關于數學教育知識鏈的傳遞問題

黎景輝

（首都師范大學 數學科學學院，北京 100048）

關于數學教育知識鏈的傳遞問題

黎景輝

（首都師范大學 數學科學學院，北京 100048）

數學教育是知識傳遞鏈．新的數學, 特別是改變數學基本性質的新發現，對這個知識鏈的內容產生壓力．Voevodsky用拓撲學的同倫論建立了新的數學基礎，這里對新知識在數學教育鏈傳遞的一些問題、建議和對英才數學教育的影響進行探討．

數學教育；知識鏈；英才數學教育

1 引 言

小學中學大學數學教育是一個連在一起的有機體，變動任何一部分都會影響全身．可以把從小學到大學的數學教育看作一個知識傳遞鏈，也可以做個模型把這個知識傳遞鏈看作一根水管，數學知識就在這水管中流著．

記得楊振寧先生的父親楊武之教授說，民初中國大學數系只是講授三角幾何二次方程．今日這些已是中學數學的標準課程．這就是研究者在這里所講的：數學知識在這管里流著，以前是大學數學的內容，現在已經流到中學去了．同樣，現在大學本科數學的主力課程是矩陣線性代數，歐拉-黎曼式微積分，微分方程是19世紀的數學，在21世紀是否可以把這些課程下移，是否可以在大學本科講授多一些20世紀的數學呢？

現代科技高速前進，新的數學和數學新的應用不斷涌現．就像在水管的源頭不停有水涌出來要灌入這水管里．舉個例子，Voevodsky（北京2002年Fields獎得主）在2012年提出：當今的數學已是在末路．現行以集合論作為基礎的數學已沒法解決數學以內至工程之中的數學問題！他高舉新的數學革命旗幟，他提出Homotopy Type Theory作為新的數學基礎，重新再造數學！這個新的數學革命會引起什么數學教育的問題呢？

這里要討論的是中學、大學數學教育整個知識鏈在新世紀要面對的一些問題與因難．

2 新 數 學

過去幾百年每代的人都會聽到幾次“新數學”這句話．這個“新”字有“時間”的意義．相信未來會有許多“新”的數學會出現．不過在這里只想談談Voevodsky的革命性的“新”的數學基礎！

藉Voevodsky的革命性的“新”的數學基礎為例子提出這樣的問題：要設立什么機制使得“新數學”是經常的，連續的溶入大、中、小學的數學課程．這里不是指十年一次那種天翻地覆的大改變．

在工業技術上國外企業重視知識鏈的高速傳遞．中國企業與國外企業的差距表現在自主創新能力的不足．國外企業重點投入新原理、新技術的創造與應用．國際電腦公司IBM的Watson研究所竟是一座城（Yorktown Heights，紐約州）！為了快速投產，中國企業往往是型號牽引跟蹤式的研究．忽視知識鏈的整體性和傳遞速度．中國的工程師從來沒有看過美國或俄國現役的第五代的攻擊核潛艇和洲際導彈核潛艇，只好試驗造第二代的核潛艇．中國十萬人航天工業的探月技術是有個別的突破，但整體技術還未達到40年前美蘇可以做到的．一位兩彈一星專家曾經提醒道：“我們不知道他們怎樣做，他們知道的也不會告訴我們．”不要忘記20世紀六七十年代的間斷，今日中國還是不會造電腦晶片（CPU），大型噴射機用的渦扇發動機，大型船艦用的核反應堆，射程1.5萬公里多彈頭重型固體燃料導彈，巡航導彈所攜帶的小型核彈頭，魚雷發射潛艇對空導彈．也許這些只是需要改進現有數學的應用，不過如果一個“新”的數學成功了，繼而引起工業技術的大革新，但我們的數學教育卻沒有適當地反映這些新潮流，以至自己的工藝又落后幾十年！那大家的過失就大了！

Voevodsky，蘇聯人，莫斯科國立大學畢業，美國哈佛大學博士，導師是蘇聯人Kazhdan，現為在美國Princeton的高等研究所（IAS）教授．Voevodsky第一個創新的工作是用多值映射解決在代數幾何范疇是沒有足夠多代數映射可用來構造連續同倫的問題．用此他解決Milnor的一個代數K理論里關于二次型的問題，在2002年獲得菲爾茲獎（2002年第24屆國際數學家大會在中國北京舉辦，頒獎式在北京人民大會堂舉行）．

在此簡單地介紹這個“新”的數學基礎．故事要從19世紀末20世紀初開始．那時數學家極希望把數學建立在一個嚴密沒有內存矛盾的基礎上．當時研究數學基礎（Foundation of Mathematics）的3個主要派系是：

（1）Formalism（形式派）．這一派認為數學是一個形式系統．所謂形式系統包括：符號、公理、推理法則和定理．可以把推理法則看作符號的組合法則（deduction rules are combinatorial rules）．形式系統的基本要求是不存在互相矛盾的定理．形式系統是與現實世界知識互相獨立．正如討論數學與物理的關系，可問：怎樣把形式系統內的定理應用到現實世界（Anwendungsproblem），但這是形式系統外的問題．主要領導人有Hilbert和G?del．Hilbert的主要著作：《幾何基礎》，這是中國從事計算機自動證明的人都很熟悉的一本書．還有他和Bernays合著的《數學基礎》．

（2）Intuitionism（直覺派）．這一派認為數學的推理只是用了簡單的、傳統的邏輯，而傳統邏輯的推理只是用了“子集”這個想法．實際上沒有理由如此地限制推理．他們認為原始的數學概念來自直覺．只容許用構造法（Constructive Method）導出新的定義．第一個系統地這樣想的人是Brouwer，其他人還有Poincaré、Weyl和Heyting.

（3）Logicism（邏輯派）．他們認為可以在一個邏輯系統內定義所有數學概念和證明所有數學定理．這樣看“數學”是一種邏輯結構．Russel和Whitehead在他們的《數學原理》就建立了這樣的系統．亦可參看所引Frege的著作．

在這里不打算批判這些觀點及解釋為什么這些理論的發展忽然停下來．請隨研究者跳過一世紀到2012年．Voevodsky提出對數理邏輯中的Martin-L?f的直覺類型論（Intuitionistic Type Theory）給以同倫論（Homotopy theory）解釋，以此建立“以計算為基礎”的數學．Voevodsky的觀點是：定理的證明是形式系統內在的一部分．證明的正確性的檢驗就像程序的測試與性能分析一樣．在這個觀點下，就像類型論出現在泛函編程（Functional Programming）一樣，他發展同倫類型論（Homotopy Type Theory）作為數學基礎．這樣他對數學“證明”給了新的定義，本質上改變了數學，所以可以說是一個數學革命．在這種意義下數學會怎樣發展呢？Voevodsky為他的想法開設了一個網站：

在這同一時期，哈佛大學的Jacob Lurie快將完成了Quillen的想法的第一步：把同倫論溶入代數幾何．這就是研究者在《談談代數數論》（《數學通報》）一文中所說的第五波：把交換環范疇變為單純形環范疇（Category of Simplicial Rings）得出的代數幾何在數論的應用．

Voevodsky和Lurie都在談同倫論．但是Voevodsky講的是數學基礎，什么是證明，如果擴大證明的定義，將會產生很多新的數學．另一方面在Lurie的理論，他需要使用Higher Category理論，他為此寫了一本Higher Topos的書．雖然還未弄清楚，Voevodsky認為他的理淪是與Higher Category有關系的．

這好像說：同倫論正在揪起一個數學革命，但卻沒有說：放下現有的一切，推行Voevodsky-Lurie．研究者只是說：請想想怎樣不斷地把新思想輸入數學教育系統．只是說：有些新思想可能會引起基本的改變，如果傳遞太慢，會有非常嚴重的不良后果．目前是不但舊的如Typed Lambda Calculus，就是新的Higher Category在中國沒有中文書也沒有在數學系開課！

同倫論只是一個例子而已！相信在計算機理論、物理、化學、生物學將會有新的數學等待大家納入自己的課程內．比如計算機系講稠密線性代數（dense linear algebra），很少聽說數學系開這樣的課．

3 內容傳遞

所謂數學教育知識鏈的“內容”，簡單地說，便是學校老師所講授的數學課的內容．

建議把部分20世紀的數學更早地教給部分學生．這將同時影響中學和大學的數學課程．下面將分成兩個部分來討論．

附帶說兩句：研究者不完全同意西方20世紀兒童教育理論，把數學學習看成游戲，把數學的內容全換作日常的實物，表面上學生更易懂、更快樂，結果游戲地位過高，學習態度不嚴肅，學習內容膚淺，學生養成對科學的結構性的反感與恐懼．請留意2013年英國教育部就宣布改革要求換回傳統嚴謹的數學?。ㄒ娢腫24]）．游戲是一種學習方法而已，因人因時而異，切勿以此為主．

研究者也不相信教學生智商測試題便是數學教育．應反對用智商測試題代替數學考試，要注重基礎數學的教學與考試，反對那些選擇題的簡易考法．這只不過是用來篩選的一種平價快速行政手段．得出來的是念口訣做了千萬道例題的人，不一定是有學問，會數學，有能力的人．很不幸中國一些機構從西方或中國香港的大學的人事管理學系學來這種所謂現代科學方法用來招聘．智商變得太重要了！

研究者不打算辯論數學教育理論、教育哲學、青少年學習心理學和教育政治學，等等，只想講內容．新的數學不停地增加．如果我們在21世紀的中學大學不多教一些20世紀的數學，則中國民眾的知識鏈會出現像“公路交通堵塞”一樣的現象，已經正在學校教的數學不動地停在路中間，另一邊新的數學不停出現在路的前頭，無法進入．大家都會同意國民教育不進步對整個國家的經濟發展沒有好處．

（1）中學部．研究者建議在高中建立如大學一樣的選課制度，讓有能力的學生多學點新的數學內容．高中建立適當的課程體系以配合新的數學課程結構，利用選課制度使中學數學教學動態地完成知識傳遞任務．請注意：當把新的內容放到中學時，并不是說要把這個傳遞數學的管道的半徑加大了，不是說在中學里數學課程加大了，老師的教學量加多了，而是說：當部分大學的內容流到中學去的時侯，部分中學的數學內容流到小學去，這樣教學量不致改變太大．以下討論4點．

① “矩陣線性代數”．這是可以在中學教的，最少開始時可以講矩陣與線性方程組求解，將來才加入線性空間和性變換．

② “歐拉-黎曼式微積分”．可能是受蘇聯教科書的影響，現在常把“微積分”和“數學分析”合在一起教．結果有相當多的學生兩樣都學不好！“微積分”這樣重要并非常有用的工具學不好，其后的便沒法學了．項武義教授在國內出版過一本“微積分”教科書．此書一方面反映把“微積分”和“數學分析”分開教的觀點，另一方面反映他在美國數十年教大學的經驗．這是很值得參考的教材．研究者認為“歐拉-黎曼式微積分”是可以在中學教的．王昆楊教授嘗試過在北京11中教“數學分析”．這個試驗成功的一個原因是師生都很優秀．對全國中學而言，在中學里從教“微積分”到教“數學分析”是一個需要時間的“內容傳遞”，是急不來的，也不是立個法便會發生的．

③ 現在少年都會用電腦．以上矩陣線性代數和微積分都很適合解說應用電腦的好處．隨著中學生學會了用電腦解決數學問題，更多人想用Maple、MathLab和Mathematica這樣的軟件．試想全國有2 000萬中學生每人付200美元買一份美國的計算軟件，對整個國家來說這是一個很大的金錢輸出！建議自然科學基金和教育部聯手出錢造一個中版類似MathLab的軟件，免費給大家使用；建議教育部成立團隊創建和支援免費教育軟件；建議中國免費教育軟件用免費的公開的Unix（Linix）來寫．

④ 關于幾何的教學內容的兩點看法．

（甲）在20世紀六七十年代香港的中學教二、三維解析幾何學和幾何拓撲學（橡皮幾何—rubber geometry，繩結—knots）．當時進口的英國教科書現在在香港全都消失了．大概學校已不教了，很可惜．研究者也念過蘇步青先生的《高等幾何學》，比如書中解釋矩陣的對角化與三維空間的二次曲面分類的關系，把矩陣的對角化圖象化了，看得見了！今日有電腦之后，無論中學生和大學生都會明白這種幾何學，都會容易接受初等的計算幾何學．這又可以配合前面所建議的：電腦在線性代數和微積分中使用．20世紀60年代從俄文翻譯的一些給中學生看的幾何學的書，現在都找不到了，幸好今日有更好的書，如Shafarevich與Nikulin寫的，或者是在網上莫斯科獨立大學幾何講義．這些書講的幾何都是有很多圖象的．研究者建議加強直觀幾何學（geometric intuition）的教育．有圖可看的幾何，可以提供豐富的例子幫助檢驗抽象的幾何學．展開直觀幾何學的教育的困難之一是教材的問題，尤其是缺乏教科書加上相配的動態幾何圖象電腦軟件．

（乙）現在中學常把學平面幾何學習換為難題集中營．學生的幾何解題行為已被鍛煉成心理學里的條件反射行為．這樣，當老師從更高的觀點講平面幾何的結構時學生便沒有興趣了．建議完全改變現行的幾何教法．在（甲）中注重幾何的直觀幾何對象，在（乙）中直接面對問題：把“公理系統”這個概念作為數學內容在這知識鏈內下傳．利用歐幾里得平面幾何作為“公理系統”的基本例子來教授“數學結構”．透過公理的變化來理解“公理”與“數學結構”的關系．這樣利用“平行公理”的更改就很容易引入19世紀的非歐幾何的一些基本模型．要把平面幾何從難倒學生的題海中解放出來，讓學生了解：從假設到結論是一個邏輯推理過程，更理解：由電腦程序所證出來的結果是需要從給定公理開始的．這一種理解和訓諫使學生明白包括數學的所有理論科學的基本精神和結構．這種邏輯思維和系統科學是訓練科學家和工程師的非常重要的基礎．為了中國的工業生命，這是不可以放棄的！這不是不可能做到的，過去3年北師大實驗中學初中幾何教學就成功嘗試過．

（2）大學部．建議大學數學課基本化，也就是讓部分有能力的學生修讀加強基本化的課程．這里想介紹幾件可能做的事．

① 數學分析．2001年北京師范大學的王昆楊老師出版了一本全新的“微積分”教科書——《簡明數學分析》．王老師說：“打破常規之處，就是用Lebesgue積分取代Riemann積分……20世紀創立的Lebesgue積分理論克服了Riemann積分的缺陷……”這本書真的做：在21世紀多教一些20世紀的數學．研究者認為不應用這本書去批判這個想法．第一，中國有300年寫“微積分”教科書的豐富經驗，單是中國今天就有上百種“微積分”教科書．王老師這本書是第一本，是個明智的開始吧！這樣的事太少了．多些人多寫幾本，慢慢就把路找出來了，不用等學外國人怎樣做的．第二，對那些在中學已學過以計算為本的“歐拉-黎曼式微積分”的學生來說，王老師的說法便是容易自然了．

② 邏輯、集合論、一般點集拓撲學與范疇學．這些都是學一些結構性比較強的數學的基礎．教師在中學和大學一、二年級都只是教數學計算，所教所考的微積分和線性代數都是標準的電腦程序，如用Mathlab和Mathematica可以輕易解決．結構性的基本數學卻教得少．比如邏輯、公理集合論、一般點集拓撲學和范疇學就很少要求一年級的本科生學習．

20世紀60年代在香港大學的梁鑒添先生帶領下，在中學教“公理集合論”（Axiomatic Set Theory）．梁先生為此寫了一部很好的集合論教科書．梁先生是周煒良先生的學弟，同是van der Waerden的學生．這段時間中國香港訓練了一些數學家．后來為了平等，反對部分人學好些，倡議“通識”，結果比較嚴緊的數學教材便淡出了，只有很少部分可以出國念英才中學的人才有更好的學習數學的機會了．在20世紀70年代，研究者在香港中文大學就為數學系一年級本科生開“邏輯-集合論”課作為學生學習數學結構與推理的基礎訓練．最近在北京的書店看看，邏輯書都是為計算機系、哲學系和社科院的學生寫的．在買書網上想找一本莫紹揆先生的邏輯教科書也找不到．

在國內出版用中文寫給數學系學生學習的“范疇學”教科書還沒有見過．暫時不要說要詳細地教“范疇學”，但教30頁的范疇學是會幫助學生理解更多結構性的問題．計算機系就常教“范疇學”，這本來是數學系的東西，數學系的學生反而不懂，是教師的錯．

Bourbaki的數學系統就以“集合論”和“一般點集拓撲學”為起點．實數就在“一般點集拓撲學”內講了．并不是說全國都要學Bourbaki，而是說占全世界五分之一人口的大國能容納得起多種學習數學的方法，有一些人可以學的．Bourbaki方法是幫助學生學習結構性強的數學方法的利害工具．

③ 代數拓撲學．中國有一套很好的、北大版的“代數拓撲學”教科書：江澤函《拓撲學引論》，姜伯駒《同調論》，廖山濤，劉旺金《同倫論基礎》．現在沒有多少人用這套書來教學生了．國內還未有人寫過一本像Godement寫的Topologie algebriques–Theorie Faisceaux的代數拓撲學教材．最近國外的同倫論教科書是有較大的變動．比如：Arkowitz，2011．如果看看Brown（Annals，2012）的Deligne的Mixed Tate Motive猜想的證明，他們用的同倫論的背境是Bousfield-Kan．看看Elmendorf等人的書又是另外一種同倫論了．此外還有Voevodsky和Lurie兩個人的同倫論．這樣看來，中國學者在同倫論的基本課教學已經有很多事要做了．

4 英才教育

培育英才是教育工作者們的一個共同的希望．“數學英才教育”可以解釋為：讓部分學生“先富起來”，就是說：讓部分同學抽出部分時間提前學習比較先進的數學技術．

不敢說所有人都是這樣解釋“英才教育”．比如有一種做法是把目前現有課程范圍內的習題變為更難的題目，讓學生不停地操練，以求在中學到大學的高考或大學到研究院的考研取勝．

研究者建議，“英才教育”多走一條路．就是把部分內容向下移：中學的移向小學，大學的移向中學．在現有的課時容納新的內容．不要只是在難題上下功夫，也可以在內容上下功夫．

自古以來讀書是為了找工作．戲曲里就常見窮書生上京考試為做官的故事．今日學生上大學主要是沖著文憑，希望畢業后拿著文憑找個高薪的工作．這是全世界的現象．這樣的學生會經常問：老師你現在講的東西跟我將來的工作有什么關系？如果是“術科”如醫、工、法、舞，這樣的問題還好答．如果是“學科”如中文、數學，除了說句“考研有用”就不好答了．

正當學生迷失在學習與對工作的憧憬之間的時侯，上課的老師和做思想工作的便多了一份工作，改變“真想學的不多”這種現象，幫助學生相信，來到大學的第一件事是：學．

這里所提出的“英才教育”可以幫助解決這個問題．以內容代替難題來增加學習的興趣，把注意力引回到數學上．增加基本結構上的訓練以減輕日后學習的困難，以便支持學習的興趣，引起學生的好奇心，以激發學習的動力．過去100年數學里便有很多新概念和新想法．這些都不需要很多背景知識便可以透過關鍵例子說明．講述和學習這些新的內容會比做難題更容易而且有趣多了．

“英才”兩個字引起一些老師的回應是：我系不是訓練“數學家”的．陳省身就說過：中國不需要很多數學家．研究者的回應是：我所談的內容傳遞與更新，不是說幾個頂級的專家，而是說提高很多人的數學水平．舉個例子，300年前在歐洲會微積分的人已是數學家．今日莫說全球，單是中國會微積分的工程師就不知有多少．既然不知有什么數學有什么用，數學系幫更多人學更多數學是好的，數學系不單只是訓練“數學家”的．

正當大家在憂慮怎樣把現有的新學問教給孩子的時侯又有教育家說覺得小學數學太難，應該把學校數學由難變為易．所以這里的困難是內外兼有的．這里所說的“英才”數學教育是建議把大中小學的數學水平整體提高到歐美比較好的學校的水平．不應該去學外國失敗的經驗或所謂平均水平而犧牲了中國最好的孩子，他們是中國科技工業的希望．容易從“英才”推出“不公平”——“為什么我的孩子不是‘英才’？”把學生的數學能力的分布看作一個譜，就像天虹是太陽光的光譜．公平的教育不是把這個能力分布譜強壓縮為一點！弱智的有特殊教育去幫他們，超智的有英才教育去幫他們，這樣把整個數學能力分布譜拉高．公平的數學教育是把所有的學生的數學水平提高，不同的學生的“高”是不同的．如此“英才”教育便是大眾教育的一部分了．

有些外國大學對本科生開Advanced Program．每個年級抽最好的20%參加．在這些Advanced Program中數學內容就加強很多．比如常見在本科一年級上學期以Dieudonne的Foundation of Modern Analysis來教微積分，這本書的微分是在Banach空間上來講的．多變元微積分是用普林斯頓大學（Princeton University）的Nickerson，Spencer，Steenrod寫的Advanced Calculus，這本微積分書已講層論（sheaf theory）了．到四年級下學期學生已經學過交換代數，所以可以用Hartshorne的Algebraic Geometry來教代數幾何了．相比之下國內能夠開出20世紀50年代翻譯的斯米爾諾夫五卷工程數學的數學系已不錯了．碩士班只能開出讀導師的論文的預備役．至于拓撲群、交換代數、范疇學、層論和同倫論恐怕只有一小部分的系能全開出來．大學本科生很難得到一個全面的20世紀數學教育．

國內外都有優秀的中學，它們培養出多名出色的科學家，想非偶然．也許他們是不自覺地理行了上面所提出的“英才教育”．例如，浙江嘉興的秀州中學，人才輩出，孕育出了陳省身、李政道、顧功敘、譚其驤、周廷儒、周廷沖、錢俊德、方懷時、潘文淵和程開甲十名院士．美國紐約市的Bronx High School of Science是另一個例子．這所公立中學的畢業生中有7個人獲得了諾貝爾物理學獎，1個人獲得了諾貝爾化學獎及29個美國科學院院士．在美國麻省的Andover有一所古老的著名私立中學Phillips Academy的畢業生就有3人獲得了諾貝爾獎．

在德國長期以來中學分為兩種：Gymnasium和Schule．科學家大都是念Gymnasium畢業．這些學校的數學課的內容和水平都比較高．他們的老師常是有博士學位，甚至會是著名的數學家．比如Grassmann就是一位Gymnasium老師！

在巴黎大學蘇邦（Sorbonne）校區旁邊有兩所著名的中學：Lycée Henri IV亨利四世中學和Lycée Louis Le Grand路易大帝中學．他們開辦Classes préparatoires aux grandes écoles（簡稱為CPGE或prépas）特別訓諫巴黎地區最優秀的中學去投考grandes écoles（高等學校）．這些班當然不只教“線性代數”和“微積分”了．他們就這樣理行研究者上面所提出的“英才教育”．

在法國很多數學家都是巴黎高等師范學校（ENS）的畢業生．這所高師是法國所謂grandes écoles（高等學校）的其中一所，這些grandes écoles在法國被認為是比大學高一級的更好的大學．巴黎高師的老師是由全法選出當時最好的年青數學教授輪流當的．每個老師教了3年到5年后便回到他自己原來的學校．如此法國把精力最旺盛的，在想象力最豐富年紀的數學人才聚在一起發揮無窮的威力．法國有11個菲爾茲獎．河南省的人口大概是法國的兩倍．如果按人口的比例，河南省應有20個菲爾茲獎．如果說“自己訓諫出來”的意思是指“中學、大學、研所、博后”都是在本國完成的，那中國還未有一個“自己訓諫出來”的菲爾茲獎．可以說這不是有多少人的問題，也不是沒有好的學生．研究者相信問題在于教育投資分布與選項及制度．當然一個人得了菲爾茲獎只是反映了把他培訓出來的國家的數學能力以至工業實力．請看只有河南省一半人口的法國出口Airbus民航飛機，出口Lafayette級穩形護衛艦，出口Mirage戰斗機，出口發電用的核子反應堆，制造高涵道比渦扇發動機，制造歐洲宇航局所用的Ariane火箭，制造美國以外唯一的核動力航空母艦．一個占人類五分之一的全球第二大的經濟大國對人類知識文化的貢獻和在數學的投資比起德法二國相對低了很多！

5 新內容的問題

假如大家支持中國在21世紀多教一些20世紀的數學，則立刻會有因為執行而產生的許多問題．相信大家一直在討論這些問題.

（1）學生的能力．

首先要考慮學生的能力．要同時照顧有數學能力的學生及其他的學生，建議在高中成立選科制，讓有數學能力的學生選讀比較先進的課題．暫稱此為：中學數學課多渠道化．

應該接受的事實：到高中時每個學生都會有不同的能力，有些科學，有些會說話，有些會跳舞，學生各有所長，老師各育所長．可以對高中學生的數學水平有一個起點的要求，但不應要求所有的學生的水平是一樣的．否則便扼殺了突破的機會．給以時日，慢慢地滲透，數學水平高的學生把其余的學生的水平也拉高，這樣便進步了，這是一個緩慢的過程．不應該因為小部分落后了，就把全隊停下來，甚至后退——把數學課的水平越拉越低，要接受長的戰線，讓部分學生在前面作戰！

現在的孩子是在一個知訊稠密的環境（Information dense environment）下長大的．他們有強烈的求知欲，他們對世界有自我發現與表達的愿望．讓大家以新的數學內容幫幫這些孩子健康地成長！

（2）中小學老師的水平．

在職的老師在師范念書的時候不一定學過這些新的材料．研究者相信會有老師樂意接受新材料帶來的挑戰．但是他們去那里學習怎樣教些新材料呢？除了新的數學內容，怎樣做習題，怎樣設計習題呢？還有當老師學了，教了這些新的內容，怎樣獎勵他們呢！不要忽然有3年全國中小學老師都去念個碩士學位，師范大學做了3年生意又什么都沒有了，而這些“3年忽然碩士”，會有太多是沒有料子的．怎樣把這個變成慢慢進行的可控過程呢？

（3）師范大學剩余產能．

自2000年后，大學擴招，很多地方的師范大學數學系的畢業生人數已超過本地區的新增教席數目．師范大學是有剩余產能的，如果師范大學利用剩余產能為在職老師開設碩士課程，幫助在校老師學習教新的材料，這樣一方面解決了老師水平不高的問題，并且使用了師范大學的剩余產能．

在中國臺灣，一些師范大學沒有處理好剩余產能，只好轉型為法商學校，開辦醫、工科要太多經費了．在國內一些師范學院的舞蹈學系的辦公樓是十倍數學系的辦公空間，早就看不起數學系的產能價值了．

（4）執行程序．

絕對不建議由教育局一紙命令全面執行．建議用滲透式，慢慢地增加內容，慢慢地增加地區．由大城市擴展到小城市，再擴展到鄉村．由最好的中學傳到其他中學．由一本大學傳到其他大學．

還有一個執行的問題：就是教綱問題．因為教綱的確定，教師只會按要求講授內容．大部分老師不愿意教授更高階的內容：① 因為他得不到便宜；② 家長投訴；③ 學校評分壓力；④ 地方教育局反對．所以當要改變這個數學——知識傳遞鏈的時候，不單單要教師出力，還要管教師的支持，真難．

（5）考試．

不可低估考試對英才數學教育的明顯意義．不考試的東西是沒有人要學的，沒有校長和黨委支持去教的．所以內容的革新便會引起可考科目的改變，以至考試的形式．比如要引入考試選科的形式．也就是說，除了基本數學科之外，還要增加進步數學科，讓部分學生選考．就是說新內容要納入高考命題范圍內．

美國的一般大學入學考試（SAT）數學部分就分兩個級別：Level 1和 Level 2．英國倫敦的一般文憑考試（GCE）是中學畢業生的考試．GCE有普數（General Mathematics）、高數（Advanced Mathematics）和進數（Further Mathematics）3層的考試給學生選擇．所有學生都考普數，要到大學念理、工、醫、經的學生加考高數，只有那些有興趣，有能力去念數學系、物理系的學生才會全考普、高、進3卷．這樣對一般的中學生只考普數壓力不會很大．把考試的內容分開也分散了對學生的壓力，對家長給老師的壓力，是很值得借鑒的．

下面談談“學”與“考”的矛盾．國家對于各級升學（小學→初中，初中→高中，高中→大學）只能采取考試的辦法，這是目前最公平的錄取方法．小老百姓只能盡全力讓孩子考高分，進入好大學，改變貧苦的命運．老師為了幫助學生，為了本人的業績只好加強作業，課后作業，甚至開補習班．學生便“忙死”了．在這樣的情況下，內容多樣化，新內容，新考試，對整個制度有新增壓力，學生更慘了．最近一兩年，教育部強令“減輕學生負擔”，小學生不許留課外作業，明確宣布各級升學不許與各學科的競賽掛鉤．但老師們以變相的方式大留作業，學生家長讓孩子參加各種課外班的熱情不減，因為這樣才能使得學生面臨各種考試中勝算較大．這個“學”與“考”的矛盾是不可以由教育工作者解決的．

國家辦學為了提高人民的知識水平，以保護人民在現代科技社會的生產力．當聽說電視報導說本地大學畢業生的平均工資是每月4 000元時，人們就認為在大學坐四年便等于每月4 000元，這是很大的誤會，這是社會問題，不是數學教育問題．

（6）教材．

新內容需要新教材．在美蘇用的不一定適合中國用．在研究所用的不一定適合大學本科用．一個好的例子是：在數學科非常重要的出版Springer就有兩個系列：Graduate Text in Mathematics, Undergraduate Text in Mathematics （Universitext）．

在寫教材之前，第一便是背景資料沒有充分散播在學校內．比如參考文獻所引的關于數學基礎的文章書籍在中國就不容易找到．即便找到那種介乎哲學與數學之間的德語、法語的書籍亦不是容易懂的．遠一點可以問：為什么網絡上的云端技術不是在中國發起呢？為什么美國有全世界最好的計算機編程人材呢？除了經濟原因之外，可以說因為過去100年，中國無論工業界、研究所和大學都是要產品，只要學造成品，管理的領導都要“講得出，看得見，賣得出去”的東西．但發展編程技術是有文化背景的，如數學基礎→論→泛函編程→以計算作為數學基礎（Voevodsky）．不可以只教最后一步，比如微積分只教初等函數的微分和積分，但完全忘掉微積分的力學歷史文化背景．

按中國出版社的現行制度編輯的工資與新書出版數目有關．這樣過去60年來出版過的好書現在都找不到了，出版社不重印了．電腦資訊是日新月異的，10年前印的關于電腦的書今日可能不大有用．但數學是有累積性的，新是建立在舊的上面，從前出版過寫得好的數學教科書今日還是可以用來學習的．但是，去哪里找這些書呢！比如在國外，像Bourbaki的書不會因為它舊就找不到．舉個例子，不可以說在北京國家圖書館找到廖山濤的《同倫論基礎》就可以，作者在肇慶學院就找不到！從廣州坐普通的慢火車一個小時便到肇慶！遠一點的如甘肅的武威，云南的臨滄，黑龍江的佳木斯更就不敢說了．

為了讓偏遠地區的學生都可以學，讓每一代學生都可以買來念，建議科學出版社，上海科技出版社，高等教育出版社，人民教育出版社聯手成立一個聯合重印社，從他們有版權的舊書中選出一套基本數學好書系列，經常保持印刷，平價賣出．

研究者支持用中文寫關于基本數學的書籍．因為：第一，對大多數中國學生來說，用中文學習新的概念是比較容易的；第二，一個民族沒有自已數學語言是沒有希望的．

（7）選課．

華羅庚先生說過數學生要學多個外語．當然不是每個人都有很多學外語的天分．研究者曾向一位系主任建議要求數學系本科生每學期念一門外語課．他笑說：不可能！第一，學生已經有很多數學之外的課，沒有時間了．第二，外語系不愿意教．

熟識中國高校行政的當然了解這件事．研究者亦不想在此討論解決策略．但是在英美加學生跨系選課的自由度大得多了．在歐洲研究生甚至可以到別的學校，別的國家選課．

這跟數學有緊密關系．第一，外語對學數學的人非常重要．在目前的結構下，數學系學生的外語只好自學自教了．第二，舉個例子．大家關心CLAY Institute的Millenium Prize．其中一個問題是關于Navier Stokes方程．也許學點流體力學會幫助解決這個問題．如果數學系不開辦此課，只好去物理系或工程學院了．在目前的結構下，這是不可能的！那么大力推舉支持交叉科學怎樣實現呢？

（8）資源．

大城市的教育局有更多的資源，大城市的父母有更強的經濟能力，大城市的孩子的數學教育比城外的孩子好．在統一考試，在數學競賽里大城市的孩子便脫穎而出．不是每一個大城市的數學成績好的孩子真的對數學有興趣，真的有天分，離開了這個“吃維生素”的環境便轉業了．同時小地方的有天分的學生沒有辦法接觸到一流的老師，前沿的教材，優良的學習資源和環境．在教育資源的不平衡下很可能埋沒了小地方有數學天分的學生，犧牲了國家寶貴的人力財產．

這和新的數學內容傳遞有什么關系呢？雖然不能希望老師離開大城市跑去鄉村工作，但是希望大家慷慨地把大城市的資源所產生的新內容免費傳到城外的教育系統內．例如在網上發布錄像或制成DVD分發．

大城市的教育局支持大城市的老師去小地方的學校交流．要小地方的老師變為考試教練可能難，也許請他們學點新的數學內容教給學生會比較易吧！

6 結 語

回顧過去一世紀的科技成就，無論是電話、電視、電腦、雷達、火箭、人造衛星、天氣預測、人體血液力學、人腦掃描、人口控制、銀行利息定價、財經產品設計，等等，都離不開數學．相信在21世紀也會是這樣．新的數學為新的科技提供表達和計算的平臺．所以，有必要把新的數學傳入中國的教育鏈，以免又落后他國一步．

研究者提出的是數學教育知識鏈上新知識的傳遞問題．研究者的建議是：中學數學課多渠道化，大學數學課基本化．希望引起群眾為文討論定計實行這一項數學教育工程．

改革是牽一發則動全身．大家都知道這是“說易行難”之事．不是兩三個老師的事，是一個需要有足夠多的老師和干部的認同，參與和支持的事，是我們的夢．

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On the Transmission Problem in the Knowledge Chain of Mathematics Education

LAI King Fai
(School of Mathematical Sciences, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

Mathematics education is a knowledge transmission chain. New mathematics, in particular new discoveries that changes the fundamental nature of mathematics, creates pressure on the contents of this knowledge chain. We present Voevosky’s new foundation of mathematics which is built by using homotopy theory from topology. We investigate some problems arising from the transmission of new knowledge along the mathematics education chain, make some recommendations and discuss how this affect the mathematics training of talented students.

mathematics education; knowledge chain; mathematics education for talented students

G420

：A

：1004–9894（2014）01–0009–07

[責任編校：周學智]

2014–01–20

黎景輝（1948—），男，廣東中山人，教授，主要從事代數數論研究，并致力于數學普及．