基于絕對節(jié)點坐標的廢塑料薄膜振動特性研究

王婷，楊先海，李永波

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255049)

近年來，隨著塑料制品的不斷使用，塑料垃圾也越來越多，廢塑料污染問題已成為一個非常嚴重的環(huán)境問題。在解決生態(tài)環(huán)境污染的問題中，整治廢棄塑料所帶來的環(huán)境污染是最重要的方面之一，而將廢塑料垃圾從混合生活垃圾中分離出來是首先應該被實施并完成的。廢塑料薄膜等柔性材料在實際分選過程中本身的振動特性會直接影響其運動軌跡，從而影響分選純度和效率；因此,需對廢塑料薄膜進行振動特性分析，進而提高廢塑料薄膜分選的精度和效率。

現(xiàn)有的薄膜振動特性研究大多利用線性振動動力學方程來進行分析[1-2]。Tian等[3]在假定來流為均勻不可壓縮理想勢流的前提下，研究了空氣中薄膜振動產生的附加空氣質量以及氣動力對膜振動頻率和振幅的影響；Zhang等[4]提出了高功率脈沖激光器產生等同于聲激勵的理想脈沖激勵對薄膜進行振動激勵的方法來研究薄膜振動特性，并利用實驗驗證了該方法的可行性；Si等[5]采用有限元方法對變壓器油膜的振動特性進行了數值研究，并考慮了粘度對能量損失的影響；邵明月等[6]、武吉梅等[7]基于Von Karman薄板理論推導出軸向運動薄膜的非線性振動方程，得出薄膜穩(wěn)定工作區(qū)間和發(fā)散失穩(wěn)區(qū)間；劉明君[8]以薄膜的褶皺形態(tài)為新的平衡狀態(tài)進行動力學分析，建立了不同載荷下褶皺薄膜的動力學模型，并準確地描述出褶皺薄膜的振動特性。上述計算分析方法都有效地描述出不同薄膜的振動特性，但計算大多較為復雜，效率較低。

絕對節(jié)點坐標法(absolute nodal coordinate formulation，ANCF)是Shabana教授為解決柔性體的變形問題而提出的[9]，與傳統(tǒng)有限元方法不同，該方法中節(jié)點坐標選取的是全局坐標系下的位置及其梯度，從而避開了小轉角的約束[10]。一些學者基于絕對節(jié)點坐標法討論了不同維度下的單元模型，進而求解動力學問題[11-14]。上述的研究集中于對非柔性體單元模型的建模仿真和彈性力的研究，將絕對節(jié)點坐標法應用于塑料薄膜振動特性的研究較少。

由于塑料薄膜的振動特性對分選效率的影響較大，本文在利用振動對廢塑料薄膜進行分選的基礎上，基于絕對節(jié)點坐標法建立薄膜單元的三維柔性模型，分析廢塑料薄膜的振動特性，并通過MATLAB、ANSYS等軟件驗證該方法的正確性，以期為后續(xù)的振動分選提供理論基礎。

1 基于ANCF的薄膜單元模型

ANCF通常用于求解梁結構的變形和位移問題，在傳統(tǒng)算法中，由于薄膜的厚度較小，通常忽略厚度的影響，本文在薄板單元模型的基礎上研究薄膜的振動特性，同時考慮x、y和z的梯度，進而增加了計算精度。三維柔性薄膜單元模型如圖1所示，圖中O-XYZ為全局坐標系，與單元模型相連結，P0和P分別為初始構型與當前構型時單元模型上的質點，r0和r為節(jié)點的位移向量，?rij/?x、?rij/?y和?rij/?z均為節(jié)點坐標。

圖1 三維柔性薄膜單元模型

三維柔性薄膜單元中每個節(jié)點含有3個位置坐標和9個位移斜率坐標，單元的自由度為48，因此單元上任意一點的位置坐標可利用節(jié)點坐標和形函數來表示，即

r(x,y,z)=S(x,y,z)qe(t)，

(1)

式中：S為單元的形函數；x和y為任意的局部坐標；qe(t)為單元節(jié)點坐標。

單元的節(jié)點坐標可定義為

(2)

其中任一節(jié)點坐標可表示為

(3)

形函數可表示為

S(x,y,z)=[S1IS2I…S16I]，

(4)

各個分量如下：

1.1 單元質量矩陣

薄膜單元的質量矩陣可以利用薄膜的動能來獲得，薄膜單元的動能可以表示為

(6)

根據節(jié)點速度矢量，可以求得絕對速度矢量的表達式

(7)

代入薄膜單元動能表達式中可得

(8)

從而得到薄膜單元質量矩陣

(9)

1.2 彈性力矩陣

由于薄膜為柔性材料，利用傳統(tǒng)的線性求解方法已無法滿足單元模型對于材料屬性的精確描述，因此在非線性連續(xù)介質力學的基礎上，利用Neo-Hookean本構模型來求解三維柔性薄膜單元的彈性力矩陣，進而求解出單元的剛度矩陣。將廢塑料薄膜材料變形視為各向同性，基于Neo-Hookean本構模型的薄膜單元應變能密度函數可以表示為

(10)

式中：變形張量不變量I1可以定義為右柯西-格林變形張量C的跡，即

I1=tr(C)；

(11)

J為位置坐標求偏導的矩陣，可以表示為

J=det(J)=|J|。

(12)

將應變能密度函數對節(jié)點坐標進行微分，可以得到三維柔性薄膜單元的彈性力矩陣

(13)

根據右柯西-格林變形張量定義得

因此C的跡為

I1=tr(C)=qeTSaqe+qeTSbqe+qeTScqe。

(15)

式(15)對節(jié)點坐標求微分可得

(16)

薄膜單元的變形梯度為

(17)

將式(17)代入J的矩陣行列式可得

J=S1xqeS2yqeS3zqe+S3xqeS1yqeS2zqe+

S2xqeS3yqeS1zqe-S1xqeS3yqeS2zqe-

S2xqeS1yqeS3zqe-S3xqeS2yqeS1zqe。

(18)

由于柔性薄膜材料的泊松比與不可壓縮材料的泊松比極為接近，因此在以往的計算中都將其視為不可壓縮材料。但在實際操作條件下，材料的不可壓縮條件是無法滿足的，上述假設會影響計算結果的精確性，因此需在推導公式時增加一個補償方程。薄膜單元的應變能密度函數可以表示為

(19)

式中

(20)

取系數k=1×109N/m2。

求得薄膜單元的彈性力矩陣為

(21)

薄膜單元的彈性力矩陣還可表示為

(22)

式中K為薄膜單元的剛度矩陣，可表示為

K=(λ+2μ)K1+λK2+4μK3，

(23)

式中

1.3 單元廣義外力

當有外力F作用于薄膜單元上時，該力的虛功可表示為

δWj=FTδr=FTSδqe=QjTδqe，

(25)

則薄膜單元的廣義外力Qj為

Qj=S(x,y,z)TF，

(26)

薄膜結構中所有單元的廣義外力為

Q=∑n1×n2HTQj。

(27)

2 廢塑料薄膜動力學方程及求解

由于薄膜單元被離散為多個單元，假設系統(tǒng)中包含n個單元，第i個單元的單元節(jié)點坐標為qei，利用布爾矩陣Bi將單元坐標映射到系統(tǒng)坐標，即

qei=Biqe，

(28)

將式(28)代入廢塑料薄膜系統(tǒng)的質量、剛度及外力矩陣中，得到

(29)

利用牛頓方程建立廢塑料薄膜系統(tǒng)的動力學方程，即

(30)

利用Newmark-β結合牛頓迭代方式來求解薄膜系統(tǒng)的動力學方程，求解流程如圖2所示。

圖2 動力學方程求解流程

3 數值仿真與對比分析

為了利用MATLAB軟件對絕對節(jié)點坐標法下薄膜的動力學模型進行自由振動分析，首先應將方程線性化，即

(31)

式中Kτ為系統(tǒng)的切向剛度矩陣，在系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)時Kτ為系統(tǒng)廣義坐標的函數。系統(tǒng)靜平衡時的方程為

QK+Kuq=Q，

(32)

可求得系統(tǒng)的切向剛度矩陣Kτ為

(33)

當系統(tǒng)為自由振動時，切向剛度為

(34)

則固有頻率以及對應的振型可表示為

(Kτ-ω2M)φ=0，

(35)

式中：ω為固有頻率；φ為固有振型。

根據上述研究，對基于絕對節(jié)點坐標法的薄膜動力學模型進行自由振動模態(tài)分析。選擇薄膜尺寸為60 mm×60 mm×0.03 mm，薄膜材料為中密度的聚乙烯材料，彈性模量E=1.72×108Pa，密度ρ=1 390 kg/m3，泊松比v=0.439。利用MATLAB軟件編程計算得到的薄膜自由振動第7階至第15階振型如圖3所示。

圖3 MATLAB求解振型圖

選用同樣的薄膜材料，利用有限元軟件ANSYS對薄膜進行自由振動模態(tài)分析，得到薄膜自由振動的第7階至第15階振型如圖4所示，固有頻率如圖5所示。由于薄膜為自由振動，所以前6階為剛體運動，固有頻率近似為0;隨著階數的提高，薄膜單元振動形式變得更為復雜，固有頻率會逐漸增大。

圖4 薄膜自由振動振型圖

圖5 固有頻率圖

將MATLAB軟件仿真結果與ANSYS軟件計算結果進行對比分析，結果見表1。

從表1中數據可以看出，基于絕對節(jié)點坐標法建立的薄膜單元模型的自由振動頻率與ANSYS傳統(tǒng)的理論值基本一致，誤差較小，平均誤差約為3.21%。綜上所述，基于絕對節(jié)點坐標法建立的單元模型可以有效地分析廢塑料薄膜的固有特性，證明利用絕對節(jié)點坐標法進行薄膜振動特性分析是可行的。

表1 薄膜自由振動頻率對比

4 結論

通過建立薄膜單元模型并進行仿真分析計算，研究了廢塑料薄膜的振動規(guī)律，結論如下：

1)利用絕對節(jié)點坐標法，提出了三維柔性薄膜單元模型，通過求解矩陣，得到了廢塑料薄膜的動力學方程表達式。

2)利用MATLAB、ANSYS等軟件對該方法進行的驗證結果表明，基于絕對節(jié)點坐標法求解的薄膜振動頻率與傳統(tǒng)理論值相比平均誤差約為3.21%，具有可行性。

3)利用絕對節(jié)點坐標法求得的廢塑料薄膜振動規(guī)律，可應用于廢塑料薄膜分選設備的設計優(yōu)化中，對提高廢塑料薄膜的分選精度具有參考意義。