求周期數列通項公式的方法

莊傳剛

(遼寧省本溪市第三高級中學，遼寧 本溪 117014）

求周期數列通項公式的方法

莊傳剛

(遼寧省本溪市第三高級中學，遼寧 本溪 117014）

數列是高中數學的重要內容，也是培養學生抽象概括和邏輯推理能力的重要途徑之一．利用通項公式研究數列是最基本也是最有效的方法，而對于周期數列的通項公式一直是學生所不能理解的，現對于周期數列的通項公式的求法進行研究。希望能引發大家的思考，使之對數列的教學與學習有所幫助，增加對數列學習與研究的興趣。

數列；通項公式；周期數列

1 本文所涉及的相關概念

（1）數列：按照一定次序排列起來的一列數叫做數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項，各項依次叫做這個數列的第1項（首項），第2項，第3項…第n項…。

（2）通項公式：如果數列｛an｝的第n項an與項數n之間的函數關系可以用一個公式an=f（n）來表示，那么這個公式稱為數列的通項公式。

（3）周期數列：對于數列｛an｝，若存在一個固定的自然數T，使得an＋T=an等式成立，則稱｛an｝是周期為T的周期數列。其中T的最小值稱為最小周期，簡稱周期。例如一數列｛an｝：1，2，3，1，2，3，1，2，…，則該數列是以3為周期的周期數列。

（5）同余：a和b分別用m除，余數相同，稱為同余。寫作：a≡b（modm）

2 周期數列的通項公式的求法

我們知道拉格朗日差值公式是求解近似函數解析式的一個常用表達法，因為數列是特殊的函數，因此對于數列來講，也可利用拉格朗日差值公式來求解數列的通項公式。

例如：寫出下周期數列的通項公式：a，b，c，a，b，c，a，b，c，…

分析：有前1可知，表示a1=a，a2=b，a3=c的多項式an的表達式為

而周期數列作為一種很特殊的數列，具有其特有的氣質，即若T=k是數列的周期，也就是說對于數列的項每隔k個數字之后，就會重復前邊的項的值。因此我們就可利用周期數列的這個性質得到周期數列的通項公式，即把前k項的表達式先求出來f（n），然后當求第n項的值時，就看n模k之后得到的數值N了，該項就和前第N項的值相同。

特別的當N=0時，a0=ak。

因此該數列的通項公式是：

n=NN≡0，1，2，3，…k-1（modk），特別當N=0時，a0=ak

例如：寫出周期數列1,2,0,1,2,0,1…的通項公式

思路：設此數列為｛an｝，由已知a1=1，a2=2，a3=0，利用公式，可得出該數列的通項公式是：

n=NN≡0，1，2，3，…k-1（modk），特別當N=0時，a0=a3

n=N，N≡0，1，2（modk），特別地當N=0時，a0=a3

本文只是列舉了求周期數列通項的一種方法，而求通項公式的手段還有很多，例如：不動點的方法，特征方程的方法以及母函數的方法等。由于這些方法有些跟高等代數有關，理論性較強，對于高中生來說理解起來不那么容易，因此在這里就不再贅述了。

[1]高存明，萬慶炎等．普通高中課程標準實驗教科書數學5必修B版[M]．人民教育出版社，2007．

[2]劉蒙．淺談求數列通項公式的幾種方法[J]．中學生數理化學研版，2011,7.

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A

1003-5168(2014)03-0197-01