或有補償價值評估的期權定價模型

■王少豪

或有補償是產生或有現金流的主要方式，大多產生在企業并購過程。對于與市場相關的或有補償來說，由于其具有期權的性質，評估價值要困難得多。標準的折現現金流方法無法評估期權，對于大部分與市場相關的或有補償，還是采用期權定價模型評估更有效。作者主要介紹了或有補償價值評估期權定價模型解析方程的形式，并通過計算案例介紹數值方法的應用。

一、引子

在企業經營活動中，出現或有補償的情況是大量存在的。筆者曾在文章《或有現金流的風險探討》(刊于《中國資產評估》2014年4期)中得出這樣的結論：或有現金流的風險要大于確定現金流的風險，而且采用傳統的收益法無法確定其資本成本，所以只有采用期權定價理論來評估?；蛴醒a償就是產生或有現金流的主要方式，它大多產生在企業并購過程，包括但不限于各種并購合同的對賭協議中。因為這樣的或有補償方式能夠彌補買賣雙方之間在當前和未來的價值分歧。這種或有補償不僅對于買方來說具有一定的吸引力，而對于企業原來的所有者，也還是未來的經營者來說，同時也同樣具有激勵的作用。

二、兩種不同的或有補償有著不同的風險

評估或有補償的時候，區分兩種具有不同風險特征的不同類型補償非常重要。其一是事件相關型的或有補償，它主要是和企業某一既定目標的取得聯系在一起。比如說企業的某一項科研實驗的成功與否。這種類型的或有補償風險主要呈現為非系統風險，它與經濟范圍領域的風險不相關。非系統風險可以通過多樣化的投資組合分散或消除，這樣就不需要掌握一個預期回報率的風險溢價。

另外一種或有補償是市場相關型的補償，這種補償是建立在某個變量的基礎上：如收購企業的經營銷售收入，或EBIT，或利潤，或公司在市場上普通股的股價。這種類型的或有補償承擔著系統性風險(貝塔風險)，與經濟領域的風險有關。系統風險不能通過投資組合來分散或消除，因此需要掌控一個預期回報率的風險溢價。

對于事件相關型的或有補償，系統風險為零。評估或有補償只需要估算由此事件所產生的現金流、事件發生的概率、以及對方的信用風險。管理層可以提供取得事件相關目標的概率估計值，而評估師必須判斷交易對方的信用風險。這種評估比起對于市場相關的或有補償來說是非常簡單和直接的。因為對于后者，系統風險和所要求的回報率的估算是非常具有挑戰性的。本文討論的主要是市場相關型的或有補償評估。

三、或有補償評估的期權定價模型

在BSM模型出來之前，研究人員可能有很好的方法來預測未來的現金流，但是他們在評估期權的時候卻沒有能力估算合適的折現率，所以唯一的方法還是采用期權定價模型。然而BSM模型是根據市場定價的金融資產在各種假設前提下推導出來的。對于不能滿足假設前提的各種不同其他情況，必須要將BSM模型進行不同的修正，才能應用于各種不同的具體情況。

評估或有補償就是這種具體情況，我們采用實物期權的評估方法。用實物期權這個詞就意味著這個或有收益的標的資產不是市場定價的資產。比如說，息稅前的銷售收入或利潤(EBIT)就是實物資產，而不是像普通股、債券以及某些商品等有市場定價的金融資產。本文中，實物資產與市場定價資產的關鍵區別在于：前者的預期增長率可以隨著時間不同是任何值，或任何類型；而后者的增長率必須是與其風險及預期的回報率始終一致。比如說，一個公司銷售收入的增長率可以是2.0%，5.0%，15.0%，或者是50.0%。一個實物資產三年的預期增長率可以是25.0%，而十年的預期增長率又可以是1.0%。而市場定價的金融資產其預期增長率必須和市場條件及其系統風險一致。換句話說，其交易的價格是與未來的期望值聯系在一起的，所以他們的預期增長率是與無風險利率、系統風險的市場價格以及交易資產的系統風險相一致的。

盡管實物資產與金融資產之間有這樣的區別，我們還是能夠利用期權定價的方法較容易地評估出實物期權的價值。但這樣做需要對標準的期權定價公式BSM模型作一個相對簡單的修改。為了使評估師很好地理解BSM模型在實物期權評估中的修正，我們把這個過程分成幾個步驟來解析，現詳述如下。

(一)支付紅利的修正

標準BSM模型的假設前提之一是：在衍生證券的有效期內沒有紅利支付。如以股票為例，現在紅利的支付使得股票的價格在除權日的降低幅度等于紅利的數額。所以如果紅利收益率為q，那么紅利的支付會使股票價格的增長率比不支付紅利的股票增長率減少了q。如果支付連續紅利收益率q的股票價格，從當前的S0增加到T時刻的ST，那么沒有支付紅利股票的價格將從當前的S0增加到T時刻的STeqT。換言之，也可以認為股票價格是從當前的S0e-qT增加到T時刻的ST。由此我們可以得出一個簡單的修正方法：即當我們對有效期為T、支付已知紅利收益率為q的股票的歐式期權進行估值時，我們可以將股票的現價從S0減少到S0e-qT，然后就像不支付紅利股票的期權那樣估值了。

即在BSM公式中以S0e-qT代替原方程中的S0，可以得出：

由于

所以

為了加深理解，我們可以說：如果沒有紅利，在風險中性的世界里，資本的收益率為無風險利率，即等于r?，F在有紅利，則在風險中性的世界里，資本和紅利的共同收益率為無風險利率r。已知紅利收益率為q，所以資本的收益率應該是(r－q)。如果股票的起始價格為S0，那么一個長度為T的時間步結束后股票的預期價格則應該是S0e(r-q)T。把這個期望值按無風險利率折現之后，得出的股票現價是：

這就是股票在風險中性世界里的起始價格。所以在運用BSM解析方程的時候要把它作為起始價格帶入原來的標準公式，才有上面支付紅利修正的期權定價方程。

這個支付紅利股票的修正方程與實物期權的評估本無太多關系，只是在資源性資產的價值評估中采用這一方程，把礦產或石油資源的儲量的開采作為紅利的發放。因為如同股票的紅利為股票的持有者創造了現金流卻減少了股票的價值一樣，自然資源的開采也是為所有者創造了現金流卻減少了標的資產的價值。所以此時每年生產凈收入占資源儲量市場價值的百分比即為期權定價模型中的紅利收益率。紅利修正模型對后面的實物期權定價修正模型的解析方程還是具有一定的借鑒和啟示作用。

(二)風險中性估值框架的擴展

實物期權的評估，不像股票紅利那么簡單。正如前面所說：實物期權所對應的標的資產不是股票債券等金融資產，而是不由市場定價的非貿易性資產。它的增長率可以是任意值，而不是與回報率相關的變量。但是正由于此資產具有期權的性質，所以估計各種實物期權的風險折現率十分困難，甚至是不可能的。因此我們不得不把定價金融資產期權的風險中性估值原理擴展到實物資產期權的定價上來。

為此，先定義一個變量θ的風險市場價格：

其中，r是無風險利率，μ是依附于θ的可交易證券的收益率，σ是其波動率。如果都是依附于變量θ，不管選擇哪個可交易證券，我們得到的風險市場價格λ是相同的。在針對金融資產的傳統風險中性世界里，風險的市場價格λ等于零。所以資產的收益率為無風險利率r。但對于實物資產來說，λ不等于零。

假設一個實物資產取決于多個變量。令mi和si為θi的預期增長率和波動率，那么

其中，zi是維納過程。定義λi為θi的風險市場價格。我們可以擴展風險中性估值方法，依附于θi的任何資產可以按以下步驟估值：

①把每個θi的預期增長率從mi減少到mi－λisi；

②以無風險利率折現現金流。

至此，以上推導已經把風險中性估值框架從金融資產擴展到實物資產。對這些推導過程和結論的證明有興趣的讀者可以參見有關資料，如約翰·赫爾所著的《期貨、期權及其他衍生產品》(第六版)等。評估師可以不了解理論推導過程而只需記住結論，那就是：實物期權的價值評估中，要從現實世界調整到風險中性世界，只需把實物資產在現實世界的增長率調整為風險中性世界的增長率，即：

風險中性世界增長率=現實世界增長率－風險市場價格×波動率

由于這是已經把實物資產的增長率調整到風險中性世界，那么將其期望值用無風險利率折現，就可以得到它的現時價值。這就是實物期權風險中性估值原理。

(三)風險中性期望值的求取

根據上面的兩個步驟，調整實物資產預期增長率為風險中性增長率，可求出實物期權的風險中性期望值，把這個期望值用無風險利率折現，可得出期權價值。這是我們評估實物期權價值的方法之一，筆者在以前的案例中也應用過(見《中國資產評估》2013年第4期《期權定價模型評估對賭協議相關價值的探討》)。如下：

我們設實物期權的變量為S，約定價格為K，期權有效期為T，則在風險中性世界到期時歐式買方期權的期望值為：

此處：

這里N()是累積標準正態分布值，σ表示主變量S的離散程度(標準差)。此外，是變量S在T時刻中性風險的期望值。由于已知風險中性的增長率等于現實增長率減去風險市場價格乘波動率，所以可得出此時的期望值為：

這里為習慣起見，還是設μ為變量S的現實世界期望增長率(這里的μ-λσ就是前面推導的m-λs)，λ還是市場風險價格。在傳統風險中性世界中，假定所有風險市場價格都等于零。而對于實物期權來說，此時市場風險價格不再為零。因此，這個期望值是風險調節后的風險中性期望值。市場風險價格λ可以采用資本資產定價模型(CAPM)求出來。根據CAPM模型連續時間形式：

而

于是，風險的市場價格λ由下列方程給出：

此處，ρ是執行測度變量S變化百分比與股票市場組合價格指數收益之間的瞬態相關系數；參數σm表示市場組合指數收益率的波動率；μm表示市場組合指數的預期收益率。為了避免直接估算出上述相關系數ρ和波動率σm，我們可以采用風險系數β近似地替代，可得出風險中性的期望值。這種近似還是可信的，前提是企業運營的測量值如EBIT是以類似的方式與市場組合的權益價值相關。在這種情況下，風險中性的期望值如下式所列：

從而

至此，求出風險中性的期望值之后，再用無風險利率折現可求出期權的價值：

公式(11)就是我們針對實物期權所采用的布萊克-舒爾斯期權定價模型。對于對賭協議以及或有補償都可以采用這個方程。式中d1和d2的含義和上面公式(5)一樣。

(四)直觀解析方程的修正

(11)式雖然可以作為實物期權評估的計算模型，但是這個模型的缺陷是必須先求出風險中性的期望值，然后再折現。即使像上面的(11)式已經展開，但是在計算d1和d2的時候還是要先求期望值。這對于習慣于BSM模型解析方程的評估師來說，似乎有些別扭。于是有人就想出把實物期權評估的BSM方程修正為直觀解析方程的形式。公式如下：

這個公式看起來類似于連續支付紅利的改動模型，見公式(1)。只不過原來支付紅利修正模型中的紅利收益率q，在這里變成了－g。也就是原來的股票收益率(r－q)變成了實物資產期權定價公式中的回報率(r+g)。 這里的g是我們新設定的一個變量，它等于實物資產現實世界的期望增長率減去實物資產所需的回報率。即：

這里μ還是實物資產在現實世界的期望增長率，而RS則是實物資產所需的回報率。上面的修正模型可以用BSM的微分方程推導出這個解析結果，也可以采用代數式推導并結合連續支付紅利修正模型的比較，得出這個結果。過程如下：

已知股票支付紅利時，股票現價為：

這是股票在風險中性世界里的起始價格。在運用BSM解析方程的時候要把它作為起始價格帶入原來的標準公式，才有上面支付紅利修正的期權定價方程。

參照股票支付紅利時的現價計算，現在實物資產的期望值折現應該是：

將上面冪指數化簡：

因為根據資本資產定價模型(CAPM)，實物資產所需的回報率等于：

所以，實物資產的期望值折現應該是：

在BSM公式中，以S0egt代替原方程中的S0，就可以得出上面實物期權評估的BSM修正模型，見公式(12)。

四、或有補償計算案例

(一)案例一

我們先用一個簡單的計算實例來演示上述解析方程的計算結果，本例中有兩個或有補償都是基于銷售收入的。一個補償是在銷售收入超過1053萬元時，另一個是收入超過1500萬元時，實際上是兩個不同約定價格的期權。目前公司的銷售收入水平是2000萬元，第二年預計以15%的增長率增長，波動率為30%，無風險利率是2%，市場風險溢價是7%，銷售收入的貝塔值為1.50。這樣，根據CAPM模型，銷售收入所要求的回報率就是：12.5%=2.0%+1.50×(7.0%)。而公式(12)中的g為2.5%=15%－12.5%，即實物資產增長率減去實物資產所需的回報率。

這兩個或有補償價值的計算過程見表1。

表1 基于銷售收入的或有補償價值評估

(二)公式計算中參數的考慮

1．關于連續復利

由表1可以看出，無風險利率、增長率等都不同于所給出的數值。這是為了滿足BSM公式的要求，把所有的回報率都由原來的離散值轉換為連續值，無風險利率由2.0%轉換為1.98%；標的資產回報率由12.5%轉換為11.78%；g由原來的2.5%轉換為2.20%。

由于我們在很多投資或財務的計算中，利率都是按離散利率計算。假設數額A以年利率R投資了n年，利率按每一年計一次復利計算，則以上投資的終值為：

但如果每年計m次復利，則該投資的終值為：

當復利頻率m趨于無窮大時，就稱為連續復利(continuous compounding )。在連續復利的情況下，數額A以年利率R投資了n年，終值為：

這個連續復利的計算結果，從大部分實用目的來看，和每天計算復利的結果是一樣的。所以通常認為連續復利與每天計復利等價。對于一筆以利率R連續復利n年的資金，其結果是乘上eRn。而對一筆以利率R連續復利貼現n年的資金，則應乘上e-Rn。

評估師平常所應用的多半是離散利率，且多為一年計一次復利。但在期權以及其他復雜衍生證券定價時，連續復利得到廣泛應用。如BSM方程，或二項數期權定價公式中均是以連續復利表示。所以筆者認為，在實物期權的應用計算中有必要把評估中得到的離散利率轉換為連續利率，再應用到期權定價的各種公式中。

為此，我們可以很容易地推導出兩者的轉換公式。設連續利率為RC，Rm是與之等價的每年計m次復利的利率，可以得出：

我們把這些公式設在Excel表里面的單元格中，可以得到上面各種利率的換算結果。無風險利率由2.0%轉換為1.98%；標的資產回報率由12.5%轉換為11.78%；g由原來的2.5%轉換為2.20%。

2．關于實物資產的風險系數

在某些情況下，實物期權的方法的確是特別有用。然而筆者絕不認為對于或有補償的評估，實物期權方法是唯一合理的方法。其他的方法，比如概率加權預期收益法也是非常有效的。但一般在或有補償的價值相對較大、并其支付的期限相對較長、期權不是深度實質期權且系統風險不是接近于零的情況下，期權方法多半是最有價值的方法。

確定是否采用實物期權的方法來評估或有補償的價值應該包括概念上的判斷和實證的挑戰兩方面。概念上的判斷主要是看評估或有補償的時候，運用BSM的假設條件是否符合得出公允市場價值的概念。很多準則定義公允市場價值為：市場交易雙方在評估基準日，為有序交易所得到的資產或債務的轉移所付出的價格。而或有補償以及它們所對應的資產往往不是被交易的資產，而任何價值評估總是建立在不可觀察的輸入數據之上的，好像并不十分符合公允市場價值的概念。但是由于大部分情況下具有期權性質的資產無法采用常規評估方法得出結果，所以筆者仍然認為對或有補償或其他員工期權定價時，還是要優先采用期權定價的方法。實際上，在一些有影響力的準則，如AICPA操作指南的股權價值評估部分上面就寫道：BSM方程在評估復雜資本結構的私人公司的某些權益或其它資產的時候可以作為一個可接受的評估方法。

實證上的挑戰包括估算對應或有補償資產的波動率和系統風險。也就是在解析方程中需要輸入的參數β和σ。這里需要注意的是這個波動率和系統風險是標的資產的，而不是公司或公司權益的。如果標的資產是EBIT，則是指EBIT的貝塔值，如果標的資產是銷售收入，則是指銷售收入的貝塔值。求取標的資產的貝塔值可以采用直接法和間接法。直接法就是采用資產的價值變動數據和市場的指數變動數據進行回歸分析。美國普華永道的分析師曾針對兩種普通的對應資產——EBIT和銷售收入，利用2001到2010十年間122家美國最大的非金融上市公司的季度財務數據和市場回報率的數據，來估算其波動率和系統風險等參數，結果并不理想。這些結果的最后解釋是：這種用來估算貝塔值的數據和方法都是不適當的，不能分辨真實的系統風險。如果有更有效的經濟學方法，或更好的數據是可以得出完全不同的結果的。

在運用期權定價模型估算實物資產的時候，筆者認為采用間接法來估算他們的貝塔值更合適。即在公司權益貝塔值的基礎上估算EBIT和銷售收入的貝塔值。因為公司權益的貝塔值在很多地方都可以查詢得到。它是一個公司凈收益貝塔值很好的代用品，因為凈收益是度量公司股權收益的最好指標。同樣，筆者認為公司資產的貝塔值是EBIT貝塔值的最好替代品。計算公司的資產貝塔值有標準的方法，即從權益貝塔值入手，調整債務效應的財務杠桿。利用Hamada公式的方法，資產的貝塔值?A是權益貝塔值?E除以調整負債權益比D/E和稅率t的一個系數而得出，即：

表2 間接法通過權益貝塔值估算EBIT和銷售的貝塔值和波動率

同樣，也存在一個類似的方法來計算公司銷售收入的貝塔值。即通過EBIT的貝塔值調整經營杠桿而得出。布雷利、梅耶斯和阿倫給出公式：銷售收入的貝塔值?R等于資產貝塔值經過調整經營杠桿而得出，這個調整即是通過一個比例：固定成本的現值PVF比資產的現值PVA：

表2給出的是分析師對122個美國非金融公司采用上述調整計算資產和銷售的貝塔值以及波動率而得出的實證分析結果。根據固定成本和EBIT資本化以后的相對價值來計算PVF和PVA，時間也是從2001年到2011年共十年，固定成本用國債利率進行資本化，而EBIT則用資本成本來資本化。

筆者相信這些結果是估算EBIT和銷售收入系統風險更為一致和可靠的估計值。雖然這些結果很有意義，但在實施去杠桿的操作上卻遇到很大挑戰。一般來說，要把成本很清楚地分為固定成本和可變成本并不是那么容易的事情。特別是或有補償可以是很短時期，也可以是很長時期，一個短期內或有補償的固定成本對于長期或有補償可能是可變成本。

筆者認為銷售收入的進貨成本是關鍵的可變成本，而銷售成本和管理成本是主要的固定成本。對于這個問題，雖然沒有嚴格理論上的答案，但在實踐中可以大致劃分為固定成本和可變成本，以便合理地估算出銷售的系統風險。很多時候，估算的或有補償的價值對于固定成本和可變成本的劃分并不十分敏感?；谏鲜鼋y計的結果和對私人公司和項目具體分析的經驗，相信采用這樣方法估算EBIT和銷售收入貝塔值和波動率在應用期權方法評估或有補償價值中是可行的。

(三)案例二

為加強評估師應用期權定價模型評估或有補償價值的印象，在上述案例一的基礎上，再給出公司A和公司B兩個或有補償價值應用修改后的BSM買方期權定價公式評估案例。

兩個公司或有補償都取決于第二年的銷售收入水平。當年的銷售收入是一億，預計以后兩年年增長率均為22%，銷售收入的波動率是30%，無風險利率是2%?；蛴醒a償分為兩步：(1)如果第二年銷售收入超過2億，給一個固定支付500萬；(2)如銷售超2億，超出2億部分的銷售收入提成20%作為可變支付。對兩個公司評估或有補償，公司A銷售貝塔值為0，公司B銷售貝塔值為0.5。市場風險溢價是7%。表3給出了或有補償的價值以及他們的計算過程。

表3 評估兩個公司以銷售收入為基礎的或有補償

上述表格是電子表格的顯示。實際上，我們已經很熟悉采用Excel來進行各種運算。把計算公式輸入到單元格即可。對于這兩部分的或有補償，第一部分的固定支付是我們經常遇到的一種支付形式，它是一個典型的兩值期權。

這種情況可對應于一個不連續的二值買權。這樣一個“現金或無價值”的看漲期權會應允一個固定的支付Q，條件是如果企業運營指標在到期日超過一定的門檻值X的話?，F在X=20000萬元，而固定支付額Q=500萬元，即如果兩年后的銷售收入超過20000 時，則賣方可收到一個500萬元的固定支付款，否則收入為零。

可應用兩值期權的方程如下：

這里d與前面公式(12)中含義一致。

所以，計算得出：對于公司A，N(d2)=0.182。對于公司B，N(d2)=0.143。由此估算這個兩值期權的價值分別為：87萬和69萬元。

與銷售收入掛鉤超過2億后的20%提成就是一個典型的買方期權。這個或有補償的支付價值計算是根據修改后的BSM公式(12)計算出來的，分別為200萬和146萬。從兩個公司的計算結果來看，主要是公司B的銷售系統風險降低了兩種類型或有補償支付的價值。

五、結語

當或有補償的風險與市場無關時，我們可以采用收益法相對直接地評估出或有補償的價值。即估算或有補償預期的現金流以及它們的折現率，由資本資產定價模型求出。但對于與市場相關的或有補償來說，由于其具有期權的性質，評估價值則要困難得多。標準的折現現金流方法無法評估期權，所以對于大部分與市場相關的或有補償而言還是采用期權定價模型評估更為有效。

期權定價模型方法已經廣泛應用于非貿易型金融工具，如ESOP，復雜的激勵獎金，嵌入式衍生品和復雜資本結構等，它非常靈活且具有適應性。采用BSM解析方程，也可采用數值方法來評估更復雜的支付形式。特別是蒙特卡洛模擬適合于處理那些交互相關的金融指標，有些或有補償常常發現這些指標。本文主要是介紹解析方程的形式，以后有機會再介紹一些數值方法的計算案例。

[1]約翰·赫爾.期權、期貨及其他衍生產品(第六版).人民郵電出版社,2009年.

[2]理查德·布雷利,斯圖爾特·邁爾斯.資本投資與估值.中國人民大學出版社,2010年.

[3]R.S.Hamada.“The Effect of the Firm’s Capital Structure on the Systematic Risk of Common Stocks”.Journal of Finnace,27(1972)435-452.

[4]Richard Brealy,Stewart Myers,and Franklin Allen.Principals of Corporate Finnace(8th edition).New York:McGraw Hill Irwin.2006.