一道中考題帶來的啟示

劉世杰

摘 要 中考復習回歸課本已是勢在必行，中考試題都根植于課本，只不過是對原題引申、條件變換、移植轉換、增加了解題的層次性。說題是對中考試題的創造性研究與中考試題回歸課本是相輔相成的，是我們做好中考復習的重要法寶。

關鍵詞 說題 中考 數學

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A

Inspiration from a Problem in High School Entrance Examination

——Dynamic Point Issues in Trapezoidal

LIU Shijie

（High School Affiliated to Xinjiang Agricultural University， Urumqi， Xinjiang 830000）

Abstract Examination is imperative to review the return of textbooks， the exam questions are rooted in the textbook， but is extended to the original question， the conditions change， transplant conversion， increasing the level of problem-solving. Said the problem is the study of creativity exams and exam questions return textbooks are complementary， we make an important weapon in the test review.

Key words said the problem； examination； mathematics

本文以一道中考選擇題為例進行說題。

說題題目：2012年烏魯木齊數學中考試題第10題

如圖1，AD∥BC，∠D = 90€埃珹D=2，BC=5，CD=8，若在CD邊上有點P，使△ PAD與△PBC相似，則這樣的點有（ ）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

1 說試題立意及背景

試題立意：動點問題是近年來中考的一個熱點問題，要求學生能夠對點在運動變化過程中相伴隨的數量關系、圖形位置關系等進行觀察研究，化“動”為“靜”。從數學知識點來看，動點依附于不同的載體，一般考察幾何圖像的判定和性質（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函數和方程等知識，綜合性很強。考察的途徑越來越復雜，對學生的讀題、解題、知識遷移能力、數形結合的思維能力提出了很高的要求。

說背景：本題以直角梯形作為載體，動點P隱含其中，以相似三角形的判定為主要考點，運算上以一元方程求解為突破，得到點P的個數。本題運用分類討論思想、方程思想、數形結合思想是解題的關鍵。主要考查學生對基本知識、基本方法、基本技能的理解、掌握和應用，屬中考中等難度試題。

2 說學情、教法

說學情：學生較容易先找任一點，大致勾勒三角形，進而利用相似三角形判定列方程，但在分類討論及列方程求解上容易疏漏，這里要注意，需平時加強訓練。

說教法：從圖形運動中找出規律，轉化為一般的幾何證明、代數計算問題，探究解決問題的策略，培養學生解決問題的完備性。

3 說解法

解法一： 解：在CD上找一點P，得到△PAD和△PBC，設DP=X，則CP = 8-X，若△PAD～△PBC，對應邊成比例則有兩種可能情況。

圖2 圖3

（1） = （一元一次方程） 有一個解——一個點

（2） = （一元二次方程） 有兩個不相等解——兩個點

經檢驗，均符合題意。答案：C

解法二：從形的角度來分析（圖3），利用物理上的反射來構造相似，相對的兩角相等，這只有一種情況；利用勾股定理證明的圖形作為背景，相對的兩個角互余，但不等，互余且相等的情況不可能，圖3是反例，這時，以不垂直于底的腰為直徑畫圓，有兩個交點，這時有兩種情況，總計三種即有三個點存在。

4 拓展變化

如圖4，AD∥BC，∠D=90€埃珹D=a，BC=b，AB=c，若在CD邊上有點P，使△ PAD與△PBC相似，則這樣的點有（ ）個。

圖4

本題解有四種情況：以AB為直徑作圓，利用梯形中位線定理和圓與直線的位置關系可解得：（1） 如圖4（a），ca+b CD≠a+b反射構造相似一個點，圓與直線相交構造兩個點，這三點互不重合（一元二次方程有兩個不相等的解）；（4） 如圖4（d），c>a+b CD=a+b反射構造相似一個點，圓與直線相交構造兩個點，這三點中有兩點重合，總共有兩點（一元二次方程有兩個不相等的解，其中有一解于一元一次方程解相同）。

啟示一：本題兩種解法實際從數和形的角度出發，把一元方程解的個數與圓與直線的三種位置關系聯系起來，這兩個看似毫無關聯的知識通過直角梯形這個載體有機統一在一起，我們在平時命題時可以有意識去嘗試把代數和幾何以某個特征圖形為平臺聯系起來，去考察中考考點，讓我們對題目有更加深刻的認識，而不是蜻蜓點水，淺嘗輒止。

5 中考鏈接（2013 攀枝花）

如圖5，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點B（10，0），C（7，4）。直線經過A，D兩點，且sin∠DAB = 。動點P在線段AB上從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線A→D→C相交于點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動。設點P，Q運動的時間為t秒（t>0），△MPQ的面積為S。

（1）點A的坐標為 ，直線的解析式為 ；（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關系式，并寫出相應的t的取值范圍；（3）試求（2）中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值；（4）隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設PM的延長線與直線相交于點N，試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值。

思路分析：（1）利用梯形性質確定點D的坐標，利用sin∠DAB = 特殊三角函數值，得到△AOD為等腰直角三角形，從而得到點A的坐標為（-4，0）；由點A、點D的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式為 = + 4。

（2）解答本問，需要弄清動點的運動過程：①當0

（3）本問考查二次函數與一次函數在指定區間上的極值，根據（2）中求出的S表達式與取值范圍，逐一討論計算，最終確定S的最大值；

（4）△QMN為等腰三角形的情形有兩種，需要分類討論，避免漏解。

解：以第二問為主（2）在點P、Q運動的過程中：

①當0

過點C作CF⊥軸于點F，則CF=4，BF=3，由勾股定理得BC = 5。過點Q作QE⊥軸于點E，則BE=BQ·cos∠CBF=5t ·=3t。∴PE=PBBE=（142t）3t=145t，S = PM·PE = €？t€祝？45t）=5t2+14t；

②當1

過點C、Q分別作軸的垂線，垂足分別為F，E，

則CQ=5t5，PE=AFAPEF=112t（5t5）=167t，

S= PM·PE= €？t€祝？67t）=7t2+16t；

③當點M與點Q相遇時，DM+CQ=CD=7，

即（2t4）+（5t5）=7，解得t = 。

當2

MQ=CDDMCQ=7（2t4）（5t5）=167t，

S=PM·MQ=€？€祝？67t）=14t+32。

啟示二：（1）復雜的雙動點問題可以通過畫圖呈現運動全過程，隨著點的移動，與之相關的圖形肯定隨著變化，而且移動到不同的位置，我們研究圖形可能會改變。（2）特別關注一些不變的量，不變的關系或特殊關系，化動為靜，由特殊情形（特殊點、特殊位置、特殊圖形等）過渡到一般情形。要抓住圖形在動態變化中暫時靜止一瞬間，將這些點鎖定在某一個位置上，看滿足什么樣的關系，這樣問題的實質就顯示出來，從而得到解題方法。（3）認真研讀文字抓住其中的等量關系和變量關系。一個問題是有關確定圖形變量之間的關系時，通常建立函數模型求解，當確定圖形之間的特殊關系或者一些特殊值時，通常建立方程模型求解，一般涉及到全等、相似、勾股定理等知識點。

6 教學建議及對策

（1）通過把中考試題回歸課本，強化學生對書本知識的融會貫通。本題在九年級下教科書（人教版）中可以找到它的出處，只不過對原題引申、條件變換、移植轉換、增加解題層次性。（2）掌握數學知識的遷移，通過代數模塊與幾何模塊互相轉化，互相解釋，來培養學生數學素質和思維的靈活性、深刻性和創造性 。

具有較強代表性的課本習題和中考試題是數學知識的精華所在，在教學中教師要善于“借題發揮”，使所學數學知識系統化、網絡化，培養學生復合思維模式，形成網格技能。通過說題促進教師對試題的研究，幫助教師把握中考命題的趨勢與方向，使中考復習走出題海戰術，回歸課本，把厚書讀薄，薄書讀厚，真正做到舉一反三，達到事半功倍的效果。