偏微分方程課程研究型教學(xué)的一個實(shí)例剖析

朱長江

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

偏微分方程課程研究型教學(xué)的一個實(shí)例剖析

朱長江

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

教育部倡導(dǎo)研究型教學(xué)已近十年，全國各高等院校都選擇了若干課程開展研究型教學(xué)，取得了良好的教學(xué)效果．作者在講授《偏微分方程》課程時，對如何開展研究型教學(xué)進(jìn)行了嘗試，并就《偏微分方程》課程教學(xué)中的一個實(shí)例，談點(diǎn)關(guān)于研究型教學(xué)的認(rèn)識，供廣大研究者參考．

研究型教學(xué)；偏微分方程；實(shí)例剖析

為了進(jìn)一步加強(qiáng)素質(zhì)教育，2005年教育部發(fā)文《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見》倡導(dǎo)在本科教學(xué)課堂實(shí)施研究型教學(xué)[1]．文中明確提出：“積極推動研究性教學(xué)，提高大學(xué)生的創(chuàng)新能力．”所謂研究型教學(xué)，就是指在教學(xué)活動中，以學(xué)生為中心，真正把學(xué)生主體能動性的發(fā)揮放在教學(xué)活動的首位，使學(xué)生學(xué)會模擬科學(xué)研究的方法和過程，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題．在課堂教學(xué)方面，要從傳統(tǒng)的以教師為中心的知識傳授型向知識傳授與探索相結(jié)合轉(zhuǎn)變，多采用開放式、研討式、探究式和自學(xué)輔導(dǎo)式等方法，師生互動，以調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的求知欲和創(chuàng)造性．為了落實(shí)教高【2005】1號文件精神，全國各高等院校都選擇了若干課程開展研究型教學(xué)，取得了良好的教學(xué)效果，在培養(yǎng)創(chuàng)新型高素質(zhì)人才方面發(fā)揮了重要作用．作者所講授的《偏微分方程》課程作為國家級、省級和校級精品課程，被選為研究型教學(xué)示范課程．下面介紹在《偏微分方程》課堂開展研究型教學(xué)的一個教學(xué)實(shí)例，談點(diǎn)關(guān)于研究型教學(xué)的認(rèn)識，和大家交流．

1 實(shí) 例

在《偏微分方程》的教學(xué)中，有一節(jié)是講授如何求解一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題

其中 ，],0[lC∈φ0)()0(==lφφ ．

首先，按照傳統(tǒng)教材的講法，采用“分離變量法”來求解問題(1)．其解可由如下Fourier級數(shù)表示：

2 問題提出

大家知道，半直線上熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題可像利用波的反射原理求解半直線上的波動方程一樣，通過熱的反射原理來求解．那么一個自然的問題就是：有限區(qū)間上熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題(1)能否也能像利用波的反射原理來求解波動方程的初邊值問題一樣，通過熱的反射原理來求解？

2.1 分組討論

將全班學(xué)生分成4個小組，每組民主推薦一名組長，由組長負(fù)責(zé)組織討論．教師在各小組之間巡視，必要時進(jìn)行指導(dǎo)，注意老師的指導(dǎo)不能代替學(xué)生的獨(dú)立研究和討論．

2.2 小組總結(jié)

經(jīng)過小組討論后，由小組組長寫出討論結(jié)論．結(jié)果3個小組得到了非常完整正確的解答，只有一個小組解答不夠完整．其中一組學(xué)生討論答案簡介如下：

利用熱的反射原理，可以得到問題(1)的解的表達(dá)式如下：

其中

證明：先將函數(shù)φ(x)奇延拓到[-l,l]上，然后以2l為周期延拓到整個實(shí)軸上，設(shè)延拓后的函數(shù)為Φ(x)，即

考慮如下輔助Cauchy問題

由于φ(x)在[0,l]上連續(xù)，因此φ(x)在R1上連續(xù)，由Cauchy問題的Poisson公式知，Cauchy (6)的解為

由于Φ(x)是奇函數(shù)，G(x,t)關(guān)于x是偶函數(shù)，故有

同時，由于Φ(l-x)是關(guān)于點(diǎn)l的奇函數(shù)，即

故有

由此可見由(7)—(8)所確定的函數(shù)u(x,t)當(dāng)0≤x≤l，t≥0時就是問題(1)的解，它可以寫為

其中k(x,y,t)由(4)表示．

3 問題延伸

經(jīng)過學(xué)生的討論總結(jié)后，教師又提出了兩個問題：

問題一：由利用“熱的反射原理”獲得的解(3)—(4)和用“分離變量法”獲得的解(2)在形式上不盡相同，它們是同一個解嗎？如果是，如何證明？

問題二：用“分離變量法”和“熱的反射原理”給出了初邊值問題(1)的求解公式，能否用相同的方法求解如下Neumann初邊值問題

其中φ∈C[0,l]，φx(0)=φx(l )=0？

以上兩個問題作為課外討論題，同學(xué)們通過4天（離下一次偏微分方程課的時間）的討論與研究，也得到了正確的答案．學(xué)生討論答案簡介如下．

3.1 問題一答案

初邊值問題(1)由分離變量法求出的解(2)與由熱的反射原理求出的解(3)—(4)是相同的，是Poisson公式的兩種不同表現(xiàn)形式．

證明如下：

首先，由數(shù)學(xué)分析知識易證如下等式成立

再由(5)知)(xΦ 有如下形式的Fourier級數(shù)：

所以

由(11)知

將(13)代人(12)得

由(9)可知，上式右邊的項(xiàng)可寫成

其中k(x,y,t)由(4)表示．

(10)3.2 問題二答案

結(jié)論一：利用熱的反射原理給出問題(10)的解為

其中

結(jié)論二：利用分離變量法（見文獻(xiàn)[3]—[8]）給出問題(10)的解為

結(jié)論三：初邊值問題(10)由(15)—(16)給出的解與由(17)給出的解是相同的，它們是Poisson公式的兩種不同表現(xiàn)形式．

4 教學(xué)效果

這次研究型教學(xué)實(shí)例表明：一方面，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性得到了很大的提高，激發(fā)了他們迫切的學(xué)習(xí)愿望、強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動機(jī)和高昂的學(xué)習(xí)熱情．學(xué)生普遍認(rèn)為，這次課堂的研究型學(xué)習(xí)，始終是從重點(diǎn)和難點(diǎn)問題出發(fā)，經(jīng)過學(xué)生分組研討，得出結(jié)論，最后到解決問題終結(jié)，這種讓學(xué)生在教學(xué)環(huán)節(jié)中體驗(yàn)科學(xué)研究的全過程的全新教學(xué)方式，使學(xué)生自身的分析問題能力、綜合歸納能力、科學(xué)創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力得到了鍛煉和發(fā)展．既理解和掌握了所學(xué)新知識，又對前面已學(xué)習(xí)的關(guān)于“波的反射原理”有了更深刻的理解，是快樂學(xué)習(xí)的一個最佳嘗試．

[1] 中華人們共和國教育部．關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見[Z]．教高〔2005〕1號．

[2] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations [Z]. Providence, RI: American Mathematical Society, 1998.

[3] Walter A. Strauss, Partial Differential Equations-An Introduction [M]. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1992.

[4] 陳恕行，秦鐵虎．?dāng)?shù)學(xué)物理方程——方法導(dǎo)引[M]．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1991．

[5] 陳祖墀．偏微分方程[M]．合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002．

[6] 朱長江，鄧引斌．偏微分方程教程[M]．北京：科學(xué)出版社，2005．

[7] 姜禮尚，陳亞浙，劉西垣，等．?dāng)?shù)學(xué)物理方程講義（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1996．

[8] 谷超豪，李大潛，陳恕行，等．?dāng)?shù)學(xué)物理方程（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2002．

[9] 朱長江，蔣咪娜，阮立志．“偏微分方程”研究型教學(xué)的理論與實(shí)踐[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2012，21（2）：53-55．

An Illustrative Example of the Research-Based Teaching in Partial Differential Equations Course

ZHU Chang-jiang
(School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

The Ministry of Education of China initiated the research-based teaching for almost 10 years. Several courses were attempted to teach by applying the research-based teaching model in a large number universities and colleges. It turned out that this teaching model is very popular. I also made a little attempt on how to carry out research-based teaching when I taught course of partial differential equations. In this paper, I will demonstrate the research-based teaching method by a concrete example in partial differential equations teaching. In addition, my some opinions on research-based teaching model are also presented as a reference.

research-based teaching; partial differential equations; example analysis

G420

：A

：1004–9894（2014）01–0063–03

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2013–10–26

教育部財政部2010年度國家級精品課程“偏微分方程”建設(shè)項(xiàng)目（教高函【2010】14號）；教育部財政部2010年度國家級教學(xué)團(tuán)隊(duì)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)主干課程”建設(shè)項(xiàng)目（教高函【2010】12號）；2012年湖北省本科高校“專業(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合改革試點(diǎn)；國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目——流體力學(xué)方程的數(shù)學(xué)理論（11331005）；教育部“創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計劃”項(xiàng)目——非線性偏微分方程及相關(guān)問題的研究（IRT13066）

朱長江（1961—），男，湖北監(jiān)利人，教授，博士，主要從事非線性偏微分方程的研究．