一類具有兩個(gè)邊界層現(xiàn)象的奇攝動(dòng)邊值問題

葉珊珊，陳懷軍

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

奇攝動(dòng)邊值問題的一個(gè)顯著特征是小參數(shù)與最高階導(dǎo)數(shù)相乘，使得因變量在越過一個(gè)非常窄的區(qū)域時(shí)經(jīng)受急劇的變化，并且這些窄的區(qū)域常常毗連感興趣區(qū)域的邊界，通常稱它們?yōu)檫吔鐚?處理邊界層問題的方法有很多，其中包括：匹配漸近展開法、合成展開法以及多尺度方法［1－5］.例如在奇攝動(dòng)邊值問題［5］.

當(dāng)A，B為正常數(shù)時(shí)，退化方程y2＝0不滿足其中任何一個(gè)邊界條件，故在區(qū)間［0，1］兩端各有一個(gè)邊界層.利用匹配漸近展開法，需要在x＝0和x＝1附近將邊界層放大，通過引進(jìn)適當(dāng)?shù)纳煺棺儞Q分別求出內(nèi)展開式，然后按照匹配原則將內(nèi)展開式與外展開式進(jìn)行匹配，得到在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開式.

本文考慮如下形式的奇攝動(dòng)二階半線性邊值問題

其中ε＞0是小參數(shù)，n≥2為正整數(shù)，f（x）在區(qū)間［0，1］上連續(xù)且f（x）＞0，A和B為確定的正常數(shù).先分析在區(qū)間［0，1］兩端可能出現(xiàn)邊界層現(xiàn)象的條件，利用直接匹配法（即Prandtl匹配原則）構(gòu)造出在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開式，得到該問題具有邊界層性質(zhì)的近似解.所做工作推廣了文獻(xiàn)［5］的結(jié)果.

1 主要結(jié)果

方程（1）中小參數(shù)與最高階導(dǎo)數(shù)相乘，退化方程為

因?yàn)閒（x）＞0，A，B為正常數(shù)，退化方程（3）不滿足（2）中任何一個(gè)邊界條件，故在區(qū)間［0，1］兩端各有一個(gè)邊界層.我們先來尋找形式為

的外展開式.將（4）代入方程（1），并比較εo的系數(shù)，得y0（x）＝0，因此外部解yo～0.

其特異極限對應(yīng)于λ＝1，上式寫為

設(shè)

將（6）代入（5）和邊界條件（2）的第一式，并比較εo的系數(shù)得

分離變量并積分得

其特異極限對應(yīng)于α＝1，上式寫為

設(shè)yI＝（ζ）＋L將它代入（10）和邊界條件（2）的第二式，并比較εo的系數(shù)得

因?yàn)?/p>

仍根據(jù)Prandtl匹配原則得到

. 于是類似上面的討論可得

最后把內(nèi)、外兩展開式相加并減去其公共部分，便構(gòu)成復(fù)合展開式的零次近似yc＝y(tǒng)o＋yi＋yI－（yi）o－（yI）o，即

下面我們利用所得結(jié)果考慮兩個(gè)特殊情形.

Ⅰ.在問題（1），（2）中，取f（x）≡1，則邊值問題

的零次近似解為

Ⅱ.在問題（1），（2）中，取f（x）≡1，n＝2，則邊值問題ε2y″－y2＝0，0＜x ＜1，y（0，ε）＝A，y（1，ε）＝B，的零次近似解為

情形Ⅱ與文獻(xiàn)［5］所得結(jié)果是一致的.

2 小結(jié)

匹配漸近展開法的基本思想是一個(gè)問題的近似解雖然不能用單一尺度的展開式給出，但可先用不同尺度的展開式分別給出，它們分別在所考慮的部分區(qū)域內(nèi)有效，這些部分區(qū)域的并覆蓋了所考慮的整個(gè)區(qū)域，然后再在內(nèi)、外兩個(gè)展開式有效區(qū)域相互重疊的部分將它們匹配，使其構(gòu)成一個(gè)在整個(gè)區(qū)域內(nèi)有效的近似解.人們通常應(yīng)用微分不等式理論和方法研究邊界層問題，通過分析微分不等式與相應(yīng)的微分方程的解之間的關(guān)系，構(gòu)造出一對適當(dāng)?shù)慕缍ê瘮?shù)，在對所論問題的解作出先驗(yàn)估計(jì)的同時(shí)，也證明了解的存在性.但該方法僅給出精確解與退化解之間的一個(gè)估計(jì)，未能構(gòu)造出具有邊界層性質(zhì)的近似解.利用匹配法則容易構(gòu)造出邊值問題在整個(gè)區(qū)間上一致有效的復(fù)合展開式，從而得到更精細(xì)的精確解的近似式.

［1］ 劉樹德，魯世平，姚靜蓀，等.奇異攝動(dòng)邊界層和內(nèi)層理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2012.

［2］ 陳懷軍，莫嘉琪.雙參數(shù)奇攝動(dòng)非線性反應(yīng)擴(kuò)散問題［J］.物理學(xué)報(bào)，2010，59（7）：4 409－4 412.

［3］ 劉樹德，孫建山，謝元靜.一類奇攝動(dòng)擬線性邊值問題的激波解［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32（2）：312－319.

［4］ Holmes M H.Introduction to Perturbation Meyhods［M］.New York：Springer－Verlag，1999.

［5］ Nayfeh A H.Introduction for Perturbation Techniques［M］.New York：John Wiley ＆ Sons，1981.