學(xué)會，會學(xué)，愛學(xué)

姚澄

邀請到江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師、蘇州市吳中區(qū)東山實(shí)驗(yàn)小學(xué)吳金根校長來校聽課實(shí)在是對于筆者乃至整個(gè)學(xué)校的巨大榮幸。在聽完“統(tǒng)計(jì)——平均數(shù)”一課后，吳校長面向?qū)W校全體聽課教師，提出了許多真知綽見，分享了他的教育智慧。吳校長在評課中指出“三維課程目標(biāo)中‘知識與技能目標(biāo)就是要求學(xué)生‘學(xué)會，‘過程與方法目標(biāo)就是要求學(xué)生‘會學(xué)，‘情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)就是要求學(xué)生‘愛學(xué)。”筆者針對吳校長提出的這三個(gè)方面，重新設(shè)計(jì)了課堂教學(xué)，取得了良好的教學(xué)效果。

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版數(shù)學(xué)三年級第一學(xué)期92、93、94頁“統(tǒng)計(jì)”

【教學(xué)目標(biāo)】

1.在豐富的具體環(huán)境中，感受求平均數(shù)是解決一些實(shí)際問題的需要，并通過進(jìn)一步的操作和思考體會平均數(shù)的意義，學(xué)會計(jì)算簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果是總數(shù)）。

2.在運(yùn)用平均數(shù)的知識解釋簡單的生活現(xiàn)象，解決簡單實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步積累分析和處理數(shù)據(jù)的方法，發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念。

3.進(jìn)一步增強(qiáng)與他人交流的意識與能力，體驗(yàn)運(yùn)用已學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識解決問題的樂趣，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

【課前預(yù)設(shè)】

創(chuàng)設(shè)情境：如圖1，在期末考試中，小張、小王、小李都取得了100分的好成績，姚老師有6顆糖果，決定獎勵(lì)給這三位同學(xué)……

[小張 小王 小李]

圖1

預(yù)設(shè)目的：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)出這種分發(fā)不公平，并追問“如果你是小張，你會怎么做？”通過活動將小張的一顆糖移給小王，讓學(xué)生初步體會用“移多補(bǔ)少”的方法將每個(gè)人的糖分得一樣多，為接下來的課堂教學(xué)做下鋪墊。

【教學(xué)過程】

“學(xué)會”階段

師：在一節(jié)體育課上，男生和女生正在進(jìn)行套圈比賽，每人套10次，看誰套得多，這是他們的比賽成績的統(tǒng)計(jì)圖，從圖2上，我們可以看出首先出場的是誰？

生：男生出場的是李曉剛，女生出場的是吳燕。

師：他們分別套中了幾個(gè)？

生：李曉剛套中了6個(gè)，吳燕套中了10個(gè)。

師：這一輪比賽中，這男生套得準(zhǔn)一些還是女生套得準(zhǔn)一些？

生：女生。

師：男同學(xué)不用著急，比賽還在繼續(xù)，看，他們又請來了幾名幫手，男生這次請來了兩名幫手，他們分別是張明和王宇，他們分別套中幾個(gè)呢？

生：張明套中了9個(gè)，王宇套中了7個(gè)。

師：再來看看女生組，她們請來了劉曉娟和史敏敏，這兩位女生分別套中幾個(gè)呢？

生：4個(gè)和7個(gè)。

師：觀察統(tǒng)計(jì)圖，比賽進(jìn)行到現(xiàn)在，男生和女生，誰套得比較準(zhǔn)一些？

生1：男生準(zhǔn)。

生2：男生準(zhǔn)。

生3：男生準(zhǔn)。

師：怎么都覺得是男生準(zhǔn)一些呢？你們比較的是什么？

生：總數(shù)。

小結(jié)：恩，跟我想到一塊兒去了，現(xiàn)在男生組和女生組各有3個(gè)人參加比賽，比較個(gè)人的成績就不太合適了，我們要像剛才那位同學(xué)一樣，通過比較他們套中的總個(gè)數(shù)，來判斷誰套得更準(zhǔn)一些。誰來列式算一算，男生套中多少個(gè)，女生呢？

生：男生6+9+7+6=28（個(gè)），女生10+4+7+5+4=30（個(gè)）

【設(shè)計(jì)意圖：分層次地呈現(xiàn)出教材所給的男女生套圈成績統(tǒng)計(jì)圖，使課堂教學(xué)條理更加清晰合理，先設(shè)計(jì)一男一女套圈成績的比較，讓學(xué)生容易上手，在過渡到3V3的比較中，學(xué)生稍動腦筋，就會知道比較“總數(shù)”的方法，通過解決這兩道“簡單”的問題，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)知識的同時(shí)為其建立學(xué)好下面知識的信心。】

師：現(xiàn)在男生組扳回一局，但是比賽還沒有結(jié)束，瞧！所有的運(yùn)動員都到齊了，觀察統(tǒng)計(jì)圖，現(xiàn)在你覺得是男生套得準(zhǔn)一些，還是女生套得準(zhǔn)一些？先把你的想法說給同桌聽一聽。

生1：我覺得女生套得準(zhǔn)，因?yàn)槟猩偣蔡字辛?8個(gè)，女生總共套中了30個(gè)，所以女生套得準(zhǔn)。

師：嗯，你比較的是總數(shù)。你們同意她的觀點(diǎn)嗎？

生2：我不同意，現(xiàn)在女生比男生多一個(gè)人，這樣比不公平。

師：哦，你注意到了現(xiàn)在男女生的人數(shù)不同，男生有（齊聲：4人），女生有（齊聲：5人），人數(shù)不同，比總數(shù)不公平，嗯，有道理！那你覺得應(yīng)該怎么比呢？

生2：讓男生再加入一個(gè)選手。

師：好辦法！男生再加入一個(gè)選手，男生雙方就都是5位選手了，這樣就可以比總數(shù)了，這個(gè)方法可以，但是，現(xiàn)在，姚老師就是想讓4位男生和5位女生比，不是比哪一方套得多，而是比哪一方套得準(zhǔn)，該比什么呢？

生3：我比較他們平均每個(gè)人套中的個(gè)數(shù)。

師：說得太好了！他剛才那句話中有一個(gè)詞說得非常好，你們知道是哪個(gè)詞嗎？

生（齊聲）：平均。

小結(jié)：對！就是“平均”。（板書：平均）現(xiàn)在兩邊的人數(shù)不一樣，比較總數(shù)就變得不公平了，這位同學(xué)給我們提供了一種新的思路，比較平均每個(gè)人套中的個(gè)數(shù)，這樣既考慮到了總數(shù)，又考慮到了人數(shù)，真是一個(gè)兩全齊美的好辦法，對于想出這樣好辦法的同學(xué)，我覺得應(yīng)該用掌聲來鼓勵(lì)一下。

【設(shè)計(jì)意圖：在有了比較“總數(shù)”的鋪墊之后，將整個(gè)男女生套圈成績統(tǒng)計(jì)圖和盤托出，給學(xué)生制造出一種迫切需要解決的難題，在人數(shù)4V5的時(shí)候，再比較總數(shù)，不公平了，該怎么比呢？如果說之前的比較個(gè)人成績屬于“學(xué)生從哪里來”，比較3個(gè)人的總成績屬于“學(xué)生現(xiàn)在在哪里”，那么現(xiàn)在所需要用到的知識便是“學(xué)生要到哪里去”了，一些有生活經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生就會知道，可以比較平均每個(gè)人套中的個(gè)數(shù)，在這里，教師并不將“新知”直接傳授給學(xué)生，而是通過一步一步的引導(dǎo)，讓他們將自己所知道的發(fā)掘出來。】

師：下面老師就要來瞧瞧誰的眼力好，你能從這幅圖中，看出平均每人套中多少個(gè)嗎？

生：7個(gè)。

師：你怎么這么快就看出來了，能給大家介紹一下你的方法嗎？

生：我將張明的兩個(gè)分給李曉剛和陳曉杰，這樣看上去每個(gè)人都套中了7個(gè)。

師：為什么要去移張明的呢？（因?yàn)樗疃啵瑸槭裁匆平o李小剛和陳小杰呢？（因?yàn)樗麄冏钌伲駝偛胚@樣，把多的移給少的，這樣方法就叫做“移多補(bǔ)少”（板書），通過“移多補(bǔ)少”的方法，男生每人看上去都套中了多少個(gè)？

生：7個(gè)。

師：這里的7，我們就把他稱為男生套圈的平均數(shù)（板書），平均數(shù)是7，是不是說明每人男生都正好套中了7個(gè)呢？

生（齊聲）：不是。

師：這里有沒有套中個(gè)數(shù)比7個(gè)多的男生？（有，是張明）有沒有套中個(gè)數(shù)比7個(gè)少的男生？（有，是李曉鋼和陳曉杰），還有一個(gè)？（王宇套中的個(gè)數(shù)正好是7個(gè)）

師：同學(xué)們，平均數(shù)是7，并不是具體指某一個(gè)人套中了7個(gè)，而是代表了平均每個(gè)男生套中了7個(gè)，它可以很好地反映出男生的整體水平。

師：哦，原來啊男生的整體水平是平均每個(gè)人可以套中7個(gè)，用剛才的方法，你能看出女生平均每人套中多少個(gè)嗎？先請幾個(gè)同學(xué)來估一估。

生1：6個(gè)。

生2：5個(gè)。

生3：6個(gè)。

生4：7個(gè)。

師：同學(xué)估計(jì)的都在一個(gè)很小的范圍里面，有人估計(jì)是5人，有人估計(jì)是6人，有人估計(jì)是7人，那有沒有估計(jì)是10個(gè)的？

生：不可能！

師：你能用“移多補(bǔ)少”的思路來解釋一下為什么不可能嗎？

生（在老師的幫助下）：因?yàn)?0是套中的最多的個(gè)數(shù)，等會兒它肯定要移走一部分去補(bǔ)給少的。

師：那有沒有可能是4個(gè)？

生（齊聲）：不可能！

師：為什么也不可能是4呢？

生：因?yàn)?是這里面最小的數(shù)，等會兒肯定有多的數(shù)會補(bǔ)給它，到時(shí)候就一定會比4多了。

師：真了不起，在這里，4是這組數(shù)據(jù)中最小的，10是這組數(shù)據(jù)中最大的數(shù)，也就是說，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一定會在哪兩個(gè)數(shù)之間？

生：最小數(shù)與最大數(shù)之間！

師：嗯！看來剛才同學(xué)的估計(jì)都是有道理的，現(xiàn)在誰看出來應(yīng)該怎么移了嗎？

生：將吳燕的兩個(gè)移給劉曉娟，兩個(gè)移給沈明芳，再將史敏敏的一個(gè)移給孫蕓，如圖3所示。

師：其實(shí)，移的方法還有很多種，但我們抓住一個(gè)原則，就是把多的移給少的，從而使得他們每個(gè)人套中的個(gè)數(shù)看上去都一樣多，現(xiàn)在可以很容易地看出，女生套圈的平均數(shù)是多少？

生：6個(gè)。

師：這里的6表示什么意思？

生：表示女生平均每人套中6個(gè)。

過渡：同學(xué)們，剛才我們通過“移多補(bǔ)少”的方法，得到了男女生各自套圈的平均數(shù)，男生的整體水平是平均每個(gè)人能套中7個(gè)，女生的整體水平是平均每個(gè)人能套中6個(gè)，哪一方套得更準(zhǔn)一些？（男生）我們是通過比較平均數(shù)判斷出來的，除了用“移多補(bǔ)少”的方法以外，你還有其他方法來得到平均數(shù)嗎？先來說說男生的套圈平均數(shù)。

生：我是用算的方法。6+9+7+6=28（cm），28÷4=7（cm）。

師：老師看到，你在第一步里，把所有的數(shù)據(jù)都加了起來，表示什么意思呢？

生：求出男生套圈的總個(gè)數(shù)。

師：哦，那為什么又要拿總個(gè)數(shù)除以4個(gè)呢？

生：因?yàn)橛?個(gè)男生，就是平均分成4份。

師：說得真好，先求出套圈的總個(gè)數(shù)，再除以總?cè)藬?shù)，我們就可以求出平均每個(gè)男生套中的個(gè)數(shù)，從而找到平均數(shù)。在這里，我們先求和，再平均分，這種方法叫做“求和均分”。（板書：求和均分）

師：我們用“求和均分”的方法得出的答案也是7，和我們用“移多補(bǔ)少”方法得到的男生套圈平均數(shù)（齊聲：相同），說明這種方法也是真實(shí)可行的，這里的7是哪幾個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)呢？

生：6，9，7，6。

師：對，是6，9，7，6這4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，誰能用“求和均分”的方法來算一算女生套圈的平均數(shù)？

生：10+4+7+5+4=30（cm），30÷5=6（cm）。

師：也請你來說說看第一步的意思？

生：先算出女生套圈個(gè)數(shù)的總和。

師：這里為什么要除以5了呢？

生：因?yàn)橛?個(gè)女生，所以要除以5。

師：先算出女生套圈的總和，再平均分給5個(gè)女生，每個(gè)女生就平均套中了6個(gè)，是這個(gè)意思嗎？

生：是的。

師：這里的6又是哪幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)？

生：10，4，7，5，4。

師：我們來看這兩組算式，無論是在求男生平均數(shù)，還是在求女生平均數(shù)的時(shí)候，我們都是先求的什么？

生：他們套圈的總數(shù)？

師：我們可以將它概括為三個(gè)字，就是“求總數(shù)”，那求了總數(shù)之后，我們又做了什么呢？

生：有多少個(gè)人，就把總數(shù)分成多少份。

師：也可以用三個(gè)字來概括，就是“平均分”，現(xiàn)在誰能看著老師的提示，完整地來說一說，在用“求和均分”方法計(jì)算平均數(shù)的時(shí)候，我們要先做什么，再做什么？

生：在用“求和均分”方法計(jì)算平均數(shù)的時(shí)候，我們要先求總數(shù)，再平均分？

【設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課學(xué)習(xí)兩種方法來得到平均數(shù)，按照兒童認(rèn)知是從形象到抽象的發(fā)展規(guī)律，教師先引導(dǎo)學(xué)生掌握“移多補(bǔ)少”的方法，通過數(shù)形結(jié)合的教學(xué)，讓學(xué)生對平均數(shù)的概念有了較為深刻的認(rèn)識。在學(xué)習(xí)“求和均分”的方法時(shí)，著重讓學(xué)生知道我們應(yīng)該先做什么（先求和），再做什么（平均數(shù)），要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和邏輯性。在用“移多補(bǔ)少”的方法得到平均數(shù)的過程中，讓學(xué)生先估計(jì)的目的是使其明白平均數(shù)是有一定范圍的，教學(xué)并不能僅滿足于讓學(xué)生知道平均數(shù)和求出平均數(shù)的方法，通過對方法的思想以及平均數(shù)概念的深刻挖掘，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均數(shù)的一些特點(diǎn)，乃是從”學(xué)會“到”會學(xué)的過渡。】

師：回顧一下剛才的套圈比賽，在參賽人數(shù)不同的時(shí)候，比總數(shù)的辦法就顯得不合適了，為了公平起見，我們通過什么方法比較？（平均數(shù)）的辦法來判斷出誰套的準(zhǔn)？那我們是用哪些方法來找到平均數(shù)的呢？

生（齊聲）：“移多補(bǔ)少”和“先合后分”。

師：有兩種方法，你們比較喜歡哪一種方法呢？

生：“意見不統(tǒng)一。”

“會學(xué)”階段

師：大家都別爭了，請看這道題目（圖4），“3個(gè)筆筒里各有一些鉛筆，看看平均每個(gè)筆筒里有多少枝。”誰已經(jīng)知道這道題目的答案是多少了？

[3個(gè)筆筒里各有一些鉛筆，看看平均每個(gè)筆筒里有多少枝。][6枝 7枝 8枝]

生：6枝。

師：你怎么這么快就看出答案來了，你用得什么方法？

生：移多補(bǔ)少。

師：那你是怎么移的？

生：我把中間筆筒里的一枝筆移給最后一個(gè)筆筒，這樣，每個(gè)筆筒里就有6枝筆了。

師：大家聽明白了嗎？（課件演示），有人用不同的方法嗎？

生：我用的是先合后分的方法：6+7+5=18（枝），18÷3=6（枝）

師：在這道題目里，用哪種方法比較合適？

生：移多補(bǔ)少。

師：對！用這樣方法可以更快更便捷地找到平均數(shù)。

師：再來看這一題。（筆筒的個(gè)數(shù)增加到5個(gè)，如圖5）這道題你覺得用什么方法比較合適？

[9枝 7枝 2枝 5枝 12枝]

生：求和均分。

師：為什么？

生：因?yàn)楣P筒的個(gè)數(shù)變多了，用“移多補(bǔ)少”的方法就有點(diǎn)不方便了。

師：恩，筆筒的個(gè)數(shù)變多了，而且最大的數(shù)據(jù)與最小的數(shù)據(jù)之間的差距也變大了，再用移多補(bǔ)少的方法就不方便了，請同學(xué)們用“求和均分”的方法算出平均每個(gè)筆筒里有多少支筆。

生：9+7+2+5+12=35（枝）35÷5=7（枝）

小結(jié)：看來，有的時(shí)候，并不能說一種方法一定比另一種方法好，關(guān)鍵是看在遇到實(shí)際問題的時(shí)候，我們到底選擇哪一種方法更合適。

【設(shè)計(jì)意圖：什么叫“學(xué)會”？會用兩種方法求解平均數(shù)，什么叫“會學(xué)”呢？通過對這兩種方法的理解，在遇到問題的時(shí)候，選擇一種最優(yōu)的方法去解決問題。筆者在這里適當(dāng)改編了教材上的習(xí)題資源，引導(dǎo)學(xué)生用自己覺得最方便的辦法去處理習(xí)題，再通過比較，讓學(xué)生明白一個(gè)常理，沒有最好的方法，只有最合適的方法。】

師：為了獎勵(lì)同學(xué)們優(yōu)異的表現(xiàn)，姚老師要獎勵(lì)大家3條漂亮的彩帶，請看這3條彩帶，估一估，它們的平均長度是多少？

A.14 cm B.18 cm C.24 cm

生1：我選B。

生2：選B。

生3：選B。

師：怎么你們都選B呀，我猜是A選項(xiàng)，你們覺得有可能嗎？

生：不可能。

師：那我猜13 cm（不可能），12 cm（不可能），10 cm（不可能）。

師：呀，怎么我都猜錯(cuò)了，照著我這個(gè)趨勢去猜，能猜得對嗎？（不能）那我應(yīng)該怎么去猜？

生：猜比14大的數(shù)。

師：哦，那我猜C選項(xiàng)，有可能嗎？

生：不可能。

師：那我重新猜是25 cm（不可能），26 cm（不可能），27 cm（不可能），像我這樣猜，能猜得對嗎？（不能），應(yīng)該怎么猜？

生：猜比24小的數(shù)。

師：也是說，平均長度會在哪個(gè)范圍內(nèi)呢？

生：14 cm到24 cm之間。

師：換句話說，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，一定會在哪兩個(gè)數(shù)之間呢？

生：最小的數(shù)與最大的數(shù)之間。

師：哦，原來估計(jì)的時(shí)候要注意一定的范圍，怪不得同學(xué)們一估就準(zhǔn)，而我老是猜不對。

師：再來看下面的題（如圖6），第三條彩帶增加一厘米，平均長度將發(fā)生怎樣的變化。

A.18 cm B.19 cm C.21 cm

生：我覺得C，21 cm。

師：你覺得平均長度發(fā)生改變，能說說為什么選C嗎？

生：原來的平均長度是18 cm，現(xiàn)在增加3 cm，就是18+3=21 cm。

師：有不同意見嗎？

生：我選B選項(xiàng)，題目上說的是第三條彩帶增加3 cm，而不是平均長度增加3厘米，一條彩帶增加3厘米，平均分給3條彩帶，就是每一條增加1 cm，結(jié)果就是19 cm。

師：你們同意誰的說法？（第二位）到底他說得對不對，請你們趕緊動筆來驗(yàn)證一下。

請兩位學(xué)生上臺板書。

生1：14+24+19=57 cm，57÷3=19 cm。

師：這位同學(xué)用的是什么方法做的？

生（齊聲）：求和均分。

師：對，先求出了絲帶的總長度，再平均分成3份。我們再來看這位同學(xué)。

生2：3÷3=1 cm，18+1=19 cm。

師：他得到的答案也是19 cm，能看懂他的這種做法嗎？

生：一條絲帶增加3 cm，有3條絲帶，相當(dāng)于每條絲帶增加3÷3=1 cm，也就是平均數(shù)增加1 cm，所以是18+1=19 cm。

師：看來的確是第二位同學(xué)說對了，而且說得還非常精彩，能不能用他的這種方法，來解決下面這道題目呢？

生：6÷3=2 cm，18-2=16 cm。

師：請你說不說你為什么這么列算式。

生：第一條彩帶減少6 cm，有3條彩帶，6÷3=2 cm，就是相當(dāng)于平均每條彩帶減少2 cm，所以再用18-2=16 cm。