一道習題的分析與解答

溫正靈

《物理教學》總第267期第42頁刊發了一篇標題為《這樣應用動能定理錯在哪里？》的文章，原文如下：

有這樣一道習題：某消防員從一平臺上跳下，下落2米后雙腳著地，接著他用雙腿彎曲的方法緩沖，使自身重心又下降了0.5米，在著地過程中，試估算地面對他雙腳的平均作用力為他自身重力的多少倍？

許多學生或老師都解法如下：從人開始跳下到蹲下的整個過程，重力對人做正功，大小為WH = mg （h1+h2）；地面對人的作用力做負功，大小為WF =Fh2，因始末狀態人的動能均為零，由動能定理得 mg（h1+h2）- Fh2 = 0，解得平均作用力F= mg（h1+h2）/ h2=5mg。

此題對消防員運用動能定理共有兩處錯誤

其一：計算地面對人做功W=Fh2。由功的計算式W=FScosθ中S為力的作用點的位移，而地面對人作用力的作用點——腳底著地后并沒有位移，可見在下蹲過程中地面對人不做功。

其二：此題把消防員看成質點應用動能定理，而消防員著地后身體各部分速度不同，因此只能把消防員看成質點組，對質點組用動能定理時要考慮系統內力做功，此題重力對人做正功，消防員自身內力做負功，不涉及地面對人的作用力。

正確的解法是：

由運動學公式和運動定律解，從平臺上落下h1=2m

剛著地時速度v2=2gh

曲腿下降h2=0.5m，人做勻減速運動

設地面對人作用力為F，則加速度a=（F-mg）/m

再列出速度與位移關系式v2=2ah2

解得F=5mg

雖然錯解與正確答案完全一致，但物理過程卻完全不一樣。 在上述文章中，該作者認為對消防員運用動能定理解答這道習題的第一種解法是錯誤的，應該用柯尼希定理才能正確解答這道題，但是中學生還沒有學習柯尼希定理，于是該作者轉而應用了運動學公式（v2 = 2gh）和牛頓第二定律（a=（F-mg）/m）聯合解題，認為第二種解法才是正確的。

筆者認為，該作者未能充分理解和掌握高中物理教學特點，沒有正確認識應用勻變速直線運動的運動學公式和牛頓第二定律的前提條件。誠然，若純粹從動能定理應用的角度來看，第一種解法是錯誤的，但若撇開動能定理而從運動學公式和運動規律得到的第二種解法也是錯誤的。因為嚴格而言，地面對人的作用力F是變力，人并非作勻減速運動，即a=（F-mg）/m是不成立的。那么，這道題應如何解答才是正確的呢？這需要對動能定理有更深一層的理解。

在著地過程中，雙腳不動而身體下沉，故消防員已不能看作質點，而應看作質點組。在靜止系中，對每一質點的動能定理有：d（mvi2/2）=Fi（e）·dri+Fi（i）·dri，求和后得到d T=∑Fi（e）·dri+∑Fi（i）·dri，即質點組動能的變化等于質點組所受的外力和內力做功之和，這稱為質點組動能定理，但要注意的是內力做功并不一定為零，只有當運動時兩質點間的距離保持不變（如剛體）的情況下，內力做功才為零，一般情況下內力做功不為零。題目中消防員自身內力做負功。柯尼希定理為我們提供了計算質點組動能的方法，即使用質心的性質和靜止系與質心系的相互關系ri=rc+ri/ 可得T=1/2·mrc2+1/2·∑miri2 ，即質點組的動能等于質心的動能與各質點對質心的動能之和。

然而，如果我們用柯尼希定理來解答這道題，在高中物理教學中是不現實的，高中學生并沒有比較深入地接觸高等數學中的微分、導數、積分等相關知識，他們是無法理解和接受的。為此，我們應當立足于高中教學的特點，在課堂教學中牢記“求實、求活、求新”的教學三原則。在中學物理課本中，用科學方法建立物理概念、探索物理規律的內容是很多的，如實驗觀察法、理想法、數學法、等效法等等。這道習題就可以在應用等效法的前提下，使用動能定理來獲得正確答案。

所謂等效法，是指從同一事物的不同形式的物理過程出發來研究、分析和處理物理問題的思維形式、即從事物間的等同效果出發，通過聯想把陌生的、困難的、復雜的、用常規手段不易解決的問題化為一個較為熟悉或簡單問題的方法。等效法是物理研究中常用的思維方法之一，在高中物理中有著廣泛的應用。例如：將電磁振蕩與機械振動進行等效類比；在驗證動量守恒實驗中用水平距離等效替代水平速度；建立等效力場代替電場與重力場；以及交流電的有效值、互成角度的力的合成，等等。

這道習題的解答，關鍵是要抓住所求的是“平均作用力”，即地面對人作用的變力的等效力。這里所求的“平均作用力”實質上已體現出了等效性。因此，在此前提下，我們將“平均作用力”等效看作為恒力，才可認為在曲腿下降h2的過程中人做勻減速運動，a=（F-mg）/m才成立。故在等效法應用的前提下，解法二才是正確的。同時，我們發現，曲腿下降h2的過程中，消防員自身內力之所以做負功，是由于質點組中兩質點間的距離發生了變化，而在宏觀上表現為地面對人的作用力F產生的阻礙效果，即消防員自身內力所做的負功可等效為-Fh2 ，在此前提下由動能定理得mg（h1+h2）- Fh2 = 0，因此，在等效法應用的前提下，這兩種解法都是正確的。而在動能定理與等效法的配套使用下，解法一顯然要簡單快捷得多。

又如：一個質量為m的物體，從H高度自由下落，已知地對它的平均阻力為f，求它能進入地多深？

分析：既然地面對物體的等效作用力為平均阻力為f，則可利用等效法，應用動能定理來處理。

解：整個過程物體的動能變化量為0

則由動能定理得： mg（H+h） -fh= 0

故：h= mgH /（f- mg）

可見，等效法的正確使用，不僅能使我們盡快揭示問題的物理圖景、正確建立物理模型、迅速找到問題的切入點，而且可使問題得到極大簡化。

責任編輯 羅峰endprint