角形的高（稱微分）是相對真理，它們的比值也要經過若干坎，0.9，0.99，0.999，…．簡言之，也有公式（1）．

這里的絕對真理（全高）是已知數．這就是微積分的核心——牛頓-萊布尼茨公式．

6. 求物體的體積，是絕對真理

小柱體的體積是相對真理，它們的比值

也要經過若干坎，0.9，0.99，0.999，…，簡言之，也有公式（1）．

7. 求旋轉體的側面積，是絕對真理

小柱體的側面積是相對真理，它們的比值

也要經過若干坎，0.9，0.99，0.999，…，簡言之，也有公式（1）．

2 生活中更簡單的例子

講幾個故事，它們背后隱藏著微積分的哲學．在中國，最有名的當推《莊子·天下篇》的一句話：一尺之錘，日取其半，萬世不竭．

在這里，所有切去的部分是相對真理，全長是絕對真理，但是切去的部分會逐漸靠近全長，即比值（或比例）

數據化：

即9的個數在增多．如果改變取法，即1尺之繩，日取其九，漸得全長，萬世不竭，將有整齊的結果．仔細說，1尺之繩，每次切去剩下的90%，那么剩下的部分會越來越短，而切去的部分會以0.9，0.99，0.999，…，整齊的方式，越來越接近1尺．數據化：

次數 剩下所占比值 切去所占比值1 0.1 0.9 2 0.01 0.99 3 0.001 0.999 4 0.000 1 0.999 9 5 0.000 01 0.999 99

次數 剩下所占比值 切去所占比值1 0.9 0.1 2 0.81 0.19 3 0.729 0.271 4 0.656 1 0.343 9 5 0.590 49 0.409 51 6 0.531 441 0.468 559 7 0.478 296 9 0.521 703 1 8 0.430 467 21 0.569 532 79 9 0.387 420 489 0.612 579 511 10 0.348 678 440 1 0.651 321 559 9 11 0.313 810 596 1 0.686 189 403 9 12 0.282 429 536 5 0.717 570 463 5 13 0.254 186 582 9 0.745 813 417 1 14 0.228 767 924 6 0.771 232 075 4 15 0.205 891 132 1 0.794 108 867 9 16 0.185 302 018 9 0.814 697 981 1 17 0.166 771 817 0.833 228 183 18 0.150 094 635 3 0.849 905 364 7 19 0.135 085 171 8 0.864 914 828 2 20 0.121 576 654 6 0.878 423 345 4 21 0.109 418 989 1 0.890 581 010 9 22 0.098 477 090 2 0.901 522 909 8

這里，每次切去10%，即每次剩下90%，全長減去剩下，就是切去的部分．

從上面的幾個例子可以看到，不論每次取法如何，都有比值

在生活中可以舉出許多例子，卻有著相似的結果．

（1）霍金說，一本書多一個公式，少一半的讀者．數據化：

公式數 讀者比例 放棄者比例1 0.5 0.5 2 0.25 0.75 3 0.125 0.875 4 0.062 5 0.937 5 5 0.031 25 0.968 75 6 0.015 625 0.984 375 7 0.007 812 5 0.992 187 5

這里，隨著公式的不斷增加，放棄閱讀的讀者人數是相對真理，所有的讀者人數是絕對真理，那么，隨著公式增加，就有比值

（2）在洗衣服的時候，每換一次水，都會洗去90%的污漬，洗的次數越多，衣服就會越干凈．數據化：

次數 剩下的污漬所占比例 洗去的污漬所占比例1 0.1 0.9 2 0.01 0.99 3 0.001 0.999 4 0.000 1 0.999 9 5 0.000 01 0.999 99

這里，隨著洗滌次數的不斷增加，洗去的污漬是相對真理，所有的污漬是絕對真理，那么就有比值

（3）類似的，在冶煉黃金時，每次都提升90%的純度．數據化：

次數 剩下的雜質所占比值 黃金純度1 0.1 0.9 2 0.01 0.99 3 0.001 0.999 4 0.000 1 0.999 9 5 0.000 01 0.999 99

這里，隨著冶煉次數的不斷增加，得到的黃金是相對真理，純金是絕對真理，那么，就有比值

（4）秋天到了，有一棵樹每天都會掉落10%的葉子，還是類似的一張表．

注：每天掉落10%，即每天剩下90%，全部減去剩下，就是掉落的葉子

這里，隨著時間的不斷增加，落葉是相對真理，所有的樹葉是絕對真理，那么就有比值當葉子掉光的時候，冬天就到了．

在測量一根1米長的木棒時，每次都利用刻度更密，精度更高的工具，使得測量結果增加一位小數，測量結果如下表：

次數 精確到的位數 測量結果1 0.1 0.9 2 0.01 0.99 3 0.001 0.999 4 0.000 1 0.999 9 5 0.000 01 0.999 99

這里，測量結果0.9，0.99，0999，…，是相對真理，實際長度1是絕對真理．那么就有比值

還有非常類似的故事，需要化整為零，也是測量精度會影響最后結果，叫愚公量山．愚公家門前有一座高山，愚公想知道山高，但是方法粗糙，工具有限，只能測出山高的90%，但是經過不斷改進，每次都利用刻度更密工具，精度更高的方法，使得測量結果增加一位小數，測量結果如下表：

分割次數 測量精度 測量結果1 0.1 0.9 2 0.01 0.99 3 0.001 0.999 4 0.000 1 0.999 9 5 0.000 01 0.999 99

這里有一個巧合，分割精度恰好與測量精度相等．

這里，測量結果0.9，0.99，0999，…，相對真理，實際長度1是絕對真理．那么就有比值

有人說：“你們一家永遠得不到精確的山高，不要白費功夫了！”愚公坦然回答：“汝心之固，固不可徹，子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫；子子孫孫無窮匱也，而山不加增，何苦而不得山高？”

以上故事各不相同，卻有著驚人的相似，都有一個共同的特點：不斷重復，每次都以一定比值進行，最后都出現．特別是愚公量山的故事，需要化整為零，不斷重復測量，并且測量儀器的刻度越密，測量方法的精度越高，9的個數就會越多，直至最后出現．這樣就可以看到，精度的大小（局部的比值），直接影響了最后的測量結果（整體的比值），即9的個數．

3 理論分析

從實驗數據中已看到規律，下面通過理論證明這些規律．

1. 面積

來看求圓面積的例子，其實，面積有著實際的意義：直接可以用來計算．圖中的角為，半徑為1．

正n邊形 多邊形面積 與圓面積之比6 2.598 1 0.827 0 7 2.736 4 0.871 0 8 2.828 4 0.900 3 9 2.892 5 0.920 7 10 2.938 9 0.935 5 12 3.000 0 0.954 9 14 3.037 2 0.966 8 16 3.061 5 0.974 5 18 3.078 2 0.979 8 20 3.090 2 0.983 6 25 3.108 6 0.989 5 30 3.118 7 0.992 7 35 3.124 7 0.994 6 40 3.128 7 0.995 9 50 3.133 3 0.997 4 60 3.135 9 0.998 2 70 3.137 4 0.998 7 80 3.138 4 0.999 0 90 3.139 0 0.999 2 100 3.139 5 0.999 3

類似的，在計算其它圖形的面積時，仍采用上述思想，也就是：，所以分子即面積，或積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來算．

舉個例子，y=x在[0,1]，此時曲邊梯形變為一個直角三角形，且面積為0.5．

利用達布和來計算

分割數 達布和 面積比2 1 4 0.5 3 1 3 0.6·4 8 0.75 3 5 2 5 0.8 6 12 0.833 33 5 7 3 7 0.857 142 857 1 8 16 0.875 7 9 4 9 0.888 888 888 9 109 20 0.9 1111 0.909 090 909 1 5 1211 24 0.916 666 666 7

通常的做法是：將區間分割，利用小矩形面積的和S來計算

但是，可以看到，這是有誤差的，但是，隨著分割的加密，S也在不斷地增加，取一個曲邊梯形來看，用個數越多的矩形來代替小的曲邊梯形，結果越精確．

可以看到，分割越密，S越大，但是S不會超過曲邊梯形的面積，就像0.999…在不斷接近于1卻不會超過1一樣，這樣，隨著分割加密，小矩形的和會逐漸靠近一個數Sb，就像0.999…逐漸靠近1一樣，那么Sb就是曲邊梯形的面積，顯然，Sb是一個關于b的函數，把它定義為lnb．

注：*：**：

2. 弧長公式

前面已經知道了如何求山高，現在來看一個更加有意思的問題，如何來求上山走過的路程？

還是回到曲線求高圖：

在每一個小的直角三角形中，底為h，高微分為f′(x)h，那么根據勾股定理，可以得到小直角三角形的斜邊長為，將各個小直角三角形斜邊之長加起來就得到曲線弧長的近似值，且隨著分割加密，得到的值會越精確．

還是舉圓周求長的例子來說明．

單位圓x2+(y-1)2=1在區間[0,1]的弧長．

五次分割

點 0 0.2 0.4 0.6 0.8斜邊長 0.2 0.204 1 0.218 2 0.250 0 0.333 3十次分割點 0 0.1 0.2 0.3 0.4斜邊長 0.1 0.100 5 0.102 1 0.104 8 0.109 1點 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9斜邊長 0.115 5 0.125 0 0.140 0 0.166 7 0.229 4

二十次分割

點 0 0.05 0.1 0.15 0.2斜邊長 0.05 0.050 1 0.050 3 0.050 6 0.051 0點 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45斜邊長 0.051 6 0.052 4 0.053 4 0.054 6 0.056 0點 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7斜邊長 0.057 7 0.059 9 0.062 5 0.065 8 0.070 0點 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95斜邊長 0.075 6 0.050 2 0.094 9 0.114 7 0.160 1

來看計算的結果

分割次數 5 10 20斜邊長的和 1.205 6 1.293 1 1.331 4比值 0.767 5 0.823 2 0.847 6

3. 曲率

有了弧長公式之后，就可以研究曲線在一點處的彎曲程度，曲線的曲率，dα是角度的變化，ds是弧長的變化，定義

tanα=f′(x)，α=arctan(f′(x))，dα=(arctan(f′(x )))dt ，帶入計算即得

4. 體積

對于一般物體的體積計算，將其切片之后利用小的柱體來計算，設小柱體底面積為A(xi)，高為Δxi，柱體體積和，那么隨著切片的加密會以0.9*，0.99*，0.999*，…的方式不斷靠近1．

會以0.9*，0.99*，0.999*，…的方式不斷靠近1．

5. 旋轉體的側面積

那么

會以0.9*，0.99*，0.999*，…的方式不斷靠近1．所以旋轉體的體積即積分，后者可由牛頓-萊布尼茨公式來算．

6. 級數

再來看看在剪繩子的例子中得到的兩種方法，隨著n的不斷增大，左邊的求和項不斷增加，但是從右邊來看，(1-q)n逐漸減小，和式逐漸靠近1．可以得到等比數列的求和公式

（根據（1），

兩邊乘以q-1，令qp-=1即可得到）．

不是所有的和式都會隨著n的增大靠近一個固定常數

如果an=pn，(0＜p＜1)，從（2）已經得到

隨著N的增大，1-pN會以0.9，0.99，0.999，…的方式不斷靠近1．

N 1 6 10 15 SNS 0.333 3 0.912 2 0.982 7 0.997 7 N 20 25 30 35 S S 0.999 7 0.999 96 0.999 995 0.999 999 3 N

從例子中可以看到

隨著N的不斷增大，以0.9，0.99，0.999，…的方式不斷靠近1．

所以，級數也可以用比值的方法來研究，收斂的級數也會出現 ． 9.0˙

7. 測度

在測度論中，若E?∪Ai，則外測度滿足

康托爾集

康托爾集C是由不斷去掉線段的中間三分之一而得出，那么

隨著過程的不斷重復，可得m(C)=0，即康托爾集的“長度”為0，卻含有無窮多的元素．

依測度收斂：設{fn(x)}在X上依測度收斂于f(x)，即

4 概率論初步設想

概率論的兩個基本定理：大數定律和中心極限定理，也可能納入前面的哲學框架．

統計學本身就是研究數據和處理數據的學科，可以看到，上述思想在統計學中同樣出現．下面出現的分式，都假設是有意義的．

1. 大數定律

（1）設在n次伯努利試驗中，事件X發生的次數為nx，事件X在每次實驗中發生的概率為p，那么對于任意的ε＞0隨著n的不斷增大，會以0.9，099， 0.999，…的方式靠近1．

（2）設隨機變量列X1，X2，X3，…，Xn，…獨立同分布，且E(Xi)=μ (i=1，2，…，n)，則對任意的ε＞0隨著n的不斷增大，會以0.9，099， 0.999，…的方式靠近1．

2. 中心極限定理

（1）若μn是n次Bernoulli實驗中事件A出現的次數，P(A)=p，0＜p＜1，則對任意區間[a, b]

會逐漸靠近1，即

會以0.9，099，0.999，…的方式靠近1．

（1.2）隨著n的不斷增大，

會逐漸靠近1，即

會以0.9，099，0.999，…的方式靠近1．

（2）設隨機變量列X1，X2，X3，…，Xn，…獨立同分布，且具有有限的期望和方差，

則隨著n的不斷增大，

會逐漸靠近1，即

會以0.9，099，0.999，…的方式靠近1．其中

是標準正態分布的分布函數．

釘板實驗，將小球從頂端釋放，下落的位置如下圖，類似正態分布的鐘形曲線．

3. 數據實驗

徐美萍、李琴對概率與統計中的上述理論做了計算，證實公式（1）在概率意義下會出現，但她們在算例中發現：不像一般微積分的數列那樣出現，只是在概率意義下．所以，公式（1）不同領域可能有不同的意義．這是值得注意的地方．另外，陳竑燾還利用隨機數求積分，哲學公式的比值還是統一到同一數．

總的來說，這里只是對微積分與概率論做了初步考察（這兩個領域的專著太多，這里僅列舉研究者感興趣的幾篇文獻：[3]、[4]以及[5]、[6]、[7]、[8]、[9]），別的領域有沒有類似現象，更值得探討．所以這里只是拋磚引玉．

致謝：本文是在天津師范大學國培計劃的一個講座．作者由衷地感謝天津師范大學王光明教授提供的機會以及魏文元教授對概率部分的指導性意見，他們使本文的最后成文成為可能．

[1] 林群．微積分快餐（第三版）[M]．北京：科學出版社，2013．

[2] 林群．微積分 讓數據說話[J]．數學教育學報，2013，22（5）：1-3．

[3] 張景中．不用極限的微積分[M]．北京：中國少年兒童出版社，2012．

[4] 朱成熹，魏文元．馬爾柯夫決策規劃的強最優準則[J]．數學年刊，1993，14A（1）：118-127．

[5] 王光明．關于數學教育學科課程設置的一些思考[J]．數學教育學報，1997，6（4）：16-19．

[6] 王光明．高效數學教學行為的特征[J]．數學教育學報，2011，20（1）：35-38．

[7] 李紅玲．現有大學文科數學教材中存在不足的思考[J]．數學教育學報，2012，21（1）：92-94．

[8] 李紅玲．瑞典非政府教育改革項目“身體與靈魂”的分析與啟示[J]．數學教育學報，2013，22（2）：62-66．

[9] 張玉環，Alain Leger，王沛．中法高中最新數學課標幾何比較研究[J]．數學教育學報，2013，22（5）：37-41．

Some Initial Thoughts for Calculus and Probability

LIN Qun, XUE Xiao-huan (Academy of Mathematics and System Science, Chinese Academy of Science, Beijing 100190, China)

Various measurements in calculus appear the same formula:. In probability, however, such a ratio number, appears only in the sense of probability.

calculus; probability; absolute truth; relative truth; ratio number; 9.0˙

G40-03

：A

：1004–9894（2014）01–0001–08

[責任編校：周學智]

2013–12–26

國家自然科學基金——用戶友好型高效數值方法研究及應用（11031006）

林群（1935—），男，福建連江人，數學家，中國科學院院士，主要從事計算數學研究，并致力于數學普及．