等差數列前n項和公式的變形及應用

代瓊霞

【摘要】正等差數列有5個量:首項a1,公差d,項數n,第n項an，前n項和Sn，已知其中三個量,通過對等差數列前n項和公式的變形，可輕松求出其他的量。

【關鍵詞】等差數列求和公式性質推導

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）06-0141-01

等差數列是職業高中數學的一項重要內容，其重點是通項公式與前n項和公式。透徹理解并掌握他們的相關性，能使我們的解題簡潔方便。下面我們就等差數列前n項和公式作進一步探討。

一、Sn=na1+■d的結構特征

若a1，d是確定的，那么Sn=na1+■d=■n2+（a1-■）n

設A=■，B=a1-■，上式可寫成Sn=An2+Bn

若A≠0,即（d≠0）時，Sn是關于n的二次式且缺常數項

分析等式的結構特征，并未強調該等式一定是個一元二次函數，因此我們分兩種情況討論：

①當A=0時，該等式是一個常數值數列，即an=c

②當A≠0時，該等式是一個沒有常數項的一元二次函數，其中：A=■，B=a1-■

（一）對該特征的應用：判斷函數是否為等差數列，求等差數列的通項公式。

例1：數列{an}是等差數列的一個充要條件是（ B ）

A. Sn=an2+bn+c B. Sn=an2+bn

C. Sn=an2+bn+c（a≠0） D. Sn=an2+bn（a≠0）

分析：利用我們前面的結構特征分析，即可選（B）。

例2:已知數列{an}的前n項和Sn=5n2-n,求數列{an}的通項公式

解：∵■=5，a1-■=-1 ∴d=10， a1=9

an=9+（n-1）10=10n-1

例3：已知數列{an}的前n項和Sn=3n2+2n，則d=__________

分析：■=3， d=6

（二）利用公式求最大值及最小值

a1，d是確定的，那么Sn=na1+■d=■n2+（a1-■）n，發現這個式子是一個關于n的一元二次函數。

所以：①當d＞0時，有最小值；

②當d＜0時，有最大值。

例4：在等差數列{an}中，a10=230，a25=-220

①求a1和d

②n為何值時，Sn取最大值，并求出最大值

解：（1）∵d=■=■=-30

又a1+9d=a10=230

∴a1=230-9d=230-9×（-30）=500

∴d=-30，a1=500

（2）∵Sn=■n2+（a1-■）n=■n2+（500-■）n=-15n2+515n

即當n=-■=17■

∴當n=17時，Sn取最大值

S17=-15×172+515×17=4420

∴當n=17時，Sn取最大值，最大值為4420

例5：在等差數列{an}中，a1=-33，d=6，前n項和Sn取最小值時求n

解∵Sn=■n2+（a1-■）n=■n2+（-33-■）n=3n2-36n

∴當n=■=6

即當n=6時，Sn取最小值

二、Sn=■的結構特征

（一）設等差數列{an}的前n項和為Sn，Sn=■經過變形

①當n=2k（k∈N*）時，S2k=k（ak+ak+1）

②當n=2k-1（k∈N*）時，S2k-1=（2k-1）a2k-1

當n=2k（k∈N*）時，S2k=k（ak+ak+1）

例6：（97年8）已知{an}是等差數列，且a5+a17=4，那么它的前21項之和等于（A）

（A）42 （B）40.5 （C）40 （D）21

解：S21=21a11=21（■）=21×2=42

例7：（98年4）已知等差數列{an}的前21項之和為42，那么a11=（B）

（A）1 （B）2 （C） ■ （D）3

解∵S21=21a11=42 ∴a11=2

這樣的題型在每年廣東省職業高考中屬于必考內容，因此需要熟練掌握。

（二）利用該性質，當已知前n項和的比值時，可以輕松求出某兩項的比值。

例8：（人教版高中數學第一冊上P142第4題）兩個等差數列{an}，{bn}，且■=■，求■。

解：設{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，由性質有：S9=9a5，T9=9b5

∴■=■=■=■

例9：已知等差數列{an}的前n項的和為Sn，若■=■，求■

解：由性質：S9=9a5，S5=5a3

∴■=■=■×■=1

三、（人教版高中數學第一冊上P12310題）已知數列{an}是等差數列，Sn是其前n項和，設k∈N*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數列嗎？

解：由k，2k，3k成等差數列，據性質可知：■，■，■成等差數列。

則2×■=■+■， ∴3S2k=3Sk+S3k

即2（S2k-Sk）=Sk+（S3k-S2k），故Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數列，即等差數列每相隔相同項數的和構成一個新的等差數列。

例10：在等差數列{an}中，前10項的和為20，前20項的和為60，則前30項的和為（ ）

A. 80 B. 100 C. 120 D. 140

解：∵2（S20-S10）=S10+（S30-S20）

∴2（60-20）=20+（S30-60）

S30=120

例11（2002年廣東職業高考18）等比數列的前10項和為48，前20項和為60，則這個數列的前30項和為（ C ）

A． 75 B． 68 C． 63 D． 54

等差數列的前n項和公式是學習等差數列的重點內容之一，其公式本身不僅蘊涵著分類討論的方法,而且給出了特殊數列前n項和的求解方法。針對該公式，我們從特殊角度加以推導,能使學生擴大視野、轉換思維，加深對公式的理解，不僅能輕松解題，甚至能夠解決生活中具體問題。

參考文獻：

高職高考 數學（上冊）復習教材 廣東省出版集團 廣東經濟出版社