基于改進的GM（1，1）模型的我國農村人口老齡化預測

謝明柱　査奇芬

摘要：在對灰色GM（1，1）模型進行改進的基礎上，建立了我國農村老年人口系數的預測模型，并對我國農村地區的人口老齡化程度進行了預測，最后就研究結論提出相關的政策建議。結果顯示，經過改進的灰色GM（1，1）模型的模擬和預測效果都很好；未來10年我國農村老年人口會繼續增加，且到2020年農村65歲及以上老年人口系數將會超過16%。

關鍵詞：農村；人口老齡化；平滑改進；GM（1，1）模型

中圖分類號： C921文獻標志碼： A文章編號：1002-1302（2014）01-0399-02

收稿日期：2013-05-30

基金項目：國家統計局統計科學研究計劃（編號：2012LY123）；江蘇省統計應用研究基地資助項目。

作者簡介：謝明柱（1987—），男，安徽六安人，碩士研究生，研究方向為統計方法應用。E-mail：1069408009@qq.com。人口老齡化是指總人口中因年輕人口數量減少、老年人口數量增加而導致的老年人口比例相應增長的動態過程，國際上通常把60歲以上老年人口系數或65歲及以上老年人口系數作為測量一國或地區老齡化水平的統計指標。該指標越大表示該地老齡化程度越嚴重，當前者超過10%或后者超過7%時則視該地已進入老齡化社會[1]。隨著我國經濟的發展、醫療衛生條件的改善，我國人口平均壽命不斷延長，65歲及以上老年人口系數被國內越來越多的專家和學者用作判斷我國人口類型的一個統計指標。按照該標準，我國農村地區早在2000年第5次人口普查時期就已經進入老齡化社會[2]，當年農村65歲及以上老年人口總數達8 557萬人，占農村人口總數的7.35%，到2010年第6次人口普查時期該比例已達10.06%，10年間累積上升了2.71百分點。由此可見，我國農村人口老齡化總體水平很高，且上漲速度很快，隨著計劃生育政策的繼續實施、人口生育觀念的不斷改變以及人口遷移等原因[3-4]，這種上漲趨勢還會繼續，農村老年人口比重會越來越大，給社會發展帶來的問題也將越來越嚴重[5-6]，因此對其進行深入的量化研究，把握其變化發展規律是很有必要的。本研究在我國1998—2010年農村65歲以上老年人口系數的基礎上，利用改進的灰色GM（1，1）模型建立我國農村老年人口系數預測模型，對未來10年間我國農村地區的人口老齡化程度進行預測。

1二次平滑改進的GM（1，1）模型

1.1灰色GM（1，1）模型

灰色系統理論是我國著名學者鄧聚龍教授在1982年首次提出，專門研究社會經濟現象中小樣本、貧信息的不確定系統的理論方法，目前使用最廣泛的灰色預測模型是關于數據預測的一個變量、一階微分的GM（1，1）模型[7]。

設時間序列X（0）有n個觀察值，X（0）（i）=[X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）]，X（0）的1-AGO序列為X（1）（k）=[X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n）]，其中，X（1）（k）=∑k1i=1X（0）（i），k=1，2，…，n，則GM（1，1）模型對應的白化方程為

dX（1）1dt+aX（1）=b，（1）

式中：a為發展灰數，b為內生控制灰數，利用最小二乘法可得參數向量為（a，b）T=（BTB）-1BTY。

其中B=-112[X（1）（1）+X（1）（2）]11

-112[X（1）（2）+X（1）（3）]11

1

-112[X（1）（n-1）+X（1）（n）]11=-z（1）（2）11

-z（1）（3）11

1

-z（1）（n）11

Y=X（0）（2）

X（0）（3）

X（0）（n）

求解微分方程，可得預測模型：

x^（1）（k+1）=[X（0）（1）-a1b]e-ak+b1a，k=0，1，2，…，n（2）

最后根據公式x^（0）（k）=x^（1）（k）-x^（1）（k-1）可得X（0）的模擬值。

1.2灰色模型檢驗

灰色模型檢驗一般有殘差檢驗和后驗檢驗，下面簡要介紹其計算原理。

1.2.1殘差檢驗計算原始序X（0）（i）與模擬序列x^（0）（i）的絕對誤差Δ（i）和相對誤差（i），其中Δ（i）=X（0）（i）-x^（0）（i），（i）=Δ（i）1X（0）（i）×100%，i=1，2，…，n。

1.2.2后驗檢驗計算模型的方差比值C和小誤差概率P：

C=S21S1，P={|Δ（i）-Δ（i）|<0.674 5S1}；

S1為原始序列標準差，S1=∑n1i=1[X（0）（i）-X（0）]21n-1；

S2為絕對誤差序列標準差，S2=∑n1i=1[Δ（0）（i）-Δ（0）]21n-1。

式中：X（0）為原始序列的均值，Δ（0）為模擬序列絕對誤差的均值。隨著C和P取值的不同，模型的模擬精度也不同，若殘差檢驗和后驗檢驗均通過一定標準，則所建模型適合所研究問題，對未來預測的可信度較高，具體標準見表1。

表1精度檢驗等級參照

等級1P值1C值1級（好）1P≥0.951C≤0.352級（合格）10.80≤P<0.9510.350.65

1.3灰色GM（1，1）模型的平滑改進

典型灰色預測模型GM（1，1）是一種單變量指數增長模型，具有精度高、所需樣本少、計算簡便、可檢驗等優點，但當預測對象不呈嚴格指數持續增長時，模擬誤差會較大，相應預測精度就不會高。二次指數平滑可以構造出與原始序列數學期望相同但方差卻比原始序列方差小的新序列，新序列的規律性增強，與灰色GM（1，1）模型結合能夠大大提高其預測精度，進而可以拓寬灰色預測方法的應用范圍，具體的二次指數平滑公式為：

S′（i）=λX（0）（i）+（1-λ）S′（i-1）

S″（i）=λS′（i）+（1-λ）S″（i-1）（3）

式中：X（0）（i）為原始序列，S′（i）和S″（i）分別為一次指數和二次指數平滑后所得序列，λ為平滑系數。應用GM（1，1）預測得到預測值序列S″Δ（i），再按照下式還原為預測序列X（0）Δ（i）：

S′Δ（i）=[S″Δ（i）-（1-λ）S″Δ（i-1）]/λ

X（0）Δ（i）=[S′Δ（i）-（1-λ）S′Δ（i-1）]/λ（4）

2我國農村老年人口系數預測

2.1數據說明及二次指數平滑

人口老齡化程度隨時在變化，加之人口數量龐大、流動性強，無法獲得其精確的數據，屬于灰色系統，下面運用改進的灰色GM（1，1）模型對其進行預測。選擇1998—2010年我國農村65歲及以上的老年人口系數作為樣本數據，原始數據見表2。經作圖發現本研究樣本數據雖然長期大致呈指數走勢，但短期有較大波動，指數走勢并不明顯，因此首先對原始數據序列進行二次指數平滑，重新生成波動較小的新序列。

根據式（3）對表2中1998—2009年原始數據進行指數平滑得到新序列，λ選擇0.8：

S″（i）=（6.64，6.70，7.12，7.24，7.46，7.75，8.20，9.08，9.40，9.56，9.71，9.78）。

表21998—2010年我國農村老年人口系數

年份1農村65歲及以上老年人口系數（%）199816.64199916.73200017.35200117.29200217.58200317.89200418.44200519.55200619.53200719.62200819.79200919.812010110.06注：1998—2005年數據收集整理自《中國人口年鑒》，2006—2010年數據收集整理自《中國人口與就業統計年鑒》；數據中均不包含中國臺灣、香港、澳門地區和金膨、馬祖島嶼人口。

2.2GM（1，1）模型估計與檢驗

2.2.1GM（1，1）估計對指數平滑的新序列S″（i）作一次累加得到1-AGO序列：X（1）（i）=（6.64，13.34，20.46，2770，35.16，42.91，5111，60.19，69.59，79.15，88.86，9864），根據緊鄰均值生成公式z（1）（i）={X（1）（i）+X（1）（i-1）}/2生成緊鄰均值序列：

z（1）（i）=（9.99，16.9，24.08，31.43，39.04，47.01，5565，64.89，74.37，84.01，93.75）。

構造數據矩陣B及數據向量Y得：

B=-z（1）（2）11

-z（1）（3）11

1

-z（1）（12）11=-9.9911

-16.9011

1

-93.7511

Y=S″（2）

S″（3）

…

S″（12）=6.70

7.20

…

9.78

參數序列的最小二乘估計為（a，b）T=（BTB）-1BTY=（-0.040 9，6.350 8）T，得到的GM（1，1）的白化方程為：

dX（1）1dt-0.040 9X（1）=6.350 8（5）

根據式（2）得到GM（1，1）離散響應函數：

x（1）Δ（k+1）=[S″（1）-b1a]e-ak+a1b=161.918 79e-0.040 9k-155.278 7（6）

結合S″Δ（1）=S″（1），根據公式S″Δ（k）=x（1）Δ（k）-x（1）Δ（k-1）累減還原生成序列S″（k）的模擬序列S″Δ（k）。

2.2.2GM（1，1）估計結果與檢驗根據式（5）與式（6）生成1998—2009年的模擬序列S″Δ（k），預測2010年數值，并根據式（4）對模擬序列和預測值進行還原，進而進行殘差檢驗，模擬及檢驗結果見表3。

從表3可以看出，1998—2009年模擬值除2005、2009年的相對誤差較大外，其他年份相對誤差的絕對值均小于5%，2010年的預測值相對誤差僅為3.68%，平均模擬相對誤差為2.65%，可見就各樣本點而言二次指數平滑GM（1，1）的模擬效果很好。為進一步檢驗模型的整體精度，對模型進行后驗檢驗，計算模型的均方差比值：C=0.2641 ，P=1，根據表1可知GM（1，1）的整體模擬精度達到1級。綜上所述，模型的擬合效果很好。

表3GM（1，1）模擬及檢驗結果

年份1S″Δ（k）1指數平滑還原值1相對誤差（i）

（%）199816.6416.6410199916.7616.8311.45200017.0417.191-2.18200117.3417.4912.76200217.6417.7912.77200317.9618.1212.93200418.2918.4610.19200518.6418.821-7.68200619.0019.181-3.67200719.3819.571-0.51200819.7719.9711.792009110.18110.3915.872010（預測值）110.36110.4313.68

2.3我國農村老年人口系數預測

GM（1，1）模型的估計參數-a=0.0422<0.3，且檢驗精度達到1級，因此該模型可用于中長期預測，預測數據可信度較高。從表4的預測數據可以看出，在未來10年內我國農村65歲及以上老年人口系數每年都在以不同程度上升，且到2020年該比重將會達到16%以上。endprint

3結論與建議

3.1結論

本研究可以得出以下結論：（1）經過二次指數平滑的灰

色GM（1，1）模型的估計所需樣本量少，數據模擬與預測的精度無論是單期還是整體都很高，預測的數據可信度很高，是一種很好的單變量預測方法。（2）本研究針對1998—2009年我國農村老年人口系數建立的二次指數平滑GM（1，1）模型，無論是發展系數還是各檢驗指標均達到了很高的標準，因此該模型很適合我國農村老年人口系數的預測。（3）未來10年間，我國農村地區人口老齡化程度還會繼續加重，到2020年65歲及以上老年人口系數將會超過16%。

3.2政策建議

從預測結果可以看出，在現行政策下我國農村65歲及以上老年人口系數到2020年將超過16%，如此大的比重將會給農村養老以及整個農村經濟體系帶來災難性的后果，因此建議相關部門：（1）在更大批的“白發浪潮”來臨之前應充分做好農村養老保險預備工作，不斷完善農村養老體系，使大量農村老年人口能老有所養；（2）對現行的人口政策應作適當的改變，使農村人口再生產系統能合理循環，保持“兩頭小，中間大”的人口年齡結構；（3）適當調整農村經濟政策，大力發展農村本地經濟，把大量農村青壯年勞動力留在農村，這樣既有利于發展農業，維持國家糧食供給，又可以為農村養老事業提供一支力量。

參考文獻：

[1]謝安. 中國人口老齡化的現狀、變化趨勢及特點[J]. 統計研究，2004（8）：50-53.

[2]田永坡，胡衛勛，王曉東. 農村人口老齡化研究：趨勢、問題和對策[J]. 廣西社會科學，2007（11）：154-157.

[3]王澤強. 鄉-城人口遷移與農村人口老齡化問題研究[J]. 中共寧波市委黨校學報，2011，33（1）：42-46.

[4]唐康芬，許改玲. 農村人口老齡化的特殊性分析[J]. 西北人口，2007，28（2）：85-87，92.

[5]伍小蘭. 中國農村老年人口照料現狀分析[J]. 人口學刊，2009（6）：35-40.

[6]邵興華. 農村人口老齡化若干問題研究[J]. 中共烏魯木齊市委黨校學報，2007（1）：23-27.

[7]劉思峰，黨耀國. 灰色系統理論及其應用[M]. 5版. 北京：科學出版社，2010：31-109.席桂萍，趙芝俊，張永民. 河南省農業蜜蜂授粉服務的經濟價值評估[J]. 江蘇農業科學，2014，42（1）：402-405.endprint

3結論與建議

3.1結論

本研究可以得出以下結論：（1）經過二次指數平滑的灰

色GM（1，1）模型的估計所需樣本量少，數據模擬與預測的精度無論是單期還是整體都很高，預測的數據可信度很高，是一種很好的單變量預測方法。（2）本研究針對1998—2009年我國農村老年人口系數建立的二次指數平滑GM（1，1）模型，無論是發展系數還是各檢驗指標均達到了很高的標準，因此該模型很適合我國農村老年人口系數的預測。（3）未來10年間，我國農村地區人口老齡化程度還會繼續加重，到2020年65歲及以上老年人口系數將會超過16%。

3.2政策建議

從預測結果可以看出，在現行政策下我國農村65歲及以上老年人口系數到2020年將超過16%，如此大的比重將會給農村養老以及整個農村經濟體系帶來災難性的后果，因此建議相關部門：（1）在更大批的“白發浪潮”來臨之前應充分做好農村養老保險預備工作，不斷完善農村養老體系，使大量農村老年人口能老有所養；（2）對現行的人口政策應作適當的改變，使農村人口再生產系統能合理循環，保持“兩頭小，中間大”的人口年齡結構；（3）適當調整農村經濟政策，大力發展農村本地經濟，把大量農村青壯年勞動力留在農村，這樣既有利于發展農業，維持國家糧食供給，又可以為農村養老事業提供一支力量。

參考文獻：

[1]謝安. 中國人口老齡化的現狀、變化趨勢及特點[J]. 統計研究，2004（8）：50-53.

[2]田永坡，胡衛勛，王曉東. 農村人口老齡化研究：趨勢、問題和對策[J]. 廣西社會科學，2007（11）：154-157.

[3]王澤強. 鄉-城人口遷移與農村人口老齡化問題研究[J]. 中共寧波市委黨校學報，2011，33（1）：42-46.

[4]唐康芬，許改玲. 農村人口老齡化的特殊性分析[J]. 西北人口，2007，28（2）：85-87，92.

[5]伍小蘭. 中國農村老年人口照料現狀分析[J]. 人口學刊，2009（6）：35-40.

[6]邵興華. 農村人口老齡化若干問題研究[J]. 中共烏魯木齊市委黨校學報，2007（1）：23-27.

[7]劉思峰，黨耀國. 灰色系統理論及其應用[M]. 5版. 北京：科學出版社，2010：31-109.席桂萍，趙芝俊，張永民. 河南省農業蜜蜂授粉服務的經濟價值評估[J]. 江蘇農業科學，2014，42（1）：402-405.endprint

3結論與建議

3.1結論

本研究可以得出以下結論：（1）經過二次指數平滑的灰

色GM（1，1）模型的估計所需樣本量少，數據模擬與預測的精度無論是單期還是整體都很高，預測的數據可信度很高，是一種很好的單變量預測方法。（2）本研究針對1998—2009年我國農村老年人口系數建立的二次指數平滑GM（1，1）模型，無論是發展系數還是各檢驗指標均達到了很高的標準，因此該模型很適合我國農村老年人口系數的預測。（3）未來10年間，我國農村地區人口老齡化程度還會繼續加重，到2020年65歲及以上老年人口系數將會超過16%。

3.2政策建議

從預測結果可以看出，在現行政策下我國農村65歲及以上老年人口系數到2020年將超過16%，如此大的比重將會給農村養老以及整個農村經濟體系帶來災難性的后果，因此建議相關部門：（1）在更大批的“白發浪潮”來臨之前應充分做好農村養老保險預備工作，不斷完善農村養老體系，使大量農村老年人口能老有所養；（2）對現行的人口政策應作適當的改變，使農村人口再生產系統能合理循環，保持“兩頭小，中間大”的人口年齡結構；（3）適當調整農村經濟政策，大力發展農村本地經濟，把大量農村青壯年勞動力留在農村，這樣既有利于發展農業，維持國家糧食供給，又可以為農村養老事業提供一支力量。

參考文獻：

[1]謝安. 中國人口老齡化的現狀、變化趨勢及特點[J]. 統計研究，2004（8）：50-53.

[2]田永坡，胡衛勛，王曉東. 農村人口老齡化研究：趨勢、問題和對策[J]. 廣西社會科學，2007（11）：154-157.

[3]王澤強. 鄉-城人口遷移與農村人口老齡化問題研究[J]. 中共寧波市委黨校學報，2011，33（1）：42-46.

[4]唐康芬，許改玲. 農村人口老齡化的特殊性分析[J]. 西北人口，2007，28（2）：85-87，92.

[5]伍小蘭. 中國農村老年人口照料現狀分析[J]. 人口學刊，2009（6）：35-40.

[6]邵興華. 農村人口老齡化若干問題研究[J]. 中共烏魯木齊市委黨校學報，2007（1）：23-27.

[7]劉思峰，黨耀國. 灰色系統理論及其應用[M]. 5版. 北京：科學出版社，2010：31-109.席桂萍，趙芝俊，張永民. 河南省農業蜜蜂授粉服務的經濟價值評估[J]. 江蘇農業科學，2014，42（1）：402-405.endprint