基于攝動理論的落點預測算法研究*

田再克，楊鎖昌，馮德龍，姚運志

(軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

脈沖彈道修正彈的基本原理是在彈丸質心附近布置多個脈沖發動機，通過脈沖發動機提供的側向脈沖力，對彈丸的飛行軌跡進行快速修正。這種修正方法具有作用時間短、系統簡單、成本低廉等特點，特別適用于常規彈藥的制導化改造[1]。

本文討論的彈道修正火箭彈采用GPS(global positioning system)導航，以地磁傳感器作為滾轉姿態測量元件。在彈丸發射后，彈載計算機通過導航衛星提供的實時位置和速度信息對落點進行預測，當預測落點與目標點存在較大偏差時，彈載計算機根據地磁傳感器提供的彈丸姿態信息選擇相應方位的脈沖發動機激活，改變彈丸飛行軌跡，實現彈道修正的目的[2]。

1 攝動制導系統設計

制導控制系統最重要的問題就是如何利用GPS實測的飛行彈道數據預測彈丸的無控落點。傳統的通過求解外彈道微分方程(4D彈道) 的落點預測方法，計算復雜，實時性差，無法滿足彈道修正制導系統的要求[3]。攝動方法是在彈道擾動很小的情況下用線性化函數逼近非線性函數的一種研究方法，彈道方程通常由一組運動微分方程組成，按照所給定的初始條件和實際飛行環境，可以計算出對應的標準彈道。按照攝動理論，實際彈道應在該標準彈道附近作小振幅的“擺動”，利用彈載GPS的實測數據與標準彈道的偏差可以實時預測彈道落點。攝動制導可充分利用線性函數的疊加性、放大性等特性，便于制導方程的分析和計算。由于脈沖力作用時間極短，可認為彈道是瞬時增加了一個速度矢量，對彈道的擾動很小，因此本文根據攝動理論設計彈道修正彈的制導系統[4]。

根據落點偏差設計的控制系統的設計如圖1所示。

圖1 彈道修正系統工作原理Fig.1 Schematic of trajectory correction system

2 脈沖發動機點火條件

由于脈沖修正控制方法不同于舵翼控制或推力矢量控制等連續控制方法，脈沖發動機點火條件通常包括以下4個方面[5-6]：

(1) 點火閾值

根據飛行控制器解算出的點火需求數應大于點火閾值，即

Ne>Nfire.

(1)

(2) 點火時間間隔

避免脈沖發動機激活過于頻繁造成彈體的劇烈抖動，造成攻角過大而失穩，相鄰2次點火間隔應大于點火時間間隔，即

t-t*>Δtfire.

(2)

(3) 脈沖發動機作用角度

為使脈沖發動機達到最大的修正效果，要求脈沖發動機作用角與彈道偏差相位角的差值在一定范圍內，即

θ-α<Δδfire.

(3)

(4) 每個脈沖發動機只能激活一次

必須同時滿足以上4個要求才能激活脈沖發動機對彈道進行修正。

3 基于多項式擬合的落點預測算法

彈道修正彈在被動段只受重力和飛行阻力的影響，其在橫向受力比較簡單，彈道近似直線，而在縱向其受力比較復雜，彈道類似二次曲線。因此本文以縱向落點預測為例介紹了一種適用于脈沖彈道修正彈的落點預測算法。并根據落點誤差計算點火需求數，當需求數達到點火閥值時激活脈沖發動機進行彈道修正[7-8]。

修正彈全射程L對落點的偏差(包括射程偏差ΔL和橫向偏差ΔH)是實際發射飛行條件的函數，建立射程與彈丸運動狀態有關的函數：

L=f(x,y,z,vx,vy,vz).

(4)

根據攝動理論原理，實際射程在標準彈道附近展開，展開點可以選擇沿標準彈道的所有點，對預測點進行展開得到射程預測方程為

L(tk)=L0+k1Δxk+k2Δyk+k3Δzk+k4Δvxk+

k5Δvyk+k6Δvzk,

(5)

即，剩余射程為

L′=L(tk)-xk，

(6)

式中：L(tk)為預測點預測射程；L0為理論射程；L′為剩余射程；Δxk，Δyk，Δzk，Δvxk，Δvyk，Δvzk為預測點坐標和速度的攝動量；偏導數ki等為射程偏差誤差系數，其物理意義為單位運動參數偏差引起的落點偏差大小。

圖2 彈道示意圖 Fig.2 Schematic of ballistic

在一定情況下，多項式模型的階數越高，模型越精確，越能反映L′與變量之間的非線性關系，但階數越高測量誤差對預測結果的準確性影響越大，影響射程預測的魯棒性。經仿真分析，二階模型的精度符合設計要求，因此本文采用二階模型進行多項式回歸運算。

引入矩陣符號：

(7)

k=(k0，k1，k2，…，k10)T，

則式(5)可寫為

L′=Uk+e.

(8)

由最小二乘法可以得到回歸系數的估計

k=(UTU)-1UTL′.

(9)

同時求得隨機誤差向量

e=L′-Uk.

(10)

當e服從高斯分布時，最小二乘估計為有效估計，則說明剩余射程預測模型是準確的，同理可解出橫向落點預測模型。

利用Matlab仿真軟件，在標準大氣壓下，對射程為28 km的彈道進行1 024次彈道仿真試驗，驗證預測算法精度。取每個彈丸飛行45 s時的預測落點與最終仿真試驗落點進行比對，根據落點偏差考察落點預測精度。縱向落點預測精度如圖3所示，橫向落點預測精度如圖4所示，仿真結果表明，橫縱向預測落點精度達到5 m以內，該算法滿足制導系統精度設計要求。

圖3 縱向落點預測偏差 Fig.3 Vertical deviation of the impact point prediction

圖4 橫向落點預測偏差 Fig.4 Lateral deviation of the impact point prediction

4 點火需求數的計算

彈丸在飛行過程中受到脈沖修正力作用，使彈道傾角略微變化，相當于增加了一個速度矢量Δv，如圖5所示[9]。

圖5 速度增量示意圖 Fig.5 Schematic of velocity increment

增加的速度矢量主要與脈沖發動機總沖量和彈丸質量有關，忽略其他次要因素，可得

Δv=I/m.

(11)

由Δv求取其在各個坐標軸上的分量需要知道脈沖發動機作用角度以及彈丸的俯仰姿態角。根據上文的算法，可以實時預測彈丸的落點，并計算橫縱落點偏差。由橫縱落點偏差ΔH,ΔL可以確定脈沖力作用角度θ，如圖6所示。

圖6 脈沖力作用角度示意圖 Fig.6 Schematic of pulse force angle

但彈丸的俯仰姿態角并不能直接求出，由于彈丸飛行比較穩定，飛行攻角小，可以用彈道傾角近似代替俯仰姿態角。彈道傾角φ可以由已知的速度信息求出，則Δv各方向上的分量可表示為

(12)

脈沖發動機作用時間極短，認為彈丸在瞬間獲得速度矢量Δv，此時彈丸的位置不發生變化。因此，單個脈沖發動機作用后引起的射程變化為

f(x,y,z,vx,vy,vz)，

(13)

則縱向點火需求數為

(14)

同理可以求出橫向點火需求數，進而求得總的點火需求數。

5 仿真及分析

基于Matlab軟件建立6自由度彈道仿真模型，采用龍格-庫塔法(Runge-Kutta)進行彈道仿真試驗[10-12]。脈沖發動機工作參數為單脈沖發動機沖量15 N·s，總發動機個數40，多層結構，均勻地安裝在彈丸的質心前側，據彈丸質心為L，其構造布局及控制力如圖7，彈丸轉速15 r/s。

圖7 脈沖發動機的布局Fig.7 Schematic of layout

仿真中考慮的儀器誤差包括：GPS標準誤差為水平定位為8 m，定高 12 m；速度標準誤差為水平方向0.5 m/s，垂直方向0.6 m/s；地磁滾轉姿態測量誤差為2°；仿真中加入了1.2 m/s的橫向風。

分別在無控條件下和有控條件下各進行200次仿真打靶試驗。落點偏差的標準差和圓概率偏差(circular error probable,CEP)值見表1，圖8為無控條件下彈丸的落點散布情況，圖9為彈丸在有控條件下的落點散布情況。經過脈沖修正后，彈丸的落點精度CEP從176.3 m提高到36.7 m。

表1 仿真結果數值Table 1 Simulation results values

圖8 無彈道修正的落點散布Fig.8 Impact point dispersion of uncontrolled ballistic

圖9 彈道修正后的落點散布Fig.9 Impact point dispersion of trajectory correction

6 結束語

本文提出了一種基于攝動原理的落點預測算法。在發射前根據標準彈道獲取樣本點，以回歸方法建立落點預測模型，將標準彈道和比例系數k裝訂到彈載計算機內。在彈丸飛行過程中彈載計算機根據位置和速度信息實時預測落點，并進行彈道修正。仿真結果表明，采用該算法能夠大幅提高彈道修正彈的落點精度。

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