三角代換在第二類換元積分法中的應用

【摘要】第二類換元積分法在《高等數學》教學中是重點，亦是難點，本文想通過兩種解題方式的介紹，使同學們拓展思路，更簡單的利用三角代換解決問題。

【關鍵詞】三角代換第二類換元積分應用兩種方法

【中圖分類號】O172.2 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）06-0139-02

“三角代換”是數學解題中的一種常用技巧，這種技巧在解決一些運算復雜、解題思路疑難的問題時常常能起到事半功倍、豁然開朗的效果。在不定積分一章的教學中，當被積式中含有根式■，■，■時，我們通常的做法是進行三角代換，以此達到將無理式化為有理三角函數的目的，然后積分。

在第二類換元積分法中，若f（x）是連續函數，x=φ（t）有連續的導數φ'（t），且φ'（t）≠0。又設■f[φ（t）]φ'（t）dt=F（t）+c則有換元公式■f（x）dx=■f[φ（t）]φ'（t）dt=F[φ-1（x）]+c。

當被積函數f（x）是含有■，■，■的類型時，積分的困難在于含有無理式。通常《高等數學》教材上是：若含有■，設x=asint；含有■,設x=atant;含有■，設x=asect。目的在于通過三角代換，去掉根式。積分后所得的原函數是以變量為t的原函數，最后再進行變量回代。在所設的三角代換中將變量t還原成原積分變量x。

還有一種方法，只要從直角三角形的勾股定理出發，直接將根式看成直角三角形的某個邊，則被積分式就可看成某些邊的比，從而也達到把無理式化為有理三角函數的目的，現就兩種方法舉例說明。

例1：求■■dx（a>0）

方法1：作變量代換x=asint（0＜t＜■），則dx=acostdt

■■dx=■■·acosdx=■a2cos2tdt=a2■■dt=■■dt-■■cos2td（2t）=■t-■sin2t+c=■-■sintcost+c

因為x=asint，則sint=■，則t=arcsin■。

為了從sint=■，直接求出cost，作直角三角形，如圖1

這時直接求出cost=■，

代入上面的結果得：

■■dx=■（arcsin■-■·■）+c=■arcsin■-■x■+c

方法2：設圖1為直角三角形，sint=■，x=asint，則dx=acostdt。

所以■■dx=a■■dx=a■■dx=a■cost·a·costdt=a■2■■dt=■-■sintcost+c=■arcsin■-■·■·■+c=■arcsin■-■x·■+c。

例2：求■■

方法1：作三角變換x=asect，則dx=atantsectdt，于是，x2-a■2=a■2 sec2t-a■2=a■2（sec2t-1）=a2tan2t

因此■■=■■=■■■dt=■■■=-■·■+c

根據x=asect，作直角三角形，如圖2

sint=■所以，原式=-■+c

方法2：設圖2為直角三角形，則

sect=■，故x=asect，dx=asecttantdt

所以■■=■■■dx=■■■dx=■■cot3t·asecttantdt=■■·■·■dt=■■■dt=■■■=-■·■+c=■+c

例3：■■（a>0）

方法1：作三角代換x=atant，則dx=asec2tdt

于是■=■=■=asect

因此原式=■■dt=■sectdt=lnsect+tant+c1

根據，tant=■作直角三角形如圖3

則sect=■tant=■

因此 ■■=ln■+c1=ln■+x+c

方法2：作圖3,設tant=■，x=atant，dx=asec2tdt

■■=■■■dx=■■■dx=■■cost·asec2tdt=■cost■=■■=lnsect+tant+c1=ln■+x+c 注意：對某些有理式也可采用三角代換。

例4：求■■dx

方法1：作三角代換， x=tant ，dx=sec2tdt

■■dx=■■dt=■sintcostdt=-■cos2t+c

根據x=tant，作直角三角形如圖4

所以原式=-■+c

方法2：作圖4,設 x=tant， dx=sec2tdt

■■dx=■■dt=■■·■dx=■sintcos3t·sec2tdt=■sintcostdt=-■costd（cost）=-■cos2t+c=-■+c

方法3：該題也可用第一類換元積分法

■■dx=■■■=-■+c

通過上面幾個例子可以看出，三角代換在第二類換元積分法中的應用還是比較多的。在多年教學中，學生用三角代換解題時，通常對同角三角函數之間的關系感到困難，認為公式多，運算繁。后來兩種方法同時講授，有些同學對勾股定理及三角函數邊與邊之間的比較為熟悉，反而認為第二種方法容易掌握。

參考文獻：

[1]曹輝，馬文素，李強.《應用數學》[M].大連理工大學出版社

[2]王敬有.三角代換在換元積分法中的應用[J].1983.8

作者簡介：

裴昌萍（1962—），女，四川雅安人，本科，青海建筑職業技術學院高級講師，研究方向：數學教育。