關(guān)于導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度的思考

趙曉運ZHAO Xiao-yun

（臺州學(xué)院機械工程學(xué)院，臺州318000）

0 引言

導(dǎo)數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，也是當代工程技術(shù)應(yīng)用分析的有力工具之一。導(dǎo)數(shù)本身體現(xiàn)出變量間的關(guān)系或函數(shù)功能及其極限過程操作的思考，變數(shù)體現(xiàn)了運動，運動體現(xiàn)了物理世界的變化。在許多實際問題中，需要對物理世界中功能關(guān)系的變化進行分析和利用，導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度內(nèi)涵的“數(shù)”和“形”對應(yīng)著對物理世界的一定認識，對物理世界的應(yīng)用起著指導(dǎo)和創(chuàng)造作用。正確理解它們的結(jié)論和含義，能夠在廣泛的工程技術(shù)應(yīng)用中形成突破和創(chuàng)新，更好地利用物質(zhì)世界，創(chuàng)造出更有用、更有效的物質(zhì)世界。

1 導(dǎo)數(shù)及其含義

導(dǎo)數(shù)反映的是因變量和自變量的比率關(guān)系，導(dǎo)數(shù)本身是關(guān)于自變量變化方向的矢量，具有大小和方向，其幾何形象是“斜率”。在工程實踐中，若影響考察目標的因素中只有一個主因，其它因素可以不計它們的影響，便形成了單一因素的工程實踐應(yīng)用問題。在一元函數(shù)中，“斜率”的幾何方向僅是與單一自變量變化方向相聯(lián)系的，相應(yīng)“斜率”的概念注重整體連續(xù)指向性，即考查各位置相對自變量的變化方向和整體變向指向情況。撇開其具體的物理和現(xiàn)實意義，主從變量之間的關(guān)系可以純粹地用數(shù)量關(guān)系描述，進而可以用圖形顯示其屬性含義，形成認識的“形象特征”，即“斜率”的概念。

2 方向?qū)?shù)及其含義

方向?qū)?shù)仍然是變化率的問題，方向?qū)?shù)是方向一定的變化量，只有大小，其幾何形象描述仍然是“斜率”。在工程實踐中，若影響考察目標的因素中可以近似認為有兩個主因，其它因素可以不計影響，便形成了雙因素的工程實踐問題。由于增加了一個影響因素，因而影響域是一個平面，在這個影響域內(nèi)，兩個不同變量的變化趨勢便決定了影響域內(nèi)的方向，那么方向?qū)?shù)便是考查目標相對這個方向的變化趨勢情況。撇開具體的物理意義，考察目標即相應(yīng)的空間變量，在影響域兩個變量的作用下，形成一個空間曲面“形象”，在該曲面任一位置可形成一個切平面，這個切平面上任意直線方向與平面域的夾角便反映了方向?qū)?shù)的“斜率”。由此可見，方向?qū)?shù)針對一個單一方向的變化率，反映空間變量相對于某一方向的變化情況，這一方向是由雙因素聯(lián)合而形成。若分別設(shè)x和y為兩個主要影響因素，則方向?qū)?shù)的“斜率”可以理解為以點（x,y）為起點，沿xoy平面某一方向，從變量變化趨勢的“坡度”大小，即該量在所給方向上變化趨勢相對于xoy平面的傾斜程度。用方向?qū)?shù)來描述空間點的“斜率”，則體現(xiàn)了局部指向性。由于方向?qū)?shù)是給定方向后的變化率，所以，方向?qū)?shù)本身是標量，其值反映的是斜率的大小。

3 梯度及其含義

梯度反映的是空間變量變化趨勢的最大值和方向。梯度是導(dǎo)數(shù)和方向?qū)?shù)的綜合問題，從本質(zhì)上說，梯度仍是“斜率”問題，對應(yīng)的是切平面與平面域的夾角。切平面上任意方向與平面域的夾角中，只有一個方向與平面域的夾角最大，該夾角代表空間變量在平面域?qū)?yīng)方向的方向?qū)?shù)所反映的“斜率”，斜率的大小為梯度的模，因而梯度實質(zhì)是空間變量方向?qū)?shù)最大的方向的反映。空間變量在一位置點沿一個變量方向的方向?qū)?shù)為該變量的偏導(dǎo)數(shù)，“斜率”為該位置切平面上沿該變量的方向與該變量方向的夾角。空間變量在一位置點的梯度方向是空間變量相對于兩個自變量所決定的平面的變化情況，體現(xiàn)的是空間變量在該位置所形成的切平面與兩個主變量平面的夾角（二面角）。切平面與自變量平面的夾角的正切值即為該點梯度的大小（模）。所以，梯度是方向?qū)?shù)的線性組合，是有方向的。梯度的方向是從變量變化（方向?qū)?shù)）最大的方向，其值（模）為該方向的方向?qū)?shù)，對應(yīng)的斜率是導(dǎo)數(shù)變化最大的方向與變量平面域的夾角即二面角。

4 工程應(yīng)用的思考

導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度是從變量相對于自變量的變化率的描述，其共同特征是“斜率”或“坡度”的反映，都有特定“形象特征”的認識且具有關(guān)聯(lián)性。方向?qū)?shù)是局部趨勢的反映，是標量。導(dǎo)數(shù)和梯度則聯(lián)系由局部到整體，并揭示整體趨勢的反映，變量及其組合是有其變化趨勢和方向的，導(dǎo)數(shù)和梯度是關(guān)于變量方向的矢量，同樣是有大小和方向的。深刻、充分理解導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度的本質(zhì)特征和相互之間的關(guān)聯(lián)性，對于相應(yīng)的工程應(yīng)用問題起到指導(dǎo)和推動作用。許多實際問題，研究考察目標相對諸多影響因素的任一“方位”的變化情況，分析關(guān)聯(lián)性，并對整體應(yīng)用給出參考和指導(dǎo)。如定勢移動、波動等諸多問題的分析，都需要用到對導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)和梯度等的形象認識和理論分析，進而形成工程手段去實現(xiàn)相關(guān)目的。液體定勢和電力定勢應(yīng)用問題中，液流強度和電流強度反映的是液勢和電勢的變化趨勢，因而，液流強度和電流強度與梯度有著直接聯(lián)系，可理解為相應(yīng)的強度（勢能變化率）垂直于其等勢面，且與勢能增加方向相反。具體來說，在某點處的勢能強度與該點處勢能的負梯度方向相同。

總之，導(dǎo)數(shù)這一變化“趨勢”的認識，可以應(yīng)用到諸多領(lǐng)域。即可定性，亦可定量。用定性導(dǎo)出定量，用定量去實現(xiàn)定性。工程應(yīng)用的本質(zhì)特征就是運用所認識的技術(shù)手段，在變量變化的精度范圍內(nèi)，去近似實現(xiàn)工程的目標功能，為人類社會提供更優(yōu)的服務(wù)。

5 結(jié)論與展望

數(shù)學(xué)理論來源于實踐，其隱含的“形象特征”認識又能反作用于實踐客體。縱觀世界變化，各種現(xiàn)象及功能皆有“數(shù)”和“形”的對應(yīng)機理，人們可以根據(jù)需要研究特殊的“數(shù)”和“形”的關(guān)系，通過控制“數(shù)量”的裝置，創(chuàng)造出“連續(xù)數(shù)量”所顯示的物質(zhì)。著名數(shù)學(xué)家希爾伯特曾說：“數(shù)學(xué)是一個有機體，它的生命力的一個必要條件是所有各部分的不可分離的結(jié)合”。物質(zhì)世界是“形象”客體的化身，是“形象源”的重組與顯現(xiàn)。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)成就往往出現(xiàn)理論推導(dǎo)先于實際應(yīng)用，掌握并利用這些理論需要對其“形象源”認識透徹、完整，方可全面、有效地指導(dǎo)實踐。在實際應(yīng)用中，將導(dǎo)數(shù)理論和空間幾何學(xué)、空間運動學(xué)結(jié)合起來，甚至進行更大范圍的推廣，可以深層次地、更廣泛地開辟為人類服務(wù)的手段和工具。比如，可以用導(dǎo)數(shù)和運動來描述曲線和曲面，進而進行生成和制造，也可以由一定形狀的曲線和曲面來約束運動性質(zhì)和狀態(tài)，進而實現(xiàn)所需的物理功能。因此，對于有形象特征的數(shù)學(xué)認識，知其源，察其用，感其形，經(jīng)過分析組合，必能夠為工程技術(shù)應(yīng)用提供“形象源”，進而推動工程技術(shù)創(chuàng)新和發(fā)展。

[1]楊衛(wèi)東,潘清芬.3-維曲面方向?qū)?shù)的幾何意義[J].高等函授學(xué)報（自然科學(xué)版），2005,19(5):36-37.

[2]郭建新.談方向?qū)?shù)與梯度的幾何意義[J].甘肅高師學(xué)報,2009,14(5):17-18.

[3]黃曉紅，胡振華.方向?qū)?shù)及其幾何意義[J].民營科技，2011,9:85.

[4]丁宣浩.論方向?qū)?shù)和梯度[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004,20(2):112-115.

[5]李蓮英，孟憲英.方向?qū)?shù)及應(yīng)用[J].山東工業(yè)大學(xué)學(xué)報，1992,22(2):95-100.

[6]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（上冊第四版）[M].北京：高等教育出版社,2002,10.

[7]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（下冊第四版）[M].北京：高等教育出版社,2002,6.

[8]（美）莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊）[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社,2009,3.

[9]（美）莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第四冊）[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2012，9.