幾何教與學的現代發展
——ICME12幾何組研究綜述

王林全

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

幾何教與學的現代發展
——ICME12幾何組研究綜述

王林全

（華南師范大學 數學科學學院，廣東 廣州 510631）

第12屆國際數學教育大會（ICME12），設有《幾何的教與學課題研究（TSD10）》研究組，華南師范大學王林全負責論文征集、組織、評審等工作．在此基礎上，試圖概括當前幾何教與學的新理念和新趨勢．論文包括理論的、經驗的以及發展中的問題．集中論述6個方面：（1）新課程的教學與實施，問題與挑戰．特別關注變換在幾何教與學中的地位與作用；（2）幾何在現實世界中和其它科目中的運用；（3）在幾何的教與學中，使用計算機等儀器的理論與實踐；（4）幾何教與學對概念與原理的解釋、論理和證明的作用；（5）培養學生的空間能力與相關的推理論證能力；（6）幾何教育中的師資培訓與準備．其中，幾何變換和動態幾何環境對教與學的影響受到特別關注．

幾何的教與學；幾何變換；動態幾何環境；空間能力；幾何應用

幾何的教與學是當前數學課程與教學改革的重大問題，如何設置適當的教學內容體系，如何改進教與學的途徑，受到各國教學同仁的普遍關注．2012年第12屆國際數學教育大會（ICME12）設有“幾何專題研究組（TSG10）”對上述問題進行了熱烈討論．華南師大王林全與法國的Colette教授一起，共同擔任該組聯合組長，參與了該組論文征集，會后材料整理，總結分析等工作．現把研討過程，成果與收獲與作一綜述．

1 研究目的明確 突出6個方向

TSG10給參與者提供一個講壇，用以討論國際幾何教與學的問題，包括理論的、經驗的和發展中的問題，幾何組征集專題有以下6個方面：

（1）新課程的教學與實施，問題與挑戰．特別關注變換在幾何教與學中的地位與作用；

（2）幾何在現實世界中和其它科目中的運用；

（3）在幾何的教與學中，使用計算機等儀器的理論與實踐；

（4）幾何教與學對概念與原理的解釋、論理和證明的作用；

（5）培養學生的空間觀念與相關的推理論證能力；

（6）幾何教育中的師資培訓與準備．

上述熱點來自于歷史上的、認識論的、認知的以及符號學上的相關問題．在討論中，持有不同教育觀點的學者互相學習，探討學生幾何學習現狀，探討課程發展的未來趨向．

幾何組收到稿件40篇，為了便于交流，大會把TSG10切割為兩個小分組．安排3個時段（3*90分）供各組進行討論．另設一個時段（90分）供各組張貼大字報及自由交流．幾何組參與者來自于南美洲，北美洲，亞洲和歐洲的12個國家，共四十余人．

幾何組收到各國學者的論文數見表1．

表1 幾何組收到各國學者的論文數

2 核心組織引領 交流形式多樣

大會為TSG10設立了由6位成員組成的核心組．每一篇稿件都要經過核心組兩位成員審閱．核心組向作者提出點評與建議．經核心組以電郵方式投票，投稿者分別獲得不同邀請：

3位作者受邀40分鐘長篇發言，他們全部接受邀請，到會發言；

17位作者受邀作20分鐘短時發言（其中有14位出席，3位缺席）．

20位作者受邀張貼大字報（其中有16位作者出席，4位缺席）．事實上，由于參加大字報專場的人數超過受邀人數，又因大會安排給每個小分組設有專場活動室，在大字報專場的時間，參加者十分活躍，張貼者有幸得到機會，向同行作簡短發言．其他參與者積極投入，相互切磋，氣氛熱烈，收到較好的效果．

3 交流題材廣泛 研究內容豐富

3.1 討論范圍寬廣 年級跨度較大

論文范圍寬廣，從小學到初中，從大專到大學．既論述課程與教材，也論述教法與學法．涉及到數學內容豐富，包括數與形的緊密聯系、幾何問題研究、數學推理證明、平面幾何、立體幾何、坐標幾何、球面幾何、幾何變換等在新課程的地位，動態幾何環境對數學學習的影響，等等．

題材與內容及學科與層次見表2．

表2 題材與內容及學科與層次

3.2 探討圖形奧秘 展示研究成果

“形”的概念有時可以用實物進行類比．例如，角的概念可以類比為石頭的一角．美國尤西斯金教授認為“形”的概念可以從多方面予以表述：

（1）它是指某圖形，就如數學課本中的許多不同的幾何圖形；

（2）它是指一類圖形，可以被陳述為某個幾何對象，具有規定的形狀；

（3）是指某類圖形所具有的的特性，比如兩個圖形全等，它們的形狀相同，對應度量相等；又如兩個圖形相似，可以陳述為“它們的形狀一樣”．

尤西斯金經過調研認為，學校幾何中“形”的概念可以在4個方面擴展：

第一方面，坐標幾何．通過坐標系的建立，形的性質得以從量方面予以精確地描述；

通常在一個典型的自組網絡中每個節點都配備有一對收發器，其發射功率和通信范圍相同，這種同構網絡架構可以被建模為隨機幾何圖［2］。在該模式中，只要節點間的距離小于通信覆蓋范圍就可以互相溝通，這取決于收發器的發射功率。

第二方面，幾何變換．通過變換，進一步研究其運動中的不變性質；

第三方面．幾何的應用，使人們看到“形”與現實生活的聯系，展示了“形”的魅力及其在現實世界中的價值；

第四方面，以幾何軟件為代表的動態的幾何環境．它使人們有可能揭示“形”的不常見、不易見的結構與關系．為對“形”的進一步探索打下基礎．

尤西斯金讓人們對現實世界各種形體重新審視并整體把握．在認識論指導下，把相關的幾何對象用圖表聯系、串活，形成新的概念系統．這帶動了幾何教與學的一系列研究．

4 面向現實世界 聯系學生認知

4.1 展開深入調研 收集分析數據

在三維情況下，學生對幾何圖形的認識，有更寬廣的途徑，也面臨更多的挑戰．德國的路德維格教授報告了一個精彩的研究成果．他對242位10—15歲的學生作了一項調查．要他們識別一個組多面體，探索它們的面數、棱數和頂點數之間有何規律．不同年齡組學生遇到不同的挑戰．低年級學生傾向于使用實際模型，但是他們在抽象概括數量關系方面遇到挑戰；高年級學生試圖使用計算機制圖，但是這種方法的成效也不盡人意，學生在動態軟件的設計方面遇到障礙；部分學生雖然學過歐拉定理，但是他們也礙于思路遺忘，或因不能把定理與具體的問題情境加以轉換，或思考過程受阻，或符號表述受困．對于12歲到15歲學生，如果直接告知定理，學生就沒有機會享受抽象與概括，探索與發現的樂趣．總之，各法都有得失．一個教師根據布魯納教學目標分類設計，引導學生對不同的幾何體進行度量，鼓勵學生對圖形想象與表述．各種問題存在差異，問題差異或情境差異在較大的程度上影響學生的決策．問題的不同數學表述形式，也影響學生的數學決定．他們在形成猜想，證明推斷方面，受到不同的挑戰．

對于12—15歲學生而言，選取某種表述形式解決幾何問題，可能會有助于或有礙于建構推理過程．對某個問題，有的學生可能認識某個定理，用它本可以使該問題迎刃而解，但部分學生未必發現解題思路．瓊斯舉出一些例子說明，如果過分強調某特定的表述，可能成為識別同一屬性其它表述的障礙．學生在解釋圖形方面的困難，也會導致思路受阻．這些情況，在德國、日本和英國，都是普遍存在的．幾何與現實世界的廣泛聯系，可能成為發現新思路和新方法的基礎．它也許比人們所預想的更為復雜．有些時候，聯想現實世界的問題，對學生是非常有幫助的．

圖1 不同表述形式的探索

盡管幾何學習對象具有不同程度的抽象性，然而，“形”的可視性和可操作性也在加強，它仍然是人們認識現實世界的有效方法．

4.2 聯系不同學科 注意校正混淆

例2 德國的貝姆教授指出，數學與物理在某些問題上存在潛在的混淆現象．例如，當指導學生學習軸反射的時候，教師往往利用自然界的現象——鏡像，作為軸反射的數學模型．然而，軸反射真的可以作為物理中鏡像的數學模型嗎？在對鏡像與軸反射進行比較研究的基礎上，貝姆教授發現它們存在非常相關又容易混淆的現象．

經驗數據表明，必須注意這樣一個事實，自然現象可以說明數學原理，但自然現象本身未必就是數學對象．學生在建模中可能遇到知識不足的情況，教師要做好知識鋪墊，必須注意使用數學模型與數學教學的聯系與區別．實驗結果表明，當科學模型被分解為不同的學科領域時，需要以多樣化的觀點，把各個學科領域的知識分別剖析給學生，這樣有助于學生加深理解，校正混淆．

5 建設動態環境 鼓勵探索發現

現實世界的實物和幾何學的對象之間的聯系，可以從實物操作中獲得感受．例如在中學，操作平面幾何圖形或立體模型．這可以從操作細繩、剪刀、幾何板等開始．佛吉亞諾強調兒童的實際操作在建構幾何對象的意義和聯系方面有重要意義．佛吉亞諾老師結合利用動態軟件和動手操作，取得到結論，認為多媒體環境的綜合應用，在小學數學教學中具有新的特性，它擴展了操作的范圍，也擴展了思維活動的范圍．

當學生投入到由教師適當地設計的任務中，才能達到有效的構建．一位教師要求學生們借助于動態的幾何環境中，把二維圖形的某些性質擴展到三維．觀察表明，學生不僅驗證了他們的猜想，而且在后續的學習中還證明了他們的猜想．美國一組大學生通過思考與探索，嘗試構建了球面幾何的公理體系．

林德曼執行了一項調查，并提出了一個挑戰性的問題：在大學數學學習中，那種學習環境收效更大？是傳統的學習環境呢，還是動態學習環境呢？研究的結果，人們并未發現它們顯著的差異．但是林德曼認為，學生用軟件學習，他們還收獲了與軟件相聯系的其它性質．

6 提倡比較研究 鼓勵取長補短

6.1 土耳其與美國的比較

人們從兩個方向進行研究，其一是對幾何變換的處理，其二是教師對幾何變換的知識準備．拉斐爾把美國州共同核心數學標準（CCSSM）和土耳其的數學課程標準做了比較，并在學習美國標準的基礎上加強了土耳其當前的課程，同時加強了職前數學教師培訓．教育部門采取有效措施，指導職前教師學習幾何變換和幾何問題解決的知識．西格報告說明如何用幾何變換的觀點，正確理解相似概念．

6.2 西班牙與科索沃的比較

西班牙與科索沃教師進行了一項合作研究，它的基本目的是調查教師對幾何變換的理解如何，教師的理解在什么程度上影響學生對概念的理解，通過課堂教學，學生對幾何變換概念的理解狀況如何發展？該研究分析復合變換的每個成分，步驟與結果．為此，他們分別對教師進行了問卷調查，結果發現兩國教師對幾何變換意義的理解既有共性，也有差異．許多教師對幾何變換的理解，只停留在概念的定義上，未能舉出實例或利用實物說明變換的本質屬性，從而造成了學生理解概念的困難．

6.3 多種不同解法的比較

俄羅斯數學家Alexander Soifer指出，數學教育的基本目的是在課堂教學中展示數學是什么，數學家是如何做數學的．要想數學教學取得成功，就不只是通過教學，也在于形成一種氛圍，學生在這種氛圍中，通過做數學而學數學．一個真正的數學家，就應該致力于解決問題．要求不僅是演繹推理，而且要經歷解決問題，構建范例，從對問題的求解中，綜合過去經歷的各種水平，運用所學過的各分支、各專題的幾何思想與策略．他通過提出組合幾何問題，對天分高的學生進行挑戰．

對于梯形面積計算，中國臺灣和日本教師分別引導學生提出可能的解題策略，并用多種方法解決問題．通過解決問題的鍛煉，讓學生獲得成功的感受．

6.4 中國臺灣與中國大陸及新加坡教材的比較

臺灣大學譚克平教授指出，在臺灣有4個不同版本的教材，分析各教材在勾股定理的處理上有何區別．首先提出了分類法的方案，然后關注在每一種教材中，定理如何提出，如何闡述，如何證明，使用了哪些專業術語？如何解釋？在定理的證明中，是否自覺不自覺地使用了以前學過或將要學習的某些規定？有沒有循環論證之嫌？論文還比較了中國臺灣、中國大陸和新加坡對應教材的聯系與區別，并對在中學如何安排勾股定理的教學提出了見解．對新加坡、中國大陸和中國臺灣的教材，指出各地在何年級學習勾股定理，證明定理的方法，以及應用定理的途徑等．從譚先生的研究可以發現，三地對勾股定理的處理大同小異，共性甚多．中國大陸對勾股定理的研究，已經為臺灣同行密切關注．

綜上所述，幾何的教與學是一個豐富多彩的領域，同行從各種觀點 出發，提出行之有效的經驗，也指出面臨的許多緊迫問題．促進教育工作者面向未來，更多相互學習，達到學習、探討與交流的目的．

[1] Zalman Usiskin. The Shapes of Geometry and Their Implications for The School Geometry Curriculum [R]. 0129, TSG10 12th International Congress on Mathematical Education, 2012.

[2] Keith Jones. Promoting Productive Reasoning in the Teaching of Geometry in Lower Secondary School [R]. Towards a Future Research Agenda, 0846, TSG10, ICME12, 2012.

[3] Alexander Soifer. Some of My Favorite Problems of Combinatorial Geometry, Solved and Unsolved [R]. 0593，TSG10，ICME12, 2012.

[4] Agida Manizade. A Challenge for All, Developing the Area of a Trapezoid [R]. 1167, TSG10, 12th International Congress on Mathematical Education Program, 2012.

[5] Brian Lindaman. Investigating the Impact of Dynamic Geometry Software on College Students’ Learning of Euclidean geomertry [R]. 1247, TSG10, ICME-12, 2012.

[6] Hak Ping Tam. On the Arrangement of Topics in Plane Geometry in the Textbooks of Taiwan [R]. Using Pythagoras Theorem as an Example, 1257, TSG10, ICME-12 2012.

[7] Matthias Ludwig. A Comparative Study Among Different Forms of Presentations [R]. 0825, TSG10, ICME12, 2012.

[8] 王林全．國際數學課程發展與啟示——中，法，芬，美，澳，德六國課程新進展[J]．中學數學教學參考，2012，（9）：67-69．

[9] 王林全．ICME-12討論組的問題——目標、原理及其啟示[J]．中學數學月刊，2012，（4）：1-4．

Modern Development of Teaching and Learning of Geometry——Summarization of Study of TSG10, ICME12

WANG Lin-quan
(School of Mathematics Science, South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

Group of TSG10, ICME-12 provided a forum for discussion of the teaching and learning of geometry, with a focus especially on the middle and secondary school and university levels. The focus of the group was on theoretical, empirical, or developmental issues related to Curriculum studies of new curriculum implementation, challenges and issues, discussion of specific issues such as place and role of transformations; An application of geometry on the real world and other subjects; The use of instrumentation such as computers in teaching and learning of geometry; Explanation, argumentation and proof in geometry education; Spatial abilities and geometric reasoning; Teacher preparation in geometry education. The issues were addressed from the historical and epistemological, cognitive and semiotic, educational points of view related to students’ difficulties and related to the design of teaching and curricula. Based on the comprehension and discussion of the main contributions as in above, we tried to catch up with new tendency of teaching and learning of geometry.

teaching and learning of geometry; transformation of geometry; dynamic geometry environments; spatial abilities; an application of geometry

G40-03

：A

：1004–9894（2014）01–0066–04

[責任編校：周學智]

2013–10–05

建設具有廣東特色基礎教育課程教材體系項目（粵教研函［2013］18號）

王林全（1941—），男，廣東梅州人，教授，主要從事數學學習論、數學教育比較研究．