巧妙設計數學習題，提高數學綜合能力

劉海昌

摘 要：新形勢下的數學教學要在有限的時間和空間里提高學生的數學能力，使課堂效益最大化，那么數學習題的設計就要更有價值。通過習題讓學生將所學知識運用到實際中，解決實際問題，促進數學基礎的滲透理解，明確知識之間的聯系。有效的習題設計有助于學生數學基本技能的形成和能力的提高。學生在數學學習中往往一學就會、一聽就懂，但卻一做就錯、一考就倒。要解決這些問題，就要讓學生真正學會、聽懂，掌握基礎知識的同時，針對學生在學習中出現的具體問題，要通過習題演練，想出具體對策。

關鍵詞：實際問題 數學基礎 知識聯系

一、設計習題時不要局限于理論說教，更要聯系實際內容

在設計習題時，有以下幾條總的原則。

我們在設計習題時要聯系學生的學習實際和具體的教學內容，拓展研究領域，扎實開展對數學實際問題的研究；要特別重視培養學生的運算能力，提高做題的準確性、迅速性、簡捷性； 要在知識的探究過程中培養學生學習數學的興趣，并通過學生在學習過程中取得的進步，讓學生取得學習數學的信心；調動學生的積極性，引發學生的思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。如在設計線段垂直平分線和角平分線習題時，要考慮到常規輔助線的做法和綜合知識在證明中的運用。

二、設計習題時要注意題目的基礎性、普及性、發展性

《全日制義務教育數學課程標準》所提出的課程目標是每個學生在學習數學時必須獲得數學“四基”——基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；“四能”——分析問題的能力、解決問題的能力、發現問題的能力、提出問題的能力。為了完成以上目標，我們在設計習題時應特別注意以下幾點。

1.針對性

要抓住本節課內容的核心，促進概念的理解和思想方法的生成。如在學習角平分線以后，就要針對角平分線上的點到角兩邊的距離相等這個性質來設計習題進行強化訓練。

例如，如圖：射線OP是∠AOB的角平分線，∠AOB=60°，PM∥OB，PM=4，PN⊥OB。求：PN的長。

此類型的習題既訓練了角平分線的性質，又運用了三角形的其他性質，達到了訓練的目的和效果。

2.有效性

要關注通性通法，抓住基本概念，不要只在技巧上做文章。代數部分要注意適當地加強運算的訓練。如學習二次根式時要針對最簡二次根式的一些基本運算技巧設計習題。

3.創新性

題目要有新意，教材本身就是一個不斷繼承發展的過程。設計習題時要注意不離教材本質，要體現真正的應用，不要人為編造。如在設計線段的中垂線的習題時，要讓學生養成把線段中垂線上的點連結到線段兩個端點的習慣。

例如，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=7 cm，CD=2 cm，過AD的中點E作AD的垂線交BC于F，交AB的延長線于G，連結CG.

（1）當BG2=BF·BC時，求證：∠DAG=∠CGA；

（2）當BF∶FC=2∶3時，求BC的長.

這道題可以利用中垂線的性質，第（2）問的思維障礙將被巧妙化解。

4.層次性

要關注層次和梯度，理解教材有關習題的各部分、各欄目的要求，形成一個立體化的訓練系統，對不同水平的學生都要起到訓練作用，所以要設計不同層次的題目，要有考查基本知識的選擇題；還要有考查運用的分析題；也要有考查綜合能力的發散思維訓練題。

5.精確性

不僅要保證習題的科學性和準確性，而且要盡量精確。要考慮所選習題是否能達到訓練效果，對題目要仔細推敲，不能有歧義。

三、設計供課外使用的習題要關注本節內容

1.復習鞏固題

此類習題的要求和練習類似，可稍作歸納和提高。例如，已知一次函數y=2x+4，求其與兩坐標軸所圍成的三角形的面積。這道習題包含了對當堂課知識點的綜合運用，復習了一次函數基本知識，也滿足了學生進一步理解和研究有關知識與方法的需求，是能體現教學“彈性”的一道習題。

2.綜合運用

此類習題涉及相關知識的聯系，要在數學思維層面體現思想方法、技能技巧，還要在數學能力方面體現綜合運用本節知識來解決問題。習題可以和相關內容建立聯系，但要注意解決問題的關鍵應是本節的重點、難點、核心知識。例如，有關拋物線的知識點可以選取一個題目，對拋物線進行三種表達方式（一般式、頂點式、交點式）的訓練，可以讓學生去設解析式而達到求解析式的目的，也可以就拋物線的特殊點（定點、與坐標軸的交點、直線與拋物線的交點）、坐標與線段相互轉化進行綜合訓練。

3.拓展探索

此類習題更注意探究性、拓展性。數學教材包括兩方面的內容——看的內容和做的內容。正文、習題是一個整體，習題是正文的自然延續，是通過訓練幫助學生理解正文內容的。練習、習題就是給學生做的內容，練習、習題、復習題構成了教材的訓練系統，通過循序漸進的訓練，使學生對內容的理解逐步深入，提高能力。

例如，在一次函數的習題設計中，可以根據同學們獲得的知識進一步猜想：一次函數y=kx+b （k、b為常數，且k≠0）的圖象是什么形狀？并進一步思考：①作一次函數圖象時，要取幾個點？②用兩點定線法作一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象。③你取的是哪幾個點？學會比較，怎樣取比較簡單？探索出由特殊到一般的規律。通過習題使學生的發散思維得到訓練，培養了學生良好的思維品質，使教學由傳授知識向開發思維引申，也培養了學生敢于質疑的創新意識，使課堂學習效果得到了升華。

四、設計習題時要尊重學生的個體差異

在習題訓練過程中，要關注全體學生的發展，不同水平的學生都要考慮。對于學習有困難的學生，設計基本的訓練題，鼓勵他們主動參與數學學習活動，鼓勵他們自主地解決問題，對他們的解法和表述進行恰當的指導和評價；對于學有余力的學生，設計有難度的問題，鼓勵他們探索問題的多種表述方式和解題方法，同時給他們提供豐富的學習材料，拓寬他們的視野，發展他們的數學才能。

總之，教材中的習題與中考題的定位不同，因此，教材中的習題可以兼顧中考（越往后可以兼顧的內容越多），但絕不等同于中考題，要注意對中考題進行加工和改造，以有利于訓練本節（章）的核心知識，有利于增強學生理解數學、應用數學、學好數學的信心。

參考文獻

[1]馬復.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]張一民.中學數學教學方法[M].昆明：云南教育出版社，2001.

[3]施良方，崔允郭.教學理論：課堂教學的原理、策略與研究[M].上海：華東師范大學出版社，1999.

摘 要：新形勢下的數學教學要在有限的時間和空間里提高學生的數學能力，使課堂效益最大化，那么數學習題的設計就要更有價值。通過習題讓學生將所學知識運用到實際中，解決實際問題，促進數學基礎的滲透理解，明確知識之間的聯系。有效的習題設計有助于學生數學基本技能的形成和能力的提高。學生在數學學習中往往一學就會、一聽就懂，但卻一做就錯、一考就倒。要解決這些問題，就要讓學生真正學會、聽懂，掌握基礎知識的同時，針對學生在學習中出現的具體問題，要通過習題演練，想出具體對策。

關鍵詞：實際問題 數學基礎 知識聯系

一、設計習題時不要局限于理論說教，更要聯系實際內容

在設計習題時，有以下幾條總的原則。

我們在設計習題時要聯系學生的學習實際和具體的教學內容，拓展研究領域，扎實開展對數學實際問題的研究；要特別重視培養學生的運算能力，提高做題的準確性、迅速性、簡捷性； 要在知識的探究過程中培養學生學習數學的興趣，并通過學生在學習過程中取得的進步，讓學生取得學習數學的信心；調動學生的積極性，引發學生的思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。如在設計線段垂直平分線和角平分線習題時，要考慮到常規輔助線的做法和綜合知識在證明中的運用。

二、設計習題時要注意題目的基礎性、普及性、發展性

《全日制義務教育數學課程標準》所提出的課程目標是每個學生在學習數學時必須獲得數學“四基”——基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；“四能”——分析問題的能力、解決問題的能力、發現問題的能力、提出問題的能力。為了完成以上目標，我們在設計習題時應特別注意以下幾點。

1.針對性

要抓住本節課內容的核心，促進概念的理解和思想方法的生成。如在學習角平分線以后，就要針對角平分線上的點到角兩邊的距離相等這個性質來設計習題進行強化訓練。

例如，如圖：射線OP是∠AOB的角平分線，∠AOB=60°，PM∥OB，PM=4，PN⊥OB。求：PN的長。

此類型的習題既訓練了角平分線的性質，又運用了三角形的其他性質，達到了訓練的目的和效果。

2.有效性

要關注通性通法，抓住基本概念，不要只在技巧上做文章。代數部分要注意適當地加強運算的訓練。如學習二次根式時要針對最簡二次根式的一些基本運算技巧設計習題。

3.創新性

題目要有新意，教材本身就是一個不斷繼承發展的過程。設計習題時要注意不離教材本質，要體現真正的應用，不要人為編造。如在設計線段的中垂線的習題時，要讓學生養成把線段中垂線上的點連結到線段兩個端點的習慣。

例如，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=7 cm，CD=2 cm，過AD的中點E作AD的垂線交BC于F，交AB的延長線于G，連結CG.

（1）當BG2=BF·BC時，求證：∠DAG=∠CGA；

（2）當BF∶FC=2∶3時，求BC的長.

這道題可以利用中垂線的性質，第（2）問的思維障礙將被巧妙化解。

4.層次性

要關注層次和梯度，理解教材有關習題的各部分、各欄目的要求，形成一個立體化的訓練系統，對不同水平的學生都要起到訓練作用，所以要設計不同層次的題目，要有考查基本知識的選擇題；還要有考查運用的分析題；也要有考查綜合能力的發散思維訓練題。

5.精確性

不僅要保證習題的科學性和準確性，而且要盡量精確。要考慮所選習題是否能達到訓練效果，對題目要仔細推敲，不能有歧義。

三、設計供課外使用的習題要關注本節內容

1.復習鞏固題

此類習題的要求和練習類似，可稍作歸納和提高。例如，已知一次函數y=2x+4，求其與兩坐標軸所圍成的三角形的面積。這道習題包含了對當堂課知識點的綜合運用，復習了一次函數基本知識，也滿足了學生進一步理解和研究有關知識與方法的需求，是能體現教學“彈性”的一道習題。

2.綜合運用

此類習題涉及相關知識的聯系，要在數學思維層面體現思想方法、技能技巧，還要在數學能力方面體現綜合運用本節知識來解決問題。習題可以和相關內容建立聯系，但要注意解決問題的關鍵應是本節的重點、難點、核心知識。例如，有關拋物線的知識點可以選取一個題目，對拋物線進行三種表達方式（一般式、頂點式、交點式）的訓練，可以讓學生去設解析式而達到求解析式的目的，也可以就拋物線的特殊點（定點、與坐標軸的交點、直線與拋物線的交點）、坐標與線段相互轉化進行綜合訓練。

3.拓展探索

此類習題更注意探究性、拓展性。數學教材包括兩方面的內容——看的內容和做的內容。正文、習題是一個整體，習題是正文的自然延續，是通過訓練幫助學生理解正文內容的。練習、習題就是給學生做的內容，練習、習題、復習題構成了教材的訓練系統，通過循序漸進的訓練，使學生對內容的理解逐步深入，提高能力。

例如，在一次函數的習題設計中，可以根據同學們獲得的知識進一步猜想：一次函數y=kx+b （k、b為常數，且k≠0）的圖象是什么形狀？并進一步思考：①作一次函數圖象時，要取幾個點？②用兩點定線法作一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象。③你取的是哪幾個點？學會比較，怎樣取比較簡單？探索出由特殊到一般的規律。通過習題使學生的發散思維得到訓練，培養了學生良好的思維品質，使教學由傳授知識向開發思維引申，也培養了學生敢于質疑的創新意識，使課堂學習效果得到了升華。

四、設計習題時要尊重學生的個體差異

在習題訓練過程中，要關注全體學生的發展，不同水平的學生都要考慮。對于學習有困難的學生，設計基本的訓練題，鼓勵他們主動參與數學學習活動，鼓勵他們自主地解決問題，對他們的解法和表述進行恰當的指導和評價；對于學有余力的學生，設計有難度的問題，鼓勵他們探索問題的多種表述方式和解題方法，同時給他們提供豐富的學習材料，拓寬他們的視野，發展他們的數學才能。

總之，教材中的習題與中考題的定位不同，因此，教材中的習題可以兼顧中考（越往后可以兼顧的內容越多），但絕不等同于中考題，要注意對中考題進行加工和改造，以有利于訓練本節（章）的核心知識，有利于增強學生理解數學、應用數學、學好數學的信心。

參考文獻

[1]馬復.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]張一民.中學數學教學方法[M].昆明：云南教育出版社，2001.

[3]施良方，崔允郭.教學理論：課堂教學的原理、策略與研究[M].上海：華東師范大學出版社，1999.

摘 要：新形勢下的數學教學要在有限的時間和空間里提高學生的數學能力，使課堂效益最大化，那么數學習題的設計就要更有價值。通過習題讓學生將所學知識運用到實際中，解決實際問題，促進數學基礎的滲透理解，明確知識之間的聯系。有效的習題設計有助于學生數學基本技能的形成和能力的提高。學生在數學學習中往往一學就會、一聽就懂，但卻一做就錯、一考就倒。要解決這些問題，就要讓學生真正學會、聽懂，掌握基礎知識的同時，針對學生在學習中出現的具體問題，要通過習題演練，想出具體對策。

關鍵詞：實際問題 數學基礎 知識聯系

一、設計習題時不要局限于理論說教，更要聯系實際內容

在設計習題時，有以下幾條總的原則。

我們在設計習題時要聯系學生的學習實際和具體的教學內容，拓展研究領域，扎實開展對數學實際問題的研究；要特別重視培養學生的運算能力，提高做題的準確性、迅速性、簡捷性； 要在知識的探究過程中培養學生學習數學的興趣，并通過學生在學習過程中取得的進步，讓學生取得學習數學的信心；調動學生的積極性，引發學生的思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。如在設計線段垂直平分線和角平分線習題時，要考慮到常規輔助線的做法和綜合知識在證明中的運用。

二、設計習題時要注意題目的基礎性、普及性、發展性

《全日制義務教育數學課程標準》所提出的課程目標是每個學生在學習數學時必須獲得數學“四基”——基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；“四能”——分析問題的能力、解決問題的能力、發現問題的能力、提出問題的能力。為了完成以上目標，我們在設計習題時應特別注意以下幾點。

1.針對性

要抓住本節課內容的核心，促進概念的理解和思想方法的生成。如在學習角平分線以后，就要針對角平分線上的點到角兩邊的距離相等這個性質來設計習題進行強化訓練。

例如，如圖：射線OP是∠AOB的角平分線，∠AOB=60°，PM∥OB，PM=4，PN⊥OB。求：PN的長。

此類型的習題既訓練了角平分線的性質，又運用了三角形的其他性質，達到了訓練的目的和效果。

2.有效性

要關注通性通法，抓住基本概念，不要只在技巧上做文章。代數部分要注意適當地加強運算的訓練。如學習二次根式時要針對最簡二次根式的一些基本運算技巧設計習題。

3.創新性

題目要有新意，教材本身就是一個不斷繼承發展的過程。設計習題時要注意不離教材本質，要體現真正的應用，不要人為編造。如在設計線段的中垂線的習題時，要讓學生養成把線段中垂線上的點連結到線段兩個端點的習慣。

例如，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=7 cm，CD=2 cm，過AD的中點E作AD的垂線交BC于F，交AB的延長線于G，連結CG.

（1）當BG2=BF·BC時，求證：∠DAG=∠CGA；

（2）當BF∶FC=2∶3時，求BC的長.

這道題可以利用中垂線的性質，第（2）問的思維障礙將被巧妙化解。

4.層次性

要關注層次和梯度，理解教材有關習題的各部分、各欄目的要求，形成一個立體化的訓練系統，對不同水平的學生都要起到訓練作用，所以要設計不同層次的題目，要有考查基本知識的選擇題；還要有考查運用的分析題；也要有考查綜合能力的發散思維訓練題。

5.精確性

不僅要保證習題的科學性和準確性，而且要盡量精確。要考慮所選習題是否能達到訓練效果，對題目要仔細推敲，不能有歧義。

三、設計供課外使用的習題要關注本節內容

1.復習鞏固題

此類習題的要求和練習類似，可稍作歸納和提高。例如，已知一次函數y=2x+4，求其與兩坐標軸所圍成的三角形的面積。這道習題包含了對當堂課知識點的綜合運用，復習了一次函數基本知識，也滿足了學生進一步理解和研究有關知識與方法的需求，是能體現教學“彈性”的一道習題。

2.綜合運用

此類習題涉及相關知識的聯系，要在數學思維層面體現思想方法、技能技巧，還要在數學能力方面體現綜合運用本節知識來解決問題。習題可以和相關內容建立聯系，但要注意解決問題的關鍵應是本節的重點、難點、核心知識。例如，有關拋物線的知識點可以選取一個題目，對拋物線進行三種表達方式（一般式、頂點式、交點式）的訓練，可以讓學生去設解析式而達到求解析式的目的，也可以就拋物線的特殊點（定點、與坐標軸的交點、直線與拋物線的交點）、坐標與線段相互轉化進行綜合訓練。

3.拓展探索

此類習題更注意探究性、拓展性。數學教材包括兩方面的內容——看的內容和做的內容。正文、習題是一個整體，習題是正文的自然延續，是通過訓練幫助學生理解正文內容的。練習、習題就是給學生做的內容，練習、習題、復習題構成了教材的訓練系統，通過循序漸進的訓練，使學生對內容的理解逐步深入，提高能力。

例如，在一次函數的習題設計中，可以根據同學們獲得的知識進一步猜想：一次函數y=kx+b （k、b為常數，且k≠0）的圖象是什么形狀？并進一步思考：①作一次函數圖象時，要取幾個點？②用兩點定線法作一次函數y=kx+b（k、b為常數，且k≠0）的圖象。③你取的是哪幾個點？學會比較，怎樣取比較簡單？探索出由特殊到一般的規律。通過習題使學生的發散思維得到訓練，培養了學生良好的思維品質，使教學由傳授知識向開發思維引申，也培養了學生敢于質疑的創新意識，使課堂學習效果得到了升華。

四、設計習題時要尊重學生的個體差異

在習題訓練過程中，要關注全體學生的發展，不同水平的學生都要考慮。對于學習有困難的學生，設計基本的訓練題，鼓勵他們主動參與數學學習活動，鼓勵他們自主地解決問題，對他們的解法和表述進行恰當的指導和評價；對于學有余力的學生，設計有難度的問題，鼓勵他們探索問題的多種表述方式和解題方法，同時給他們提供豐富的學習材料，拓寬他們的視野，發展他們的數學才能。

總之，教材中的習題與中考題的定位不同，因此，教材中的習題可以兼顧中考（越往后可以兼顧的內容越多），但絕不等同于中考題，要注意對中考題進行加工和改造，以有利于訓練本節（章）的核心知識，有利于增強學生理解數學、應用數學、學好數學的信心。

參考文獻

[1]馬復.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.

[2]張一民.中學數學教學方法[M].昆明：云南教育出版社，2001.

[3]施良方，崔允郭.教學理論：課堂教學的原理、策略與研究[M].上海：華東師范大學出版社，1999.