淺談重心問題

李超 李益民

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）06-0142-02

眾所周知，三角形的三條中線共點，這點把三角形的每一條中線都分成2:1的兩段，且稱這點為三角形的重心。通過對重心的研究，我們可以得到一些關于三角形的重要性質，從而更加清楚的認識三角形，但是目前對于一般四邊形重心問題的深入研究還是比較少的，文獻[1]中給出了一般四邊形重心的定義，并給出定理1和定理2。本文對一般四邊形重心性質進行深入挖掘，得到一些重要性質，這些性質與三角形中的性質非常相似，或許可以幫助我們更加清楚地認識一般四邊形。

定義1 任意四邊形A1A2A3A4中, G1，G2，G3，G4分別為△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的重心, 稱連接Ai，Gi的線段 AiGi（i=1，2，3，4）為四邊形A1A2A3A4的中線(共四條)(圖1中未畫出G3，G4)

在文獻[1]中已經證明了下面定理1和定理2：

定理1：四邊形的四條中線共點, 且這點把四邊形的每條中線都分成3：1 的兩段。我們把四邊形四條中線的交點稱為四邊形的重心。

定理2：設四邊形A1A2A3A4四頂點的坐標為A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），它的重心坐標為G（x0，y0），則：x0=■■xi，y0=■■yi

在整篇文章中，不妨假設四邊形A1A2A3A4的四個頂點坐標為A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），A4（x4，y4），它的重心坐標為G（x0，y0），本文給出四邊形重心具有下列性質：

性質1：設四邊形A1A2A3A4的重心G，則：■+■+■+■=■

證明：如圖2示，由定理2知：x0=■■xi，y0=■■yi

所以■=（x1-■■xi，y1-■■yi），■=（x2-■■xi，y2-■■yi）， ■=（x3-■■xi，y3-■■yi），■=（x4-■■xi，y4-■■yi）

故■+■+■+■=（0，0）=■

推論1：四邊形A1A2A3A4重心為G，G1、G2、G3、G4 分別為△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的重心，則■+■+■+■=■

證明：如圖3示，根據定理1，■=■（i=1，2，3，4），所以■=-■■(i=1，2,3,4,），則：■+■+■+■=-■■+■+■+■==■

性質2：四邊形對邊中點連線必過重心，即：四邊形的重心為四邊形對邊中點連線的交點.

證明：如圖4示，設M，N，P，H分別是邊A1A2，A3A4，A2A4，A1A3的中點，G為四邊形A1A2A3A4的重心，則：■=■（■+■），■=■（■+■），由性質1知：■+■+■+■==■，所以■+■=■（■+■+■+■）=■，故點G，M，N共線。 同理：點G，P，H共線， 所以G為MN，PH的交點，證明完畢！

性質3：任意四邊形A1A2A3A4中, G1，G2，G3，G4分別為△A2A3A4，△A1A3A4，△A1A2A4，△A1A2A3的重心，則中線可以用四個頂點之間的距離來表示，即：

A1G1■=■（A1A2■+A1A3■+A1A4■）-■（A2A3■+A2A4■+A3A4■）

A2G2■=■（A2A1■+A2A3■+A2A4■）-■（A1A3■+A1A4■+A3A4■）

A3G3■=■（A3A1■+A3A2■+A3A4■）-■（A1A2■+A1A4■+A2A4■）

A4G4■=■（A4A1■+A4A2■+A4A3■）-■（A1A2■+A1A3■+A2A3■）

證明：易知G1（■，■）所以，根據兩點距離公式：9A1G1■=9（x1-■）■■+9（y1-■）■=[3x1-（x2+x3+x4）]■+[3y1-（y2+y3+y4）]■=3[（x1-x2）■+（y1-y2）■+（x1-x3）■+（y1-y3）■+（x1-x4）■+（y1-y4）■]-[（x2-x3）■+（y2-y3）■+（x2-x4）■+（y2-y4）■+（x3-x4）■+（y3-y4）■]

=3（A1A2■+A1A3■+A1A4■）-（A2A3■+A2A4■+A3A4■）

所以，A1G1■=■（A1A2■+A1A3■+A1A4■）-■（A2A3■+A2A4■+A3A4■） 同理可證明：

A2G2■=■（A2A1■+A2A3■+A2A4■）-■（A1A3■+A1A4■+A3A4■）

A3G3■=■（A3A1■+A3A2■+A3A4■）-■（A1A2■+A1A4■+A2A4■）

A4G4■=■（A4A1■+A4A2■+A4A3■）-■（A1A2■+A1A3■+A2A3■）

將上述四式進行求和就能得到下面推論2

推論2：四邊形的中線平方和等于■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）

性質4：四邊形A1A2A3A4重心為G,則G是到四邊形四個頂點距離平方和最小的點,這個最小值為：■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）

證明：設四邊形A1A2A3A4所在平面上一點P（x，y）, 則：P到四個頂點的距離平方和為（PA1■+PA2■+PA3■+PA4■=（x-x1）■+（y-y1）■+（x-x2）■+（y-y2）■+（x-x3）■+（y-y3）■+（x-x4）■+（y-y4）■=4x2-2x（x1+x2+x3+x4）+x12+x22+x32+x42+4y2-2y（y1+y2+y3+y4）+y12+y22+y32+y42=4[x-■（x1+x2+x3+x4）]■+M+4[y-■（y1+y2+y3+y4）]■+N(其中M，N為常數，不含x，y)所以，x=■（x1+x2+x3+x4），y=■（y1+y2+y3+y4）時，上述值最小。此時，點P剛好是四邊形的重心，根據定理1知：AiGi=■AiG（i=1，2，3，4）由推論2得：

（■A1G）■+（■A2G）■+（■A3G）■+（■A4G）■=■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）

所以，A1G2 +A2G2 +A3G2 +A4G2 =■（A1A2■+A1A3■+A1A4■+A2A3■+A2A4■+A3A4■）

證明完畢！

四邊形重心的上述性質和三角形重心性質非常類似，研究四邊形的重心可以幫助我們更加清楚地認識四邊形。當然，對于多邊形重心問題，文獻[2]也給出了許多結論。

參考文獻：

[1] 胡耀宗. 也談四邊形的重心.數學通報,1995（5）

[2] 徐蘇焦. 多邊形的中線和重心.舟山師專學報(自然科學版),1995(3)

[3] 錢季偉. 多邊形的重心. 長江職工大學學報,1999(3)