數學建模推進大學數學教學改革的探討

郭廣寒 劉庚

摘要：介紹了數學建模的發展及數學建模的步驟，論述了通過數學建模活動在培養學生在將來從事科學活動中需要的能力和素質中發揮的作用，并探討了如何將數學建模融入大學數學教學，從而推動大學數學的改革。

關鍵詞：數學建模；大學數學；教學方法；教學改革

作者簡介：郭廣寒（1980-），男，山東泰安人，哈爾濱理工大學榮成學院基礎教學部，講師；劉庚（1980-），女，山西長治人，哈爾濱理工大學榮成學院基礎教學部，講師。（山東 威海 264300）

基金項目：本文系哈爾濱理工大學榮成學院院級課題“開展數學建模推進學院創新型實驗教學建設”（課題編號：P201000115）的研究成果。

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）06-0077-02

近幾十年來，數學迅速向自然科學和社會科學的各個領域滲透，在工程技術和經濟管理等方面發揮著越來越重要的作用。隨著計算機技術的快速發展，把數學方法應用于解決各類實際問題變得簡單化。首先需要把要解決的問題數學化，即建立相應的數學模型，這使數學建模日益顯示其關鍵的作用，現已成為現代應用數學的一個重要領域。高等院校肩負著培養高質量、高層次、創新型人才的重任，為此就必須重視培養學生數學建模這一必備的技能和素質。在大學工科數學的教學中，必須考慮將數學建模的思想和方法融入到教學中去，去激發學生學習數學的興趣，培養學生分析問題和解決實際問題的能力，推動大學數學教學的改革。

一、數學建模

1.數學建模競賽介紹

全國大學生數學建模競賽最早是在1989年，我國學生（北京大學、清華大學）開始參加始于1985年的每年一次的美國大學生數學建模競賽。競賽以通訊形式進行，三名大學生組成一隊，在三天時間內完成一篇包括模型的假設、建立和求解，計算方法的設計和計算機實現，結果的分析和檢驗，模型的改進等方面的論文。1994年以來，教育部高教司和中國工業與應用數學學會共同組織開展大學生數學建模競賽活動，受到了高等院校師生的廣泛歡迎。短短十幾年的時候，競賽規模從最初的10省市70多所院校300多隊，增加到 2007年的30省市960多所11700多隊。

同時，數學建模作為一門嶄新的課程是在八十年代初進入我國高校，數學建模的各項教學和課外科技活動如雨后春筍般出現在大學校園里。開設課程的院校迅速增加，規模不斷擴大；內容充實、形式多樣的各種講座、培訓受到學生的熱烈歡迎。

強調重在參與、公平競賽的數學建模競賽以它特有的內容和形式深深吸引著廣大同學。學生和老師普通反映，這是大學階段難得的一次“真槍實彈”的訓練，“模擬”了學生畢業后工作時的情況，既豐富、活躍了廣大學生的課外生活，也為優秀學生脫穎而出創造了條件。[1]在1997年進行的一次抽樣調查中，95%以上的學生認為，這項競賽在解決實際問題能力、創新精神及團隊合作意識等方面的培養起著有益的作用，真正做到“一次參賽，終身受益”。

2.數學建模介紹

學習數學主要是“掌握三基”，即要學習一些基本理論，學習一些基本定理和概念，以及學習一些解題的基本方法和技巧。但是更重要的是要學到數學的思想方法，用以解決數學和數學以外的問題。實際上，只有懂得數學本身，也才能懂得數學抽象的重要性。只有這樣才能真正了解數學實際上是非常生動活潑的，也才能真正地學好數學。

用數學來解決非數學的問題，首先是把要解決的問題和數學聯系上，也就是要建立數學模型。通俗的講，數學建模是建立數學模型的過程。一般來講，對于數學模型可以將之表述為：它是人們面對現實世界中的某個特定對象，為了某個特定的目的，根據其特有的內在規律，做出一些必要的簡化并運用數學工具而得到的一個數學結構的活動。[2]數學建模的一般步驟包括建模準備、模型假設、模型構成、模型求解、對模型的分析與檢驗及模型的應用，見圖1。

模型準備：了解問題的實際背景，明確其建模目的，搜索有關信息，掌握對象的特征。模型假設：針對問題特征和建模的目的，對問題作出合理、簡化的假設。模型構成：根據對象的內在規律，用數學的語言、符號描述問題，建立相應的數學結構。模型求解：利用獲取的數據資料，采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯推理、數值運算等數學方法和計算機技術，對模型的所有參數做出計算（估計）。模型分析：對模型解答所得結果進行誤差分析，統計分析及模型對數據的穩定性分析。模型檢驗：將模型分析結果與實際現象、數據進行比較，以此來驗證模型的合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。

二、數學建模在培養大學生能力中的作用

1.培養學生學習數學的興趣

學生在參與數學建模培訓和學習的過程中，一些實際問題的解決需要所學過的高等數學、線性代數和概率論與數理統計等的相關知識，這將會讓學生充分認識到學習數學的重要性，也能從中感知到自己所學知識結構的不足。比如在評價模型里，層次分析法中要構造比較矩陣，這就用到線性代數的一些知識。用馬爾科夫鏈預測模型來解決一些實際中的預測問題，這用到的概率論與隨機過程的知識。這些知識都會讓學生在以后的學習中會自覺培養學習數學的興趣，從而會在言傳身教中傳給低年級的學生，讓他們保持對數學的學習興趣。

2.培養學生的想象力和創新能力

大學生數學建模競賽的題目一般都是來自于工農業、工程技術、經濟和管理科學等領域中經過了適當簡化的實際問題，沒有設定標準答案。大學生面對這樣一個從未接觸的實際問題，就要求他們必須發揮各自的豐富想象力和創新的能力。這給他們一個充分挖掘自身的潛力、創新的思維、更開闊的思路的機會。

3.培養艱苦奮斗的精神和團結合作的能力

數學建模競賽的實際是三天，大學生在這三天時間里親身體會到：科學活動需要廢寢忘食，需要克服許多的困難，需要艱苦的努力。正是這種艱苦的努力、活躍的思想和縝密的推理，會使大家感受到解決問題以后的快樂和成就感。這一次的競賽給他們一生都留下深刻的印象，親身體會到艱苦奮斗的精神，這為大學生在將來的科教興國實踐中發揮重大作用。

數學建模競賽的每個隊要有三名學生參加。三位大學生在競賽過程中要彼此協商，團結合作，互相交流思想，共同解決問題。現代的科學沒有團結協作、沒有思想碰撞、沒有互相切磋是解決不了大問題的。因此團結合作能力是非常重要的一種品質和素質，這正是大學生在以后解決科學問題中要培養的一種能力，數學建模競賽給了一次很好的機會。

4.培養學生應用計算機的能力

數學建模競賽可以說是一個數學實驗。進入二十一世紀，計算機技術有了質的飛躍發展，也就是計算速度、存儲量以及人機結合有了質的飛躍，計算機軟件實驗在科學活動中占據越來越重要的位置。因此在數學建模中，通常要利用計算機軟件來進行編程計算、分析求解、數值模擬和圖形圖像的處理，這要求學生掌握并熟練應用Matlab、Spss、Lingo等編程和統計軟件。

三、數學建模活動推進數學教學方法改革的途徑

1.在數學教學過程中滲透數學建模思想

國內很多高校的數學建模教學實踐表明，在數學教學過程中滲透數學建模思想是一個十分有效的教學方法。[3]在大學高等數學中，凡是與實際問題背景有關的的各種數學概念、定理、方法，教師都應該引導學生從實際問題背景出發，對基本概念和基本定理進行深入的思考，讓學生理解它們是如何建立并抽象出來的。比如關于極限、連續、導數、定積分等概念以及一些定理如零點定理、微分中值定理都滲透著數學建模的思想。還有一些重要的數學思想，如坐標、逼近和隨機變量的思想，以及微元法等，這些思想都需要教師在數學課程的教學過程中去滲透關于數學建模的思想。學生在教師的這一系列的引導下逐步培養起對各種數學問題的歸納思維和抽象思維。時間充裕的話，可以適當講解如何把這些數學中冷冰冰的定理結論應用到實際的問題中去。比如零點定理用于解決“長方形的椅子能否在不平的地面上放穩”等經典的數學建模問題。[4]

2.開設數學建模系列課程

充分挖掘大學的教育資源和開展多種培養學生的途徑，開設數學建模和數學實驗課等選修課，讓更多不同專業的學生更早認識數學建模和接觸數學建模。數學建模選修課一方面是為數學建模競賽打好建模基礎，同時提高了學生善于提出問題、分析問題和解決問題的能力。數學實驗課的開設不僅使大多數學生可以受到應用數學那樣的思維訓練，而且可以激發學生自發去探索和發現數學知識本身的規律，激發學生學習數學的興趣和熱情，以達到增強學生自學能力、創新能力的目的。

數學建模課與數學實驗課都要用到計算機，但是數學建模課時讓學生學會利用數學知識和計算機技術來解決實際問題，而數學實驗課除了對實際問題所用到的數學知識解決實際問題以外，還要指導學生在計算機的幫助下學習數學知識。

3.改革教學方法

根據數學建模問題的多樣性、解決方法的靈活性、知識需求的廣泛性等特點，在教學上，教師應該摒棄傳統的填鴨式教學方法，大力實施啟發式、探究式、問題驅動式的教學方法。只有這樣，才能有效地激發學生的求知欲，可以使學生將被動學習轉變為主動學習、自主學習，改變學生不能參與其中以至于學了數學不知道怎么用、如何用于實際問題的尷尬局面。

4.合理建設教師隊伍

在建設教學隊伍上，應充分考慮教學任務的需要和開展科研活動的目標，合理招聘人才。根據教學建模活動的要求，教師隊伍需要有概率統計、運籌優化、微分方程、計算數學等多學科的教師參與。

四、結語

現代數學課程在整個高等學校人才培養中起著極其重要的基礎性作用。隨著計算機技術及數學軟件的普及，數學建模活動的廣泛開展，越來越多人認識到數學教學不僅要注意演繹思維、歸納思維和創造思維等基本能力的培養，因此將數學軟件和數學建模融入數學教學的全過程來推動大學數學教學的改革是值得深入研究和大力實踐的重要課題。

參考文獻：

[1]李大潛.中國大學生數學建模競賽[M].第三版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學數學，2006，（1）：4-8.

[4]鄒小云.基于建模思想的大學數學教學方法探究[J].長春理工大學學報，2013，8（1）：208-209.

（責任編輯：王意琴）