基于位變性及結構特征效應的機床滑枕撓度誤差預估模型*

康俊賢，王 軍，，劉傲翔，舒啟林

(1.沈陽建筑大學 交通與機械工程學院，沈陽 110168;2. 沈陽理工大學 機械工程學院，沈陽110159)

0 引言

目前，滑枕已作為重要運動部件被應用于機床的鏜削結構中，鏜削過程中滑枕伸出呈懸臂狀態對工件進行加工［1］。因滑枕尺寸、自重及其它結構特征，加之鏜削力、滑枕內部鏜軸及其它部件重力的作用，可使滑枕懸伸端在反重力方向的靜剛度不足而產生撓度;且加工過程中滑枕沿其中心軸線方向的運動使刀具中心點在廣義加工空間［2］內的位置連續變化，進而使滑枕撓度呈連續性、位變性及靜態非線性，這破壞了機床的幾何精度，從而引起加工誤差［3-4］;因此，如何精確表征上述因素影響下的滑枕撓度誤差對滑枕的結構優化、誤差補償等起著舉足輕重的作用。

目前，國內外對滑枕撓度誤差的表征方法主要有實驗測量法［4-5］、仿真擬合法［3，6］及預估模型法［7］。實驗測量法以實體機床或樣機的滑枕為測量對象，采用特定的現場檢測技術，并對檢測結果進行誤差分離后可獲得間隔行程下滑枕的撓度誤差模型;該方法準確度頗高，但實體設備條件是其制約因素，且其檢測方法及誤差分離方法仍存疑、難點［8-9］。仿真擬合法以滑枕的數字化模型為研究對象，通過靜力學仿真得到滑枕間隔行程的撓度值，進一步將其擬合后獲得滑枕撓度與連續行程之間的關系;該方法準確度較高，其關鍵在于仿真過程中模型的合理程度以及擬合過程中擬合參數、結果的評定準則，這兩項因素相互作用，共同制約著仿真準確度［10］。預估模型法以滑枕的設計方案及部分設計參數為研究基礎，通過理論分析及計算得出滑枕撓度模型;該方法可在方案及圖紙設計階段即可實現對滑枕撓度信息的預估，較實驗測量法節省了大量時間、人力及物力，且避免了仿真擬合法繁復的有限元及數據處理過程，其關鍵點及難點在于對滑枕方案及設計參數的理論分析過程及所建立模型的精度。絕大多數學者將特定型號機床設備的滑枕視為懸臂梁模型，并對該模型下的滑枕撓度進行理論分析及計算，但簡化程度過高導致模型精度降低，且此類模型局限于特定型號的機床設備，其廣泛適用性仍有待考證。

基于上述研究現狀，本文以滑枕撓度為研究對象，以其廣泛適用性為出發點，考慮滑枕在工作過程中的位變性及結構特征效應，構建一種更加符合實際工況的滑枕撓度誤差預估模型;并進一步以特定型號的鏜銑機床為例，驗證了該模型的有效性。

1 滑枕撓度誤差模型

本文將以包含滑枕方案設計、基本尺寸及重要結構特征參數等的設計模型為研究對象，根據疊加原理及懸臂梁、材料各向同性等假設，獲得以廣泛適用性為出發點的各類載荷條件下的滑枕撓度曲線，并融合結構特征效應于截面慣性矩的表征過程中，從而獲得瞬時空間下的綜合撓度曲線模型，進一步通過設參考點、加權、代換等方法將連續性、位變性引入該模型，即可獲得基于位變性及結構特征效應的滑枕撓度誤差預估模型。

1.1 滑枕模型

滑枕結構設計方案的多樣性較強，但其形式主要有方滑枕及圓滑枕兩種［11］。通常將主軸、傳動件及其他附屬部件置于其內部空腔或附著在其壁上，故在滿足使用要求的前提下須在滑枕壁上設計形狀開口(一般為矩形開口)便于裝配、維修等工作的進行;此外，在滑枕內、外部常設有加強筋以提高其剛度從而減小變形量;因此，形狀開口及筋板為滑枕的主要結構特征。滑枕的長度及行程是其軸向方向的兩項基本尺寸參數;而垂直于軸向的截面尺寸則因滑枕形式而異，圓滑枕內外壁的徑向尺寸、方滑枕內外壁的寬高尺寸及其各自所確定的壁厚尺寸則是基本截面尺寸參數。以方滑枕為例的主要結構特征及基本尺寸參數如圖1 所示。

在撓度誤差模型構建過程中，通常將瞬時空間狀態［12］下的滑枕視為懸臂梁，如圖2 所示，l為懸伸長度，ω 為懸臂梁最大撓度，θ 為端截面轉角。

圖1 方滑枕的主要結構特征及基本尺寸

圖2 滑枕的懸臂梁模型示意圖

1.2 基于結構特征效應的截面慣性矩

截面慣性矩是指各微元截面至截面上某一指定軸線距離二次方與各微元面積乘積的積分，它是衡量截面抗彎能力的幾何參數，其數學表達為

通常將滑枕截面視為空心等截面，進而利用式(1)進行求解。

然而滑枕上的結構特征，如形狀開口、加強筋及二者的組合，使其部分等截面轉化為變截面，從而使軸向各截面慣性矩呈非線性式地不等關系，進而對滑枕撓度模型的構建產生影響。就宏觀角度而言，形狀開口使截面實體面積減小導致其負相關于截面慣性矩;而加強筋使截面實體面積增大，故其正相關于截面慣性矩;此即結構特征對截面慣性矩的相關效應。若對各截面沿軸向進行分段從而依次計算，雖可得到精確解但求解工作量及難度都較大，且會為后續的撓度曲線方程求解過程帶來諸多不便，故不宜取之。

目前在滑枕撓度誤差模型構建過程中關于該結構特征效應的考慮尚未見報道，故本文以結構特征為基礎，提出“結構特征正效應系數(Positive Effect Coefficient of Structural Characteristics，以下用sp表示)”和“結構特征負效應系數(Negative Effect Coefficient of Structural Characteristics，以下用sn表示)”的概念，并將這兩項系數引入截面慣性矩的計算中以減小結構特征效應下截面慣性矩的求解工作量及難度。

據截面特征幾何參數角度而言，加強筋是在原截面的基礎上沿徑向增加了新的截面面積ΔSp，且該面積在軸向上呈非線性分布(通常為分段分布);瞬時空間狀態下對ΔSp沿軸向在滑枕的有效懸伸長度lx范圍內積分可得加強筋有效體積ΔVp，該體積與滑枕有效懸伸體積Vx的比值，即為結構特征正效應系數，

同理，形狀開口在原截面的基礎上沿徑向減少的面積ΔSn，沿徑向在有效懸伸長度lx范圍內積分后得到有效負體積ΔVn，其與有效懸伸體積Vx的比值即為結構特征負效應系數，

將其引入截面慣性矩的計算式后可得:

式(4)同時適用于方滑枕、圓滑枕及復合截面滑枕，僅在具體求解過程中略有不同;當滑枕的結構參數及有效懸伸長度lx確定后，即可獲得Iy的值。

1.3 各類載荷條件下的綜合撓度誤差模型

為滿足該撓度誤差模型的廣泛適用性，在考慮滑枕結構形式等因素的基礎上，更須對其所受載荷進行分類，并獲得各類載荷條件下的懸臂梁撓度信息，進一步在符合疊加原理條件的前提下進行處理，從而獲得綜合撓度誤差曲線模型。疊加原理有兩個前提條件:①材料服從胡克定律且構件是線彈性的;②位移、應變等與載荷的關系是線性的;在使用疊加原理前，須對上述兩個條件進行驗證。

(1)載荷分類

如圖3 所示，首先據載荷大小變化將其分為定常、線性及非線性載荷;其次視載荷形式將定常載荷分為定常力矩載荷及定常力載荷;進一步以載荷作用點位置為依據將定常力矩載荷分為定常梁端力矩載荷及定常梁中力矩載荷，將定常力載荷分為定常梁端力載荷、定常梁中力載荷及均布力載荷。

圖3 滑枕的載荷分類

(2)各類載荷條件下的懸臂梁撓度信息

根據材料力學相關原理可知撓度曲線近似微分方程為

其中ω 為撓度，x為撓度參考點，M為懸臂梁所受力矩，E為彈性模量，I為截面慣性矩，可由式(4)求得。定常力及線性、非線性載荷下的懸臂梁力矩可通過理論力學相關原理求得，代入式(5)并于兩邊同乘dx積分后可得懸臂梁轉角方程為

再次同乘dx積分后可得撓度曲線方程

其中C、D 為積分常數，可通過懸臂梁的邊界條件確定。式(5)～(7)的求解過程因載荷類型不同而略有不同;其中定常梁中力矩及定常梁中力載荷的彎矩為分段函數，故其撓度曲線方程亦分段表達。

特別指出的是:①線性載荷在式(6)、(7)的積分過程完成后必出現力載荷的平方及立方項，故線性載荷與撓度呈非線性關系，此時不滿足疊加原理的前提條件;②非線性載荷的種類較多、性質復雜，可使式(6)、(7)的積分過程極為困難或不可積，且積分過程完成后也難以與撓度呈線性關系，從而不能保證疊加原理的前提條件成立;故在懸臂梁撓度信息的研究中排除上述兩種載荷，定常載荷的形式簡圖如圖4 所示。

圖4 定常載荷的形式簡圖

定常梁中力矩載荷的撓度曲線方程為

定常梁端力矩載荷的撓度曲線方程為

定常梁端力載荷的撓度曲線方程為

定常梁中力載荷的撓度曲線方程為

均布力載荷的撓度曲線方程為

(3)各類載荷條件下的綜合撓度曲線方程及梁端撓度

由式(8)～(12)可知，各項定常載荷與撓度呈線性關系，故可使用疊加原理對其進行綜合;由于實際工況下的載荷為上述各項定常載荷的單類單個、單類多個或數類單個、數類多個的組合，故在利用疊加原理對撓度曲線方程進行綜合時，依據“0 -1 對比評分法”對其進行加權處理后可得

此即瞬時空間狀態中各類載荷條件下的綜合撓度曲線方程;當組合載荷中包含第i(i=1，2，3，4，5)項載荷時，ki取1，反之取0;Ni表示第i項載荷的數量;加權系數ka1和ka4分別滿足

然而，式(13)是對懸臂梁上選定參考點的撓度評價，在實際工況下則以懸臂梁端部(也即滑枕頭部)作為最佳撓度參考點，此時x=l，代入式(13)得瞬時空間狀態中各類載荷條件下的懸臂梁端撓度

1.4 融入連續性、位變性的滑枕撓度誤差預估模型

式(16)以懸臂梁為表征基體，通常視其截面為等截面、截面慣性矩I為定值;為提高梁端撓度方程精度，考慮滑枕結構特征，將式(4)引入式(16)得

此即基于結構特征效應的滑枕頭部綜合撓度方程。

式(17)中l為滑枕懸伸長度，在懸臂梁模型分析過程中視其固定端為定點，而在實際工況下，該固定端的位置隨著滑枕行程的變化而產生廣義的位置變化，進而引起滑枕頭部撓度值的變化，此即滑枕撓度的位變性表征;同時，滑枕行程在某道工序過程中不斷變化使其撓度值亦不斷變化，此即滑枕撓度的連續性表征;因此，為更貼合實際工況，須將該連續位變性融入式(17)。

由圖4 中的載荷形式簡圖可知，當滑枕固定端廣義位置連續變化時，滑枕懸伸長度l、定常梁中力矩載荷與固定端距離a1及定常梁中力載荷與固定端距離a4隨之發生連續性變化，且三者在滑枕行程y=0mm時達到最小分別為l0、l1、l4，故有

代入式(17)后得

此即基于位變性及結構特征效應的滑枕撓度誤差預估表達式;若令第i類載荷條件下j個子載荷的綜合撓度為∑jωij(y)，則式(19)可簡記為

2 工程實例驗證

為驗證上述撓度誤差預估模型的有效性，本文以TX1600G 鏜銑加工中心的滑枕結構模型為實例對象、以前期文獻的撓度結果為參考，通過式(19)獲得該滑枕模型的撓度預估結果，并進一步與文獻結果作對比分析。

2.1 滑枕模型

如圖5 所示，TX1600G 鏜銑加工中心滑枕采用方形結構，其端面內壁尺寸214mm × 205mm，總長2540mm，Y軸方向行程1200mm;材料使用灰鑄鐵HT300，彈性模量E=157GPa，自身重力4300N。

圖5 TX1600G 鏜銑加工中心滑枕模型

位于滑枕端部的電主軸重力為1150N，滑枕附屬部件的總重力為1540N;當滑枕位于0mm 行程位置時，其端部參考點距離懸臂固定端365mm，電主軸重心、附屬部件的重心距離懸臂固定端分別為245mm、

-920mm。

2.2 文獻的撓度結果

文獻［3］以上述滑枕模型為研究對象，考慮到其整體模型上各點的撓度值在全行程范圍內呈“大數據［13］”性，故以電主軸模型頭部端面中心點為基準、沿Y軸方向間隔100mm 行程為依次取點，所獲得滑枕撓度結果如表1 所示。

表1 文獻的撓度結果

2.3 基于位變性及結構特征效應的預估撓度結果

結合滑枕模型、依據表1 可知:式(19)中ki的取值依次為k1=0、k2=0、k3=0、k4=1、k5=1 且l0=365mm;當k4=1 時，F4a=1150N，l4a=245mm，F4b=1540N，l4b= -920mm;當k5=1 時，q=1.693N/mm。

該滑枕模型的截面較為復雜，故對其沿Z向分層后進行分段積分求和;而結構特征正、負效應系數由滑枕行程、形狀開口尺寸及位置、加強筋尺寸及位置等共同決定;基于上述結構特征效應的結構特征正、負效應系數sp、sn及截面慣性矩Iy的結果如表2 所示。

表2 sp、sn 及Iy 的值

將相關數據代入式(19)后即可得滑枕撓度的間隔預估結果，如表3 所示。

2.4 結果對比分析

表3 文獻撓度與預估撓度的對比情況

表3 中各間隔行程的預估撓度信息表明，滑枕撓度隨其行程的線性增加而非線性地增大，從而再次驗證了滑枕行程與其撓度誤差的非線性、正相關關系。

據表3 中各間隔行程的差值可知:兩種模型在1200mm 行程處的滑枕撓度差值為1.57μm，其余各行程間隔點的滑枕撓度差值均在0.7μm 內，故就差值情況而言，該撓度預估模型具有良好的數值精度。

表3 中的差值百分比以文獻撓度作為標準基數。滑枕位于600～1200mm 行程內時，兩種模型的撓度差值百分比均在5%以內，故此行程段內該撓度預估模型具有良好的準確度;當滑枕位于400mm、500mm 行程處時，差值百分比分別為4. 75%、7. 20%，均小于10%，故該行程處此模型的撓度誤差預估效果較好。

當滑枕位于300mm 及以下行程時，差值百分比均大于10%，其中在200mm、100mm、0mm 行程處的差值百分比為338.46%、600.00%，原因有二:①此行程處的文獻撓度值較小，導致差值百分比的基數過小，同時導致同等數值精度下其百分比過大，從而使得其置信度降低;②結合滑枕結構(圖5)及表2 中sn的數值變化可知，懸伸部分的形狀開口及加強筋等結構特征，使得該結構區域內的滑枕重力在Y軸方向呈可線性處理的弱非線性分布，但該滑枕結構短行程內懸伸部分的形狀開口數量及面積都較大，使其在短行程的局部范圍內重力呈類階躍式的較強非線性，從而對差值百分比產生較大的影響。基于上述原因的綜合影響，使得短行程范圍內的差值百分比置信度降低，難以作為參考數據來衡量撓度預估結果;其次，相對長行程處的撓度而言，短行程處的撓度與之存在數量級的差距，且該差距并不會因結構特征對滑枕重力分布的非線性影響而具逾越之勢，進而致使短行程內撓度值的參考價值較低;再次，該撓度預估模型在差值的數值精度上具有極佳的表征性，且中、長行程范圍的差值百分比亦有良好的預估效果。

綜上可知，本文提出的滑枕撓度預估模型是有效合理的。

3 結論

(1)本文以滑枕設計模型為基礎分析了結構特征對截面慣性矩的影響效應，首次提出并定義了結構特征正、負效應系數的的概念，并將這兩項系數引入截面慣性矩的傳統公式中，獲得了基于結構特征效應的截面慣性矩修正計算式，更加貼切地反映了結構的截面抗彎能力。

(2)以廣泛適用性為出發點，基于疊加原理、懸臂梁假設等理論，引入截面慣性矩的修正計算式，在瞬時空間內獲得了各類載荷條件下的綜合撓度曲線模型;進一步融入連續性、位變性后導出滑枕撓度誤差的預估模型，并通過工程實例驗證了該預估模型的有效性。

(3)本文提出的基于位變性及結構特征效應的滑枕撓度誤差預估模型，為工程技術人員在圖紙及方案設計階段對滑枕撓度的預測提供了量化依據，同時對滑枕結構的優化設計、補償等具有指導意義，從而為機床同類問題的解決提供了有效的途徑。

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