圓孔孔邊的應(yīng)力集中分析及優(yōu)化

閆思江，曾顯波，李凡國，陳春光

（青島港灣職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械系，山東 青島266404）

0 引言

在圓孔附近的局部區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力急劇增大，而在離開這一區(qū)域稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力迅速減小而趨于均勻，這種由于幾何形狀改變而引起的應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。應(yīng)力集中與孔徑大小無關(guān)，而與孔的幾何形狀有關(guān)[1]。應(yīng)力集中現(xiàn)象將一直保持到最大局部應(yīng)力到達(dá)強(qiáng)度極限之前。因此，在設(shè)計(jì)構(gòu)件時(shí)，應(yīng)考慮應(yīng)力集中的影響。為避免應(yīng)力集中造成構(gòu)件的疲勞破壞，改進(jìn)措施主要是改善構(gòu)件外形以降低應(yīng)力值[2]。本文通過優(yōu)化方法，對于不同的應(yīng)力約束要求，給出合理的幾何形狀。

1 理論分析

如圖1 所示，一彈性矩形薄板受集度為q 均勻拉伸作用，板中心有一孔徑為2a 的圓孔，板厚為1，坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓孔中心，坐標(biāo)平行于邊界。

由于討論圓孔孔邊的應(yīng)力集中問題，宜采用極坐標(biāo)。首先將外部直邊界變換為圓邊界，為此作如下等代變換：以圓點(diǎn)O 為圓心，以遠(yuǎn)大于a 的長度b 為半徑作一大圓。根據(jù)應(yīng)力集中的局部性，在大圓的周邊上任一點(diǎn)A 處的應(yīng)力與無孔時(shí)相同，即σx=q，σy=τxy=0。應(yīng)用坐標(biāo)變換公式，可得A 點(diǎn)的極坐標(biāo)分量：

于是矩形板轉(zhuǎn)換成了內(nèi)半徑為a、外半徑為b的厚壁圓筒的一個截面，根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]可以得到圓孔孔邊的應(yīng)力計(jì)算公式：

根據(jù)上述公式可以得到如下結(jié)論：

（1）沿孔邊（r=a）的環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力：

（2）沿y 軸（θ=±π/2）的橫截面面上的環(huán)向應(yīng)力：

（3）沿y 軸（θ=0，π）的的橫截面面上的環(huán)向應(yīng)力：

（4）孔邊最大應(yīng)力出現(xiàn)在θ=±π/2 處，最小應(yīng)力出現(xiàn)在θ=0，π 處，即

2 有限元分析

試樣為200×120mm2，厚度1mm 板，中心孔直徑12mm，劃分為76840 個四邊形網(wǎng)格，施加集度q=1的載荷，參見圖1。

采用HyperWorks 軟件的Radioss 求解器，對圓孔孔邊應(yīng)力進(jìn)行有限元分析，具體步驟為：①建立有限元模型，在孔邊采用局部細(xì)化技術(shù)，加密網(wǎng)格以提高計(jì)算精度；②設(shè)置材料參數(shù)；③設(shè)置屬性；④加載，為便于觀察，設(shè)置加載集度q=1；⑤創(chuàng)建工況；⑥提交求解。

計(jì)算結(jié)果如圖2 所示。從圖中可以看出最大應(yīng)力發(fā)生在θ=±π/2 處，最小應(yīng)力出現(xiàn)在θ=0，π 處，計(jì)算結(jié)果與理論值吻合的很好，其準(zhǔn)確度見表1。所出現(xiàn)的誤差與單元網(wǎng)格劃分精細(xì)程度有關(guān)。由于精度比較高，為下面的自由形狀優(yōu)化奠定了可信賴的基礎(chǔ)。

圖2 孔邊應(yīng)力分布圖

表1 孔邊最大、最小應(yīng)力值

3 自由形狀優(yōu)化

應(yīng)力集中的程度越高，集中的現(xiàn)象越是局部性的。由于最大應(yīng)力值與孔徑無關(guān)，只與幾何形狀有關(guān)，因此在構(gòu)件中挖孔或留孔，應(yīng)充分重視挖何種形狀的孔。不同的幾何形狀有不同的應(yīng)力集中。

自由形狀優(yōu)化的目的為改變某一區(qū)域的幾何形狀，并要求滿足一定的約束，以提高結(jié)構(gòu)特性。為避免應(yīng)力集中過高，尤其是脆性材料承受交變應(yīng)力載荷情況下[3]，通過實(shí)驗(yàn)及檢測試樣是不經(jīng)濟(jì)的，既耗時(shí)又浪費(fèi)，而目前又沒有基于力法的理論解，為此使用基于矩陣位移法的有限元方法對圓孔孔邊進(jìn)行自由形狀優(yōu)化，可以為疲勞分析提供理想的幾何形狀。

自由形狀優(yōu)化的基本思想與其他形狀優(yōu)化技術(shù)不同的是，其邊界節(jié)點(diǎn)的移動由軟件自動確定，不需要人工定義節(jié)點(diǎn)擾動。結(jié)構(gòu)的形狀改變被定義為擾動矢量的線性組合。擾動矢量用于定義與原始網(wǎng)格相關(guān)節(jié)點(diǎn)位置的改變，設(shè)計(jì)變量為擾動矢量的系數(shù)，即

式中：X——節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矢量；

X0——節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)初始時(shí)的坐標(biāo)矢量；

PVi——與設(shè)計(jì)變量DVi相關(guān)的擾動矢量[4]。

比較目前各種通用的有限元軟件，針對自由形狀優(yōu)化HyperWorks 軟件的Optistruct 模塊最為突出。其步驟為：①前述應(yīng)力分析步驟第1 步～第5 步；②使用free shape 選擇圓孔邊上的所有節(jié)點(diǎn)將其作為自由形狀優(yōu)化變量DV；③使用Responses，創(chuàng)建應(yīng)力響應(yīng)Stress，應(yīng)力類型選擇Von Mises，同時(shí)考慮單元的兩面；④創(chuàng)建體積響應(yīng)Vol 作為優(yōu)化目標(biāo)，類型設(shè)置為Volume；⑤設(shè)置應(yīng)力約束Dostress，使用不同的約束產(chǎn)生不同的幾何形狀；⑥以體積（質(zhì)量）Vol 作為優(yōu)化目標(biāo)，使之最小；⑦創(chuàng)建工況Loadstep；工況可以是多種載荷或載荷疊加，這里為了說明方法僅采用單一的均布拉伸載荷；⑧提交求解。

考慮到前面應(yīng)力分析所得到的σmax=3.043q，在創(chuàng)建應(yīng)力約束時(shí)，設(shè)置應(yīng)力約束σmax≤2.5q，進(jìn)行優(yōu)化得到的應(yīng)力分布圖和位移圖如圖3、4 所示。

由圖3 可以看出，孔周圍應(yīng)力最大為2.5q；而圖4 給出了相對應(yīng)的幾何外形，即只要將y 軸方向直徑減少2×0.83=1.66mm，而x 軸向直徑不變即可，也就是說構(gòu)件上的孔，挖成圖4 給出的幾何形狀，在相同載荷作用下，最大應(yīng)力值不會超過2.5q。

圖3 最大應(yīng)力小于2.5q 應(yīng)力分布圖

圖4 最大應(yīng)力小于2.5q 位移圖

圖5 最大應(yīng)力小于2q 位移圖

圖6 最大應(yīng)力小于1.5q位移圖

圖7 最大應(yīng)力小于1.2q位移圖

圖5、6、7 分別為將最大應(yīng)力降至2.0q、1.5q、1.2q 以下時(shí)的位移圖，由于觀察幾何形狀，這里沒有給出對應(yīng)的應(yīng)力分布云圖。可以看出橫向尺寸越小，應(yīng)力集中越小。中心區(qū)域即為對應(yīng)不同應(yīng)力大小要求孔的理想幾何形狀。也就是說，只要按位移圖給出的形狀加工孔，最大應(yīng)力不會超過相應(yīng)的最大應(yīng)力值。孔邊的幾何坐標(biāo)值可從結(jié)果文件中直接導(dǎo)出到Excel 文件中，這樣可直接使用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)控加工，非常方便。

4 結(jié)論

（1）基于HyperWorks 平臺，對應(yīng)力集中分析，只要單元劃分的足夠細(xì)，具有很高的精度。

（2）所述方法雖然是對圓孔孔邊進(jìn)行的分析，可將其推廣到任意形狀的應(yīng)力分析過程中，以獲得相應(yīng)的幾何外形，不受任何限制。

（3）優(yōu)化方法步驟簡單明了，可為今后的疲勞分析物理實(shí)驗(yàn)提供可靠的幾何形狀依據(jù)。

（4）在單向受力情況下，應(yīng)盡量使受力方向幾何尺寸大于橫向尺寸，即橫向尺寸越小應(yīng)力集中程度越低。

[1]徐芝綸.彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]蔣玉川.彈性力學(xué)與有限元法[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]徐鎮(zhèn)宇，等.機(jī)械零件[M].北京：人民教育出版社，1981.

[4]洪清泉.OptiStruct & HyperStudy 理論基礎(chǔ)與工程應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2013.

[5]閆思江，李凡國.超聲波疲勞試驗(yàn)諧響應(yīng)分析[J].鍛壓裝備與制造技術(shù)，2011，46（6）：87-89.

[6]李凡國，趙劍波，閆思江.基于MSC.MARC 的TP2銅管材液壓脹形數(shù)值模擬[J].鍛壓裝備與制造技術(shù)，2013，48（6）：95-97.