基于海浪譜模型和FFT的海面建模

熊艷飛，石志廣，郭建，李吉成

(1.湘潭大學材料與光電物理學院，湖南湘潭 411005; 2.國防科學技術大學ATR重點實驗室，長沙 410073)

基于海浪譜模型和FFT的海面建模

熊艷飛1，石志廣2，郭建1，李吉成2

(1.湘潭大學材料與光電物理學院，湖南湘潭 411005; 2.國防科學技術大學ATR重點實驗室，長沙 410073)

針對海面波浪的隨機性和復雜性等仿真難點問題，從海洋學的觀測和研究成果出發(fā)，使用風浪、涌浪和震蕩波(choppy波)共同構成海浪譜。提出一種逼真度高且計算量小的基于海浪譜模型和快速傅里葉變換(FFT)的海面建模方法。在Matlab軟件環(huán)境下仿真較為真實的海況，不僅實現(xiàn)了風浪和涌浪的模擬，還實現(xiàn)了震蕩波的模擬，其中震蕩波是為了解決海面的非線性問題。將3種海面波形高度譜疊加，對波形幅值進行FFT，計算出空域隨時間變化的波形。仿真結果表明:該方法可以快速有效地模擬動態(tài)海面，能夠滿足海面建模的逼真性和實時性的要求。

風浪;涌浪;震蕩波;海浪譜;快速傅里葉變換

海浪是一種復雜的隨機過程，早期的學者采用均方差高度和相關長度等統(tǒng)計信息來簡單地表征海面特征，沒有反映出海面自身的紋理結構。隨著人們對海浪的深入研究，海浪建模已取得了較大突破，目前主要從3個領域對海面波浪進行建模［1］:一是針對液體的波動，從海面波浪的物理特性出發(fā)，不直接模擬海浪的運動，通過計算力學N－S方程［2］獲得海浪內部各質點的運動狀態(tài)。如Kass等［3］提出的方法所生成的海浪形狀接近真實的物理現(xiàn)象，但求解方程非常困難，不能滿足實時性的要求，應用較少;二是從海面波浪的幾何形狀出發(fā)，通過構造一定的數學函數，人為設置海浪參數，模擬一個近似真實的海洋表面。如鄢來斌等［4］提出的方法簡單且實時性好，但真實感較差，人為痕跡較明顯，適用范圍比較窄，多應用于游戲或動畫等場景中;三是從海洋觀測的結果出發(fā)，采用適當的海浪譜方法模擬海面波浪。如王寶龍等［5］提出的方法簡化了計算，滿足實時性要求，模擬效果良好。由于多數海浪譜建模的方法只考慮了風浪和涌浪構成的線性海面，沒有涉及非線性問題，因而海面的逼真性問題還有待進一步研究。

本文針對海面建模方法中出現(xiàn)的計算復雜或海面逼真性差的問題，結合已有的海洋學研究成果，在仿真真實海面時，使用風浪、涌浪和震蕩波共同構成海浪譜，再結合FFT方法仿真三維海面的高度分布，從而實現(xiàn)對海面的建模。這種方法不僅計算量小，而且可以仿真任意真實海況，對海上運動和微波遙感等研究具有重要意義。

1 海浪譜模型

海面是自然界中最為常見和復雜的背景之一，海面海浪的研究在流體力學、波浪學和計算機圖形學等領域有重要價值。海浪模擬技術作為海面建模的重要組成部分，直接影響海面建模的逼真度和效率。海浪模擬一直是人們感興趣的研究方向，并已逐漸被廣泛應用于游戲、電影、航海模擬器仿真和虛擬戰(zhàn)場環(huán)境等軍事和民用領域中。海面可被看作有一定介電常數的隨機粗糙面，由于風的作用，海面高度起伏，海浪波動呈現(xiàn)隨機性和復雜性，這使得海浪的模擬過程相當困難。

實際海面波浪可稱之為隨機海浪，隨時間任意變化，可以被看作是由大量不同波高振幅、不同波長、不同頻率、不同傳播方向及位相雜亂的波浪相互混合而呈現(xiàn)出的紊亂復雜現(xiàn)象。海浪運動是一種復雜而隨機的過程，因而可以結合海浪特征和隨機過程來描述隨時間而變化的海浪。由此增加的隨機過程模擬不僅可以體現(xiàn)海面的不規(guī)律運動，揭示海浪內部波動能量的分布特征，還可以克服用確定的函數來描述有明顯隨機性的海面所帶來的困難，其隨機性可利用數學上的高斯分布實現(xiàn)。

海浪譜［6－9］是海面的功率密度譜，反映了海浪能量在波長和傳播方向上的統(tǒng)計分布，是海面高度起伏相關函數的傅里葉變換。譜是指能量相對于頻率的分布，海浪具有的能量是由各組成波動貢獻的。海浪譜可以描述波能量的平均統(tǒng)計分布在空間尺度和時間尺度上的變化特性。基于海浪譜的海面建模技術在海洋學多年的觀測資料和研究成果的基礎上進行建模，體現(xiàn)了真實的海浪特性。

海面某一點的高度是海面上各個方向和頻率的正弦波振幅在該點處的疊加，海面上的高度是空間和時間的函數。利用海水高度譜模型可模擬一定范圍海面的高低起伏，整個海面可看作是由許多高低起伏的海面小波面組成。海浪的成分主要分為風浪和涌浪，它們高低長短不齊、雜亂無章、此起彼伏，具有明顯的隨機性。風浪的生成、發(fā)展和衰減是一個自然物理過程，直接由海面風吹動引起，是一種強制波，其形成可看作是大氣到海洋的能量傳播過程，常表現(xiàn)為海面連續(xù)變化的紊亂的波峰和波谷，波形極不規(guī)則，波浪傳播方向也變化不定。涌浪是由風形成的海面長周期波浪，在風停止后仍可保持很長一段時間。涌浪與風浪不同，其海面呈現(xiàn)較為規(guī)則的波峰和波谷，波形也較為圓滑，離風區(qū)越遠，波形越規(guī)則，略近似正弦波。本文主要考慮風浪模型即重力波模型和涌浪模型，并增加對震蕩波模型的建模，以期更好地符合海面波峰比較尖銳和波谷比較平坦的海洋物理特性。

1.1 重力波模型

海面狀況受到很多因素的影響，如天氣狀況、地理位置、風速等，其中風速對海面起伏影響最大，因為風會將能量傳遞給海浪。風很弱時，海面保持平靜;當風達到一定速度時，海面將開始出現(xiàn)毛細波。毛細波的波長很短，波高的絕對幅度很小，只存在于海面的很薄一層水面上。當風繼續(xù)吹刮時，促使毛細波的波長和波高增大，變成重力波［6－8］。海浪在風力的作用下不會無限地產生，當波浪的能量聚焦達到臨界狀態(tài)時(即風對波浪的能量輸入與波浪的能量耗散相平衡)，波浪會漸趨穩(wěn)定，其統(tǒng)計特性基本不會再隨時間變化。

根據線性波浪理論，可以通過無限個隨機的余弦波疊加的線性波或重力波構造海浪波面。除了暴風雨天氣外，重力波模型可以真實地表示典型的海面形狀。不同波長的波以不同的速度進行傳播最后導致波的分散現(xiàn)象稱為波的擴散現(xiàn)象，波的頻率與波數之間的關系稱為擴散關系，擴散關系表達式為ω=()f k［12］。風和水流形成海浪，可看作滿足波擴散關系的平面波疊加。擴散性取決于海面上波的傳播運動，水深為D的海面波數和頻率滿足:

其中:ω為頻率;波數k=2π/λ;g為重力加速度。這里僅考慮由風形成的重力波，因為它是影響海面粗糙度的首要因素。通過概率統(tǒng)計模型可推導出波浪高度幅值，波合成采用快速傅里葉變換實現(xiàn)。對于更長波長(即更小波數)的重力波，或者水深大于波長的一半時，可將式(1)簡化為

重力波模型幅值Z(→k，t)是相對波數k的波幅值，其隨機特性由海面結構決定，并可通過有效波形高度功率譜密度來計算。本文采用的P－N［11］波形高度譜密度Sz()k如式(3)所示，幅值Z(→k，t)如式(4)所示。

其中:v為風速;→k為波數二維矢量;Θ為風向角度;ω(k)為頻率;Φk為隨機相位。

1.2 涌浪模型

當風平息后或風浪移動到風區(qū)以外時，受到慣性和重力的作用，水面繼續(xù)保持振動，這時的波動屬于自由波，這種波浪稱為涌浪［6，12］。涌浪在深水傳播過程中，由于水體內部的摩擦作用和波面與空氣的摩擦等會損失掉一部分能量，主要能量則在進入淺水區(qū)后受到底部摩擦阻力作用以及破碎時紊動作用被消耗掉。涌浪的出現(xiàn)，預示著海浪進入消耗衰減階段。根據海洋觀測結果和經驗性質，涌浪包含特定波數kp的有效功率譜密度函數為

其中:A為涌浪高度幅值;kp=(kxp，kyp)為傅里葉空間波峰值波數向量;Θp為涌浪波峰值方向天頂角;kp為波數;σk為涌浪峰值標準偏差。

1.3 震蕩波模型

隨著海洋科學、計算機科學的發(fā)展及海浪模擬在軍事和民用等領域的需求，人們對海面建模的研究日益深入。現(xiàn)有文獻［6－11］提出的各種海面建模方法大多數是基于海浪譜模型的，較為成熟的是基于線性海浪理論的方法，即認為海浪是一系列振幅、相位和方向不同的簡諧波的疊加，由此仿真的海面稱為線性海面。單純對風浪和涌浪的模擬是一種較粗糙的模擬，所模擬的海面屬于線性海面。基于海浪譜的海浪模擬方法雖然被廣泛應用，但生成的海浪波峰較為圓滑，導致海面逼真性較差。實際海面海浪多以混合浪的形式存在，加上風、浪及波浪間作用的非線性效應，實際海浪振幅相對于波長而言并不是小量，波峰部分陡峭而高，波谷部分平緩而淺，波面高度在一定程度上偏離正態(tài)分布，反映非線性的存在。因此，為了生成更加逼真的海面，海面生成算法不但要考慮組成波之間的線性疊加，還要考慮波與波之間的相互作用，這種非線性相互作用導致波與波之間能量的轉移或產生新的波，從而影響譜內的能量分布。為解決非線性帶來的影響，本文引入一種非線性波，稱之為震蕩波［6，8，10］。震蕩波利用流體動力學的N－S方程進行精確建模。其傅里葉波幅值偏移量［10］如式(6)所示。

將式(6)中的格點坐標在重力波模型基礎上進行平移，其格點坐標由x和y變換為x+s·D(x，t)和y+s·D(y，t)，位移后網格節(jié)點的高度保持不變，位移比例系數s用于決定位移大小。引入震蕩波后，因為波峰更為突出，波谷更為平緩，故海面看起來更為真實。

通過建立重力波、涌浪和震蕩波模型的海浪譜模型，采用FFT方法計算空域內的海面波形，從而實現(xiàn)對海面的建模。

2 基于FFT的海面建模

基于FFT方法可以快速實現(xiàn)不同風速和不同風向下大尺寸海面的起伏特性仿真，在海洋動力學研究中得到了廣泛應用［5，10，12］。FFT方法有較好的周期特性，可以生成一小塊海面，因而可根據實際需要對海面進行相應擴展，只要重復性不很明顯，就能用這些小塊進行拼接，形成一個較大的海面。任意時刻的海浪高度H(→，t)［10］可表示為

由于實際的海面相對來說是無窮大，要模擬一個無窮大的海面模型有很大的難度，而在海面建模過程中海面大小的取舍會對建模的精度和準確性產生影響，同時對計算速度也有影響，因此可通過對海面進行網格劃分來獲得較好的實時性。

首先，建立重力波模型。根據實際需要選擇一個比較合適的海面區(qū)域，并對該區(qū)域采用波面網格化，如同將一個規(guī)則的網格放在海平面上，計算水平網格點的位置矢量;根據波數與波長之間的關系式導出波數及波數矢量，再根據重力波的擴散關系計算出頻率，其中隨機相位確定風成浪的隨機特性，由均值為0和方差為1的高斯隨機數生成器產生;最后通過有效波形高度功率譜密度函數來計算波形高度振幅。當給定一定的風速時，通過結合FFT方法便可模擬出隨時間變化的海面隨機性波浪圖形。

其次，建立涌浪模型。根據給定的波長計算涌浪特定波數之后，再根據涌浪波峰方向及特定波數計算傅里葉空間波峰的波數矢量;然后由涌浪波數計算涌浪波峰均方差，并對涌浪高斯功率譜密度進行傅里葉逆變換求波形高度譜;最后將涌浪波形高度譜疊加到重力波模型中，便可以模擬出同時存在重力波和涌浪的海面波浪圖形。

再次，建立震蕩波模型。該模型以重力波模型為基礎，在保持位移后網格點的高度不變的情況下，根據比例系數的大小來平移水平網格點位置，計算位移后震蕩波形高度振幅。

最后將3種波形高度幅值進行疊加，對幅值進行快速傅里葉逆變換計算出一定范圍內在空域隨時間變化的海面波形高度譜，從而模擬出海面波浪圖形。基于FFT方法的海面建模框圖如圖1所示。

圖1 基于FFT方法的海面建模框圖

具體的仿真步驟如下:

1)確定需要仿真的海面大小為Lx×Ly。根據劃分的空間網格數目M×N，計算x方向和y方向的波數kx和ky，并分別表示如下:

其中和為倍數，均取整數，可分別表示為

2)海面被切分成許多大小為Δx×Δy的小面元組成，其中Δx=Lx/N，Δy=Ly/M。再計算水平網格點的位置矢量→r，并根據波數計算出相應的頻率ω;

3)利用Matlab軟件中的rand函數產生M× N個隨機初相位;

4)對由重力波、涌浪和震蕩波組成的海浪譜頻譜進行FFT，直到計算完給定范圍內的所有網格點，仿真得到所要模擬的三維海面圖像。

3 仿真結果分析

風是影響海面波浪的主要因素，海面風作用直接影響到海面海況，海況的高低決定了海面波高的起伏變化。本文僅考慮相同風向角、不同風速下的海面波浪。圖2為4種不同風速下的三維隨機海浪波面圖形。其中部分參數如下:所模擬的海面大小為10 000 m×10 000 m，網格點數為256×256，時間t=1 s，風向角為45°。

圖2 在不同風速下的三維隨機海面的波浪圖形

由圖2可知:隨著風速的增加，海面的起伏變大，粗糙度增加。當僅考慮由風形成的波浪時，風速是影響海面粗糙度的首要因素。在變化的風場海洋環(huán)境下，由于受到不同風力因素的影響，仿真的海面會產生各種不同形態(tài)的波浪，波浪高度隨時間和位置發(fā)生變化。圖中x和y表示水平位置上所劃分的網格點數，z軸表示海浪振幅高度。圖2(a)中風速為5 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為小波;圖2 (b)中風速為9 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為中浪;圖2 (c)中風速為12 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為大浪;圖2 (d)中風速為18 m/s，海面狀態(tài)呈現(xiàn)為狂濤。隨著風速的增加，海面波浪的振幅隨之增加。當風速較小時，海浪比較平穩(wěn)且起伏不大;當風速較大時，海況較高，使得海面波峰和波谷產生較大的起伏變化。

4 結束語

本文利用Matlab軟件實現(xiàn)了對實時海浪的模擬，效果較真實，有效地解決了海面建模中對海浪模擬的難題，同時引入隨機變量，可以較好地反映海浪的隨機性。在模擬風浪模型和涌浪模型的基礎上增加了對非線性震蕩波模型的模擬，很好地解決了海面逼真性問題。采用FFT算法不僅計算效率高、速度快，而且仿真所生成的海面細節(jié)特征較為明顯。利用計算機進行海面建模仿真，復雜的海洋情況在虛擬的環(huán)境中得以再現(xiàn)，為未來海洋艦船仿真及海洋武器設備等研究奠定了基礎。該方法的不足之處是無法表示波峰卷曲的海浪，且由于本文建立在一定海洋物理學理論和一些經驗海譜模型上，所以對于如何解決實際海面上的隨機海浪問題還需進一步研究。本文沒有考慮海面擾動及海浪破碎時出現(xiàn)的浪花和泡沫等復雜現(xiàn)象給海面帶來的影響，這是今后研究需要改進和完善的方面。

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(責任編輯 楊黎麗)

Sea Surface Modeling Based on the Spectrum of Ocean Waves Modeling and the FFT

XIONG Yan－fei1，SHI Zhi－guang2，GUO Jian1，LI Ji－cheng2
(1.Faculty of Materials，Optoelectronics and Physics，
Xiangtan University，Xiangtan 411005，China;2.Key Laboratory of ATR，
National University of Defense Technology，Changsha 410073，China)

In view of the randomness and complexity of the ocean wave simulation problems，by using the observation and research results of oceanography，in this article，the spectrum of ocean wave is constituted of gravity waves，swells and shock waves(choppy waves).A kind of high fidelity and less calculation of sea surface modeling method was put forward，which was based on the spectrum of ocean wave modeling and the fast fourier transform(FFT).The more real ocean marine was simulated in the MATLAB software environment，which realized the simulation of gravity waves and swells.In order to meet the characteristics of marine physics and solve the nonlinear problem，the simulation of choppy waves was increased.The waves’height spectrum which was superposed by three waves by u－sing the FFT can calculate the height space domain waveform which was changed with the time.The simulation results show that this method can efficiently simulate the dynamic ocean surface modeling，and it also can satisfy the requirements of real－time and reality.

gravity waves;swells;choppy waves;spectrum of ocean waves;FFT

TP391.1

A

1674－8425(2014)04－0077－06

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.04.017

2013－12－06

國家自然科學基金資助項目(61302145)

熊艷飛(1988—)，女，湖南益陽人，碩士研究生，主要從事海面紅外圖像研究。

熊艷飛，石志廣，郭建，等.基于海浪譜模型和FFT的海面建模［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014 (4):77－82.

format:XIONG Yan－fei，SHI Zhi－guang，GUO Jian，et al.Sea Surface Modeling Based on the Spectrum of Ocean Waves Modeling and the FFT［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014 (4):77－82.