解析幾何中的最值距離探析

尹團則

（河北棗強中學，河北 棗強 053100）

解析幾何中的最值距離探析

尹團則

（河北棗強中學，河北 棗強 053100）

解析幾何中的最值問題是高考中的熱點問題，既有選擇題，又有填空題、解答題，難度中等偏高.高考題中有關解析幾何中求距離最值問題，最終都可以轉化為定義或對稱思想、三角有界求值域的方法解之，一般思想轉折線和為線段最短問題.

數學；解析幾何；求線段最值；曲化直

解析幾何中的最值問題是高考中的熱點問題，既有選擇題又有填空題、解答題，難度中等偏高.考查上述問題時，通常考查函數與方程、轉化與化歸及分類討論等思想方法.這就要求同學們對最值問題要做到心中有數，運算準確，爭取在此類問題上能夠脫穎而出.下面，就常常出現的幾類題型介紹一下自己的看法.

例1 已知點A（-3，8），B（2，2），點P是x軸上的點，求當|AP|+|PB|最小時點P的坐標.

【解析】設點B關于x軸的對稱點為B1，連AB1交x軸于點P，則易知點P滿足|AP|+|PB|最小.可求得直線AB1的方程2x+y-2=0.令y=0，則x=1.故所求點P的坐標為（1，0）.

點評：此題考查直線上一點到直線同側的兩點距離和的最小值，往往轉化為對稱問題，用直線方程的方法求解.很好地把直線問題與幾何問題結合到了一起，難度不大，屬于易得分題.

例2 若實數x，y滿足x2+y2+8x-6y+16=0，則x+y+1的最大值為________.

【解析】解法一：令x+y+1=t，則依題設圓C：（x+4）2+（y-3）2=9與直線l：x+y+1-t=0有公共點，從而故所求最大值為

解法二：因為x，y滿足C：（x+4）2+（y-3）2=9，所以可設（θ為參數）.所以x+y+1=3cosθ+3sinθ=3.故所求最大值為

點評：此題考查直線與圓位置關系問題.解法一考慮用圓心到直線距離與半徑比較大小，同學們容易想到但要注意計算準確.解法二則巧妙地運用了三角代換方法，簡化了運算步驟，是較好的選擇.

【解析】根據橢圓定義，有|MA|+|MC|=|MA|+（8-|MB|）=8-（|MB|-|MA|）.為使|MA|+|MC|取得最小值，只需|MB|-|MA|取得最大值，A、B、M三點共線時才可以取得，此時，故所求最小值為

點評：此題考查橢圓第一定義的靈活運用，要熟練掌握轉化變形，同時應用了三點共線原理，難度稍大，屬于拉分題.

【解析】根據題意，作出右圖.顯然，O1，O2為雙曲線的兩個焦點.要使|PM|-|PN|最大，即要使|PM|最大，|PN|最小，以此作出M，N具體位置如右圖，則容易得出|PM|-|PN|最大值為：|PM|-|PN|=（|PO1|+2）-（|PO2|-1）=3+|PO1|-|PO2=3+6=9.

點評：此題屬于綜合性較強的題型，既考查了圓的方程，又考查了雙曲線的性質.但最終還是回歸到雙曲線的定義上，充分體現了回歸課本的指導思想.

例5 點A（3，2）為定點，點F是拋物線y2=4x的焦點，點P在拋物線y2=4x上移動，則當|PA|+|PF|取得最小值時，點P的坐標是_____.

【解析】拋物線y2=4x的準線方程為x=-1，設P到準線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d.要使|PA|+|PF|取得最小值，由右圖可知過A點的直線與準線垂直時，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）.

點評：此題求取最值時，沒有上來后先設點，而是首先觀察點的位置，看能否借助概念，巧妙進行轉化，于是考慮拋物線的定義，順利解決了此題.

綜上所述，高考題中有關解析幾何中求距離最值問題，最終都可以轉化為定義或對稱思想、三角有界求值域的方法解之，一般思想轉折線和為線段最短問題.

G633.6

A

1674-9324（2014）07-0241-01