基于攝動(dòng)理論的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法研究*

田再克，楊鎖昌，馮德龍，姚運(yùn)志

(軍械工程學(xué)院 導(dǎo)彈工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

脈沖彈道修正彈的基本原理是在彈丸質(zhì)心附近布置多個(gè)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)，通過(guò)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)提供的側(cè)向脈沖力，對(duì)彈丸的飛行軌跡進(jìn)行快速修正。這種修正方法具有作用時(shí)間短、系統(tǒng)簡(jiǎn)單、成本低廉等特點(diǎn)，特別適用于常規(guī)彈藥的制導(dǎo)化改造[1]。

本文討論的彈道修正火箭彈采用GPS(global positioning system)導(dǎo)航，以地磁傳感器作為滾轉(zhuǎn)姿態(tài)測(cè)量元件。在彈丸發(fā)射后，彈載計(jì)算機(jī)通過(guò)導(dǎo)航衛(wèi)星提供的實(shí)時(shí)位置和速度信息對(duì)落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)預(yù)測(cè)落點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)存在較大偏差時(shí)，彈載計(jì)算機(jī)根據(jù)地磁傳感器提供的彈丸姿態(tài)信息選擇相應(yīng)方位的脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)激活，改變彈丸飛行軌跡，實(shí)現(xiàn)彈道修正的目的[2]。

1 攝動(dòng)制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

制導(dǎo)控制系統(tǒng)最重要的問(wèn)題就是如何利用GPS實(shí)測(cè)的飛行彈道數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)彈丸的無(wú)控落點(diǎn)。傳統(tǒng)的通過(guò)求解外彈道微分方程(4D彈道) 的落點(diǎn)預(yù)測(cè)方法，計(jì)算復(fù)雜，實(shí)時(shí)性差，無(wú)法滿足彈道修正制導(dǎo)系統(tǒng)的要求[3]。攝動(dòng)方法是在彈道擾動(dòng)很小的情況下用線性化函數(shù)逼近非線性函數(shù)的一種研究方法，彈道方程通常由一組運(yùn)動(dòng)微分方程組成，按照所給定的初始條件和實(shí)際飛行環(huán)境，可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)彈道。按照攝動(dòng)理論，實(shí)際彈道應(yīng)在該標(biāo)準(zhǔn)彈道附近作小振幅的“擺動(dòng)”，利用彈載GPS的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)彈道的偏差可以實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)彈道落點(diǎn)。攝動(dòng)制導(dǎo)可充分利用線性函數(shù)的疊加性、放大性等特性，便于制導(dǎo)方程的分析和計(jì)算。由于脈沖力作用時(shí)間極短，可認(rèn)為彈道是瞬時(shí)增加了一個(gè)速度矢量，對(duì)彈道的擾動(dòng)很小，因此本文根據(jù)攝動(dòng)理論設(shè)計(jì)彈道修正彈的制導(dǎo)系統(tǒng)[4]。

根據(jù)落點(diǎn)偏差設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)如圖1所示。

圖1 彈道修正系統(tǒng)工作原理Fig.1 Schematic of trajectory correction system

2 脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火條件

由于脈沖修正控制方法不同于舵翼控制或推力矢量控制等連續(xù)控制方法，脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火條件通常包括以下4個(gè)方面[5-6]：

(1) 點(diǎn)火閾值

根據(jù)飛行控制器解算出的點(diǎn)火需求數(shù)應(yīng)大于點(diǎn)火閾值，即

Ne>Nfire.

(1)

(2) 點(diǎn)火時(shí)間間隔

避免脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)激活過(guò)于頻繁造成彈體的劇烈抖動(dòng)，造成攻角過(guò)大而失穩(wěn)，相鄰2次點(diǎn)火間隔應(yīng)大于點(diǎn)火時(shí)間間隔，即

t-t*>Δtfire.

(2)

(3) 脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)作用角度

為使脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)達(dá)到最大的修正效果，要求脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)作用角與彈道偏差相位角的差值在一定范圍內(nèi)，即

θ-α<Δδfire.

(3)

(4) 每個(gè)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)只能激活一次

必須同時(shí)滿足以上4個(gè)要求才能激活脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)彈道進(jìn)行修正。

3 基于多項(xiàng)式擬合的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法

彈道修正彈在被動(dòng)段只受重力和飛行阻力的影響，其在橫向受力比較簡(jiǎn)單，彈道近似直線，而在縱向其受力比較復(fù)雜，彈道類似二次曲線。因此本文以縱向落點(diǎn)預(yù)測(cè)為例介紹了一種適用于脈沖彈道修正彈的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法。并根據(jù)落點(diǎn)誤差計(jì)算點(diǎn)火需求數(shù)，當(dāng)需求數(shù)達(dá)到點(diǎn)火閥值時(shí)激活脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行彈道修正[7-8]。

修正彈全射程L對(duì)落點(diǎn)的偏差(包括射程偏差ΔL和橫向偏差ΔH)是實(shí)際發(fā)射飛行條件的函數(shù)，建立射程與彈丸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的函數(shù)：

L=f(x,y,z,vx,vy,vz).

(4)

根據(jù)攝動(dòng)理論原理，實(shí)際射程在標(biāo)準(zhǔn)彈道附近展開(kāi)，展開(kāi)點(diǎn)可以選擇沿標(biāo)準(zhǔn)彈道的所有點(diǎn)，對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行展開(kāi)得到射程預(yù)測(cè)方程為

L(tk)=L0+k1Δxk+k2Δyk+k3Δzk+k4Δvxk+

k5Δvyk+k6Δvzk,

(5)

即，剩余射程為

L′=L(tk)-xk，

(6)

式中：L(tk)為預(yù)測(cè)點(diǎn)預(yù)測(cè)射程；L0為理論射程；L′為剩余射程；Δxk，Δyk，Δzk，Δvxk，Δvyk，Δvzk為預(yù)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)和速度的攝動(dòng)量；偏導(dǎo)數(shù)ki等為射程偏差誤差系數(shù)，其物理意義為單位運(yùn)動(dòng)參數(shù)偏差引起的落點(diǎn)偏差大小。

圖2 彈道示意圖 Fig.2 Schematic of ballistic

在一定情況下，多項(xiàng)式模型的階數(shù)越高，模型越精確，越能反映L′與變量之間的非線性關(guān)系，但階數(shù)越高測(cè)量誤差對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性影響越大，影響射程預(yù)測(cè)的魯棒性。經(jīng)仿真分析，二階模型的精度符合設(shè)計(jì)要求，因此本文采用二階模型進(jìn)行多項(xiàng)式回歸運(yùn)算。

引入矩陣符號(hào)：

(7)

k=(k0，k1，k2，…，k10)T，

則式(5)可寫(xiě)為

L′=Uk+e.

(8)

由最小二乘法可以得到回歸系數(shù)的估計(jì)

k=(UTU)-1UTL′.

(9)

同時(shí)求得隨機(jī)誤差向量

e=L′-Uk.

(10)

當(dāng)e服從高斯分布時(shí)，最小二乘估計(jì)為有效估計(jì)，則說(shuō)明剩余射程預(yù)測(cè)模型是準(zhǔn)確的，同理可解出橫向落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型。

利用Matlab仿真軟件，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，對(duì)射程為28 km的彈道進(jìn)行1 024次彈道仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證預(yù)測(cè)算法精度。取每個(gè)彈丸飛行45 s時(shí)的預(yù)測(cè)落點(diǎn)與最終仿真試驗(yàn)落點(diǎn)進(jìn)行比對(duì)，根據(jù)落點(diǎn)偏差考察落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度。縱向落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度如圖3所示，橫向落點(diǎn)預(yù)測(cè)精度如圖4所示，仿真結(jié)果表明，橫縱向預(yù)測(cè)落點(diǎn)精度達(dá)到5 m以內(nèi)，該算法滿足制導(dǎo)系統(tǒng)精度設(shè)計(jì)要求。

圖3 縱向落點(diǎn)預(yù)測(cè)偏差 Fig.3 Vertical deviation of the impact point prediction

圖4 橫向落點(diǎn)預(yù)測(cè)偏差 Fig.4 Lateral deviation of the impact point prediction

4 點(diǎn)火需求數(shù)的計(jì)算

彈丸在飛行過(guò)程中受到脈沖修正力作用，使彈道傾角略微變化，相當(dāng)于增加了一個(gè)速度矢量Δv，如圖5所示[9]。

圖5 速度增量示意圖 Fig.5 Schematic of velocity increment

增加的速度矢量主要與脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)總沖量和彈丸質(zhì)量有關(guān)，忽略其他次要因素，可得

Δv=I/m.

(11)

由Δv求取其在各個(gè)坐標(biāo)軸上的分量需要知道脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)作用角度以及彈丸的俯仰姿態(tài)角。根據(jù)上文的算法，可以實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)彈丸的落點(diǎn)，并計(jì)算橫縱落點(diǎn)偏差。由橫縱落點(diǎn)偏差ΔH,ΔL可以確定脈沖力作用角度θ，如圖6所示。

圖6 脈沖力作用角度示意圖 Fig.6 Schematic of pulse force angle

但彈丸的俯仰姿態(tài)角并不能直接求出，由于彈丸飛行比較穩(wěn)定，飛行攻角小，可以用彈道傾角近似代替俯仰姿態(tài)角。彈道傾角φ可以由已知的速度信息求出，則Δv各方向上的分量可表示為

(12)

脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)作用時(shí)間極短，認(rèn)為彈丸在瞬間獲得速度矢量Δv，此時(shí)彈丸的位置不發(fā)生變化。因此，單個(gè)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)作用后引起的射程變化為

f(x,y,z,vx,vy,vz)，

(13)

則縱向點(diǎn)火需求數(shù)為

(14)

同理可以求出橫向點(diǎn)火需求數(shù)，進(jìn)而求得總的點(diǎn)火需求數(shù)。

5 仿真及分析

基于Matlab軟件建立6自由度彈道仿真模型，采用龍格-庫(kù)塔法(Runge-Kutta)進(jìn)行彈道仿真試驗(yàn)[10-12]。脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作參數(shù)為單脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)沖量15 N·s，總發(fā)動(dòng)機(jī)個(gè)數(shù)40，多層結(jié)構(gòu)，均勻地安裝在彈丸的質(zhì)心前側(cè)，據(jù)彈丸質(zhì)心為L(zhǎng)，其構(gòu)造布局及控制力如圖7，彈丸轉(zhuǎn)速15 r/s。

圖7 脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的布局Fig.7 Schematic of layout

仿真中考慮的儀器誤差包括：GPS標(biāo)準(zhǔn)誤差為水平定位為8 m，定高 12 m；速度標(biāo)準(zhǔn)誤差為水平方向0.5 m/s，垂直方向0.6 m/s；地磁滾轉(zhuǎn)姿態(tài)測(cè)量誤差為2°；仿真中加入了1.2 m/s的橫向風(fēng)。

分別在無(wú)控條件下和有控條件下各進(jìn)行200次仿真打靶試驗(yàn)。落點(diǎn)偏差的標(biāo)準(zhǔn)差和圓概率偏差(circular error probable,CEP)值見(jiàn)表1，圖8為無(wú)控條件下彈丸的落點(diǎn)散布情況，圖9為彈丸在有控條件下的落點(diǎn)散布情況。經(jīng)過(guò)脈沖修正后，彈丸的落點(diǎn)精度CEP從176.3 m提高到36.7 m。

表1 仿真結(jié)果數(shù)值Table 1 Simulation results values

圖8 無(wú)彈道修正的落點(diǎn)散布Fig.8 Impact point dispersion of uncontrolled ballistic

圖9 彈道修正后的落點(diǎn)散布Fig.9 Impact point dispersion of trajectory correction

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于攝動(dòng)原理的落點(diǎn)預(yù)測(cè)算法。在發(fā)射前根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)彈道獲取樣本點(diǎn)，以回歸方法建立落點(diǎn)預(yù)測(cè)模型，將標(biāo)準(zhǔn)彈道和比例系數(shù)k裝訂到彈載計(jì)算機(jī)內(nèi)。在彈丸飛行過(guò)程中彈載計(jì)算機(jī)根據(jù)位置和速度信息實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)落點(diǎn)，并進(jìn)行彈道修正。仿真結(jié)果表明，采用該算法能夠大幅提高彈道修正彈的落點(diǎn)精度。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙悍東,郭錫福,王芳.側(cè)推矢量在提高火箭彈射擊精度的技術(shù)研究[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào),2005，25(2):72-74.

ZHAO Han-dong,GUO Xi-fu,WANG Fang. Research on Thruster Firing Rockets Vector in Improving the Accuracy of Technical[J].Journal of Projectiles Rockets Missiles and Guidance,2005，25(2):72-74.

[2] 徐勁祥.末段修正迫彈脈沖修正方案研究[J].彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào),2005,25(1):50-52.

XU Jin-xiang. Research on Terminal Correction Impulse Correction Scheme[J]. Journal of Projectiles Rockets Missiles and Guidance, 2005,25(1):50-52.

[4] JITPRAPHAI T,COSTELLO M.Dispersion Reduction of a Direct Fire Rocket Using Lateral Pulse Jets[J]. Jour-

nal of Spacecraft and Rockets,2001,38(6):929-936.

[5] THANAT J, BRADLEY B, MARK C. A Comparision of Different Guidance Schemes for a Direct Fire Rocket with a Pulse Jet Control Mechanism[R].ARL-CR-493, 2002.

[6] 曹營(yíng)軍，楊樹(shù)興，李杏軍.基于脈沖控制的末段彈道修正彈點(diǎn)火相位優(yōu)化研究[J]. 彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào), 2008,29(8):897-901.

CAO Ying-jun, YANG Shu-xing,LI Xing-jun.Research on Firing Phase Angle Optimization of Terminal Trajectory Correction Projectile Based on Pulse Jet Control[J].Acta Armamentarii, 2008,29(8):897-901.

[7] Anthony J Calise,Hesham A EI-Shirbiny. An Analysis of Aerodynamic Control for Direct Fire Spinning Projectiles[R].AIAA 2001-4127,US:AIAA, 2001:5-7.

[8] 張成，曹營(yíng)軍，楊樹(shù)興.一種低速滾轉(zhuǎn)彈藥脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)彈道修正方法[J].彈道學(xué)報(bào),2008,20(2):45-48.

ZHANG Cheng,CAO Ying-jun,YANG Shu-xing. A Method of Ammunition Pulse Engine Speed Roll Trajectory Correction[J]. Journal of Ballistics,2008,20(2):45-48.

[9] 姚文進(jìn)，王曉鳴，高旭東，等.彈道修正彈脈沖修正機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)易控制方法[J].彈道學(xué)報(bào),2007,19(3):19-22.

YAO Wen-jin,WANG Xiao-ming,GAO Xu-dong,et al.Method for Impulse Correction based on Trajectory Torrection Trojectile Simple Control[J]. Journal of Ballistics,2007,19(3):19-22.

[10] 王中原,涂四華，艾東民，等.彈道修正中彈道諸元探測(cè)時(shí)間間隔的確定[J].彈道學(xué)報(bào),2002,14(1):84-87.

WANG Zhong-yuan，TU Si-hua,AI Dong-min,et al. Ballistic Trajectory Correction in Moroto Probe to Determine the Time Interval[J]. Journal of Ballistics, 2002,14(1):84-87.

[11] 錢(qián)杏芳，林瑞雄，趙亞男.導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M]. 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 2000.

QIAN Xing-fang, LIN Rui-xiong,ZHAO Ya-nan. Aerothermodynamics of Missile Flight[M].Beijing:Beijing Institute of Technology Press，2008:36-48.

[12] GAO Feng,ZHANG He. Study of 2-D Trajectory Correction Based on Geomagnetic Detection with Impulse Force for Projectiles[J].Journal of System Simulation, 2011,23(1):123-128.