基于改進的GM（1，1）模型的我國農(nóng)村人口老齡化預(yù)測

謝明柱　査奇芬

摘要：在對灰色GM（1，1）模型進行改進的基礎(chǔ)上，建立了我國農(nóng)村老年人口系數(shù)的預(yù)測模型，并對我國農(nóng)村地區(qū)的人口老齡化程度進行了預(yù)測，最后就研究結(jié)論提出相關(guān)的政策建議。結(jié)果顯示，經(jīng)過改進的灰色GM（1，1）模型的模擬和預(yù)測效果都很好；未來10年我國農(nóng)村老年人口會繼續(xù)增加，且到2020年農(nóng)村65歲及以上老年人口系數(shù)將會超過16%。

關(guān)鍵詞：農(nóng)村；人口老齡化；平滑改進；GM（1，1）模型

中圖分類號： C921文獻標志碼： A文章編號：1002-1302（2014）01-0399-02

收稿日期：2013-05-30

基金項目：國家統(tǒng)計局統(tǒng)計科學(xué)研究計劃（編號：2012LY123）；江蘇省統(tǒng)計應(yīng)用研究基地資助項目。

作者簡介：謝明柱（1987—），男，安徽六安人，碩士研究生，研究方向為統(tǒng)計方法應(yīng)用。E-mail：1069408009@qq.com。人口老齡化是指總?cè)丝谥幸蚰贻p人口數(shù)量減少、老年人口數(shù)量增加而導(dǎo)致的老年人口比例相應(yīng)增長的動態(tài)過程，國際上通常把60歲以上老年人口系數(shù)或65歲及以上老年人口系數(shù)作為測量一國或地區(qū)老齡化水平的統(tǒng)計指標。該指標越大表示該地老齡化程度越嚴重，當(dāng)前者超過10%或后者超過7%時則視該地已進入老齡化社會[1]。隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展、醫(yī)療衛(wèi)生條件的改善，我國人口平均壽命不斷延長，65歲及以上老年人口系數(shù)被國內(nèi)越來越多的專家和學(xué)者用作判斷我國人口類型的一個統(tǒng)計指標。按照該標準，我國農(nóng)村地區(qū)早在2000年第5次人口普查時期就已經(jīng)進入老齡化社會[2]，當(dāng)年農(nóng)村65歲及以上老年人口總數(shù)達8 557萬人，占農(nóng)村人口總數(shù)的7.35%，到2010年第6次人口普查時期該比例已達10.06%，10年間累積上升了2.71百分點。由此可見，我國農(nóng)村人口老齡化總體水平很高，且上漲速度很快，隨著計劃生育政策的繼續(xù)實施、人口生育觀念的不斷改變以及人口遷移等原因[3-4]，這種上漲趨勢還會繼續(xù)，農(nóng)村老年人口比重會越來越大，給社會發(fā)展帶來的問題也將越來越嚴重[5-6]，因此對其進行深入的量化研究，把握其變化發(fā)展規(guī)律是很有必要的。本研究在我國1998—2010年農(nóng)村65歲以上老年人口系數(shù)的基礎(chǔ)上，利用改進的灰色GM（1，1）模型建立我國農(nóng)村老年人口系數(shù)預(yù)測模型，對未來10年間我國農(nóng)村地區(qū)的人口老齡化程度進行預(yù)測。

1二次平滑改進的GM（1，1）模型

1.1灰色GM（1，1）模型

灰色系統(tǒng)理論是我國著名學(xué)者鄧聚龍教授在1982年首次提出，專門研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象中小樣本、貧信息的不確定系統(tǒng)的理論方法，目前使用最廣泛的灰色預(yù)測模型是關(guān)于數(shù)據(jù)預(yù)測的一個變量、一階微分的GM（1，1）模型[7]。

設(shè)時間序列X（0）有n個觀察值，X（0）（i）=[X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）]，X（0）的1-AGO序列為X（1）（k）=[X（1）（1），X（1）（2），…，X（1）（n）]，其中，X（1）（k）=∑k1i=1X（0）（i），k=1，2，…，n，則GM（1，1）模型對應(yīng)的白化方程為

dX（1）1dt+aX（1）=b，（1）

式中：a為發(fā)展灰數(shù)，b為內(nèi)生控制灰數(shù)，利用最小二乘法可得參數(shù)向量為（a，b）T=（BTB）-1BTY。

其中B=-112[X（1）（1）+X（1）（2）]11

-112[X（1）（2）+X（1）（3）]11

1

-112[X（1）（n-1）+X（1）（n）]11=-z（1）（2）11

-z（1）（3）11

1

-z（1）（n）11

Y=X（0）（2）

X（0）（3）

X（0）（n）

求解微分方程，可得預(yù)測模型：

x^（1）（k+1）=[X（0）（1）-a1b]e-ak+b1a，k=0，1，2，…，n（2）

最后根據(jù)公式x^（0）（k）=x^（1）（k）-x^（1）（k-1）可得X（0）的模擬值。

1.2灰色模型檢驗

灰色模型檢驗一般有殘差檢驗和后驗檢驗，下面簡要介紹其計算原理。

1.2.1殘差檢驗計算原始序X（0）（i）與模擬序列x^（0）（i）的絕對誤差Δ（i）和相對誤差（i），其中Δ（i）=X（0）（i）-x^（0）（i），（i）=Δ（i）1X（0）（i）×100%，i=1，2，…，n。

1.2.2后驗檢驗計算模型的方差比值C和小誤差概率P：

C=S21S1，P={|Δ（i）-Δ（i）|<0.674 5S1}；

S1為原始序列標準差，S1=∑n1i=1[X（0）（i）-X（0）]21n-1；

S2為絕對誤差序列標準差，S2=∑n1i=1[Δ（0）（i）-Δ（0）]21n-1。

式中：X（0）為原始序列的均值，Δ（0）為模擬序列絕對誤差的均值。隨著C和P取值的不同，模型的模擬精度也不同，若殘差檢驗和后驗檢驗均通過一定標準，則所建模型適合所研究問題，對未來預(yù)測的可信度較高，具體標準見表1。

表1精度檢驗等級參照

等級1P值1C值1級（好）1P≥0.951C≤0.352級（合格）10.80≤P<0.9510.350.65

1.3灰色GM（1，1）模型的平滑改進

典型灰色預(yù)測模型GM（1，1）是一種單變量指數(shù)增長模型，具有精度高、所需樣本少、計算簡便、可檢驗等優(yōu)點，但當(dāng)預(yù)測對象不呈嚴格指數(shù)持續(xù)增長時，模擬誤差會較大，相應(yīng)預(yù)測精度就不會高。二次指數(shù)平滑可以構(gòu)造出與原始序列數(shù)學(xué)期望相同但方差卻比原始序列方差小的新序列，新序列的規(guī)律性增強，與灰色GM（1，1）模型結(jié)合能夠大大提高其預(yù)測精度，進而可以拓寬灰色預(yù)測方法的應(yīng)用范圍，具體的二次指數(shù)平滑公式為：

S′（i）=λX（0）（i）+（1-λ）S′（i-1）

S″（i）=λS′（i）+（1-λ）S″（i-1）（3）

式中：X（0）（i）為原始序列，S′（i）和S″（i）分別為一次指數(shù)和二次指數(shù)平滑后所得序列，λ為平滑系數(shù)。應(yīng)用GM（1，1）預(yù)測得到預(yù)測值序列S″Δ（i），再按照下式還原為預(yù)測序列X（0）Δ（i）：

S′Δ（i）=[S″Δ（i）-（1-λ）S″Δ（i-1）]/λ

X（0）Δ（i）=[S′Δ（i）-（1-λ）S′Δ（i-1）]/λ（4）

2我國農(nóng)村老年人口系數(shù)預(yù)測

2.1數(shù)據(jù)說明及二次指數(shù)平滑

人口老齡化程度隨時在變化，加之人口數(shù)量龐大、流動性強，無法獲得其精確的數(shù)據(jù)，屬于灰色系統(tǒng)，下面運用改進的灰色GM（1，1）模型對其進行預(yù)測。選擇1998—2010年我國農(nóng)村65歲及以上的老年人口系數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，原始數(shù)據(jù)見表2。經(jīng)作圖發(fā)現(xiàn)本研究樣本數(shù)據(jù)雖然長期大致呈指數(shù)走勢，但短期有較大波動，指數(shù)走勢并不明顯，因此首先對原始數(shù)據(jù)序列進行二次指數(shù)平滑，重新生成波動較小的新序列。

根據(jù)式（3）對表2中1998—2009年原始數(shù)據(jù)進行指數(shù)平滑得到新序列，λ選擇0.8：

S″（i）=（6.64，6.70，7.12，7.24，7.46，7.75，8.20，9.08，9.40，9.56，9.71，9.78）。

表21998—2010年我國農(nóng)村老年人口系數(shù)

年份1農(nóng)村65歲及以上老年人口系數(shù)（%）199816.64199916.73200017.35200117.29200217.58200317.89200418.44200519.55200619.53200719.62200819.79200919.812010110.06注：1998—2005年數(shù)據(jù)收集整理自《中國人口年鑒》，2006—2010年數(shù)據(jù)收集整理自《中國人口與就業(yè)統(tǒng)計年鑒》；數(shù)據(jù)中均不包含中國臺灣、香港、澳門地區(qū)和金膨、馬祖島嶼人口。

2.2GM（1，1）模型估計與檢驗

2.2.1GM（1，1）估計對指數(shù)平滑的新序列S″（i）作一次累加得到1-AGO序列：X（1）（i）=（6.64，13.34，20.46，2770，35.16，42.91，5111，60.19，69.59，79.15，88.86，9864），根據(jù)緊鄰均值生成公式z（1）（i）={X（1）（i）+X（1）（i-1）}/2生成緊鄰均值序列：

z（1）（i）=（9.99，16.9，24.08，31.43，39.04，47.01，5565，64.89，74.37，84.01，93.75）。

構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y得：

B=-z（1）（2）11

-z（1）（3）11

1

-z（1）（12）11=-9.9911

-16.9011

1

-93.7511

Y=S″（2）

S″（3）

…

S″（12）=6.70

7.20

…

9.78

參數(shù)序列的最小二乘估計為（a，b）T=（BTB）-1BTY=（-0.040 9，6.350 8）T，得到的GM（1，1）的白化方程為：

dX（1）1dt-0.040 9X（1）=6.350 8（5）

根據(jù)式（2）得到GM（1，1）離散響應(yīng)函數(shù)：

x（1）Δ（k+1）=[S″（1）-b1a]e-ak+a1b=161.918 79e-0.040 9k-155.278 7（6）

結(jié)合S″Δ（1）=S″（1），根據(jù)公式S″Δ（k）=x（1）Δ（k）-x（1）Δ（k-1）累減還原生成序列S″（k）的模擬序列S″Δ（k）。

2.2.2GM（1，1）估計結(jié)果與檢驗根據(jù)式（5）與式（6）生成1998—2009年的模擬序列S″Δ（k），預(yù)測2010年數(shù)值，并根據(jù)式（4）對模擬序列和預(yù)測值進行還原，進而進行殘差檢驗，模擬及檢驗結(jié)果見表3。

從表3可以看出，1998—2009年模擬值除2005、2009年的相對誤差較大外，其他年份相對誤差的絕對值均小于5%，2010年的預(yù)測值相對誤差僅為3.68%，平均模擬相對誤差為2.65%，可見就各樣本點而言二次指數(shù)平滑GM（1，1）的模擬效果很好。為進一步檢驗?zāi)Ｐ偷恼w精度，對模型進行后驗檢驗，計算模型的均方差比值：C=0.2641 ，P=1，根據(jù)表1可知GM（1，1）的整體模擬精度達到1級。綜上所述，模型的擬合效果很好。

表3GM（1，1）模擬及檢驗結(jié)果

年份1S″Δ（k）1指數(shù)平滑還原值1相對誤差（i）

（%）199816.6416.6410199916.7616.8311.45200017.0417.191-2.18200117.3417.4912.76200217.6417.7912.77200317.9618.1212.93200418.2918.4610.19200518.6418.821-7.68200619.0019.181-3.67200719.3819.571-0.51200819.7719.9711.792009110.18110.3915.872010（預(yù)測值）110.36110.4313.68

2.3我國農(nóng)村老年人口系數(shù)預(yù)測

GM（1，1）模型的估計參數(shù)-a=0.0422<0.3，且檢驗精度達到1級，因此該模型可用于中長期預(yù)測，預(yù)測數(shù)據(jù)可信度較高。從表4的預(yù)測數(shù)據(jù)可以看出，在未來10年內(nèi)我國農(nóng)村65歲及以上老年人口系數(shù)每年都在以不同程度上升，且到2020年該比重將會達到16%以上。endprint

3結(jié)論與建議

3.1結(jié)論

本研究可以得出以下結(jié)論：（1）經(jīng)過二次指數(shù)平滑的灰

色GM（1，1）模型的估計所需樣本量少，數(shù)據(jù)模擬與預(yù)測的精度無論是單期還是整體都很高，預(yù)測的數(shù)據(jù)可信度很高，是一種很好的單變量預(yù)測方法。（2）本研究針對1998—2009年我國農(nóng)村老年人口系數(shù)建立的二次指數(shù)平滑GM（1，1）模型，無論是發(fā)展系數(shù)還是各檢驗指標均達到了很高的標準，因此該模型很適合我國農(nóng)村老年人口系數(shù)的預(yù)測。（3）未來10年間，我國農(nóng)村地區(qū)人口老齡化程度還會繼續(xù)加重，到2020年65歲及以上老年人口系數(shù)將會超過16%。

3.2政策建議

從預(yù)測結(jié)果可以看出，在現(xiàn)行政策下我國農(nóng)村65歲及以上老年人口系數(shù)到2020年將超過16%，如此大的比重將會給農(nóng)村養(yǎng)老以及整個農(nóng)村經(jīng)濟體系帶來災(zāi)難性的后果，因此建議相關(guān)部門：（1）在更大批的“白發(fā)浪潮”來臨之前應(yīng)充分做好農(nóng)村養(yǎng)老保險預(yù)備工作，不斷完善農(nóng)村養(yǎng)老體系，使大量農(nóng)村老年人口能老有所養(yǎng)；（2）對現(xiàn)行的人口政策應(yīng)作適當(dāng)?shù)母淖儯罐r(nóng)村人口再生產(chǎn)系統(tǒng)能合理循環(huán)，保持“兩頭小，中間大”的人口年齡結(jié)構(gòu)；（3）適當(dāng)調(diào)整農(nóng)村經(jīng)濟政策，大力發(fā)展農(nóng)村本地經(jīng)濟，把大量農(nóng)村青壯年勞動力留在農(nóng)村，這樣既有利于發(fā)展農(nóng)業(yè)，維持國家糧食供給，又可以為農(nóng)村養(yǎng)老事業(yè)提供一支力量。

參考文獻：

[1]謝安. 中國人口老齡化的現(xiàn)狀、變化趨勢及特點[J]. 統(tǒng)計研究，2004（8）：50-53.

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[3]王澤強. 鄉(xiāng)-城人口遷移與農(nóng)村人口老齡化問題研究[J]. 中共寧波市委黨校學(xué)報，2011，33（1）：42-46.

[4]唐康芬，許改玲. 農(nóng)村人口老齡化的特殊性分析[J]. 西北人口，2007，28（2）：85-87，92.

[5]伍小蘭. 中國農(nóng)村老年人口照料現(xiàn)狀分析[J]. 人口學(xué)刊，2009（6）：35-40.

[6]邵興華. 農(nóng)村人口老齡化若干問題研究[J]. 中共烏魯木齊市委黨校學(xué)報，2007（1）：23-27.

[7]劉思峰，黨耀國. 灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M]. 5版. 北京：科學(xué)出版社，2010：31-109.席桂萍，趙芝俊，張永民. 河南省農(nóng)業(yè)蜜蜂授粉服務(wù)的經(jīng)濟價值評估[J]. 江蘇農(nóng)業(yè)科學(xué)，2014，42（1）：402-405.endprint

3結(jié)論與建議

3.1結(jié)論

本研究可以得出以下結(jié)論：（1）經(jīng)過二次指數(shù)平滑的灰

色GM（1，1）模型的估計所需樣本量少，數(shù)據(jù)模擬與預(yù)測的精度無論是單期還是整體都很高，預(yù)測的數(shù)據(jù)可信度很高，是一種很好的單變量預(yù)測方法。（2）本研究針對1998—2009年我國農(nóng)村老年人口系數(shù)建立的二次指數(shù)平滑GM（1，1）模型，無論是發(fā)展系數(shù)還是各檢驗指標均達到了很高的標準，因此該模型很適合我國農(nóng)村老年人口系數(shù)的預(yù)測。（3）未來10年間，我國農(nóng)村地區(qū)人口老齡化程度還會繼續(xù)加重，到2020年65歲及以上老年人口系數(shù)將會超過16%。

3.2政策建議

從預(yù)測結(jié)果可以看出，在現(xiàn)行政策下我國農(nóng)村65歲及以上老年人口系數(shù)到2020年將超過16%，如此大的比重將會給農(nóng)村養(yǎng)老以及整個農(nóng)村經(jīng)濟體系帶來災(zāi)難性的后果，因此建議相關(guān)部門：（1）在更大批的“白發(fā)浪潮”來臨之前應(yīng)充分做好農(nóng)村養(yǎng)老保險預(yù)備工作，不斷完善農(nóng)村養(yǎng)老體系，使大量農(nóng)村老年人口能老有所養(yǎng)；（2）對現(xiàn)行的人口政策應(yīng)作適當(dāng)?shù)母淖儯罐r(nóng)村人口再生產(chǎn)系統(tǒng)能合理循環(huán)，保持“兩頭小，中間大”的人口年齡結(jié)構(gòu)；（3）適當(dāng)調(diào)整農(nóng)村經(jīng)濟政策，大力發(fā)展農(nóng)村本地經(jīng)濟，把大量農(nóng)村青壯年勞動力留在農(nóng)村，這樣既有利于發(fā)展農(nóng)業(yè)，維持國家糧食供給，又可以為農(nóng)村養(yǎng)老事業(yè)提供一支力量。

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3結(jié)論與建議

3.1結(jié)論

本研究可以得出以下結(jié)論：（1）經(jīng)過二次指數(shù)平滑的灰

色GM（1，1）模型的估計所需樣本量少，數(shù)據(jù)模擬與預(yù)測的精度無論是單期還是整體都很高，預(yù)測的數(shù)據(jù)可信度很高，是一種很好的單變量預(yù)測方法。（2）本研究針對1998—2009年我國農(nóng)村老年人口系數(shù)建立的二次指數(shù)平滑GM（1，1）模型，無論是發(fā)展系數(shù)還是各檢驗指標均達到了很高的標準，因此該模型很適合我國農(nóng)村老年人口系數(shù)的預(yù)測。（3）未來10年間，我國農(nóng)村地區(qū)人口老齡化程度還會繼續(xù)加重，到2020年65歲及以上老年人口系數(shù)將會超過16%。

3.2政策建議

從預(yù)測結(jié)果可以看出，在現(xiàn)行政策下我國農(nóng)村65歲及以上老年人口系數(shù)到2020年將超過16%，如此大的比重將會給農(nóng)村養(yǎng)老以及整個農(nóng)村經(jīng)濟體系帶來災(zāi)難性的后果，因此建議相關(guān)部門：（1）在更大批的“白發(fā)浪潮”來臨之前應(yīng)充分做好農(nóng)村養(yǎng)老保險預(yù)備工作，不斷完善農(nóng)村養(yǎng)老體系，使大量農(nóng)村老年人口能老有所養(yǎng)；（2）對現(xiàn)行的人口政策應(yīng)作適當(dāng)?shù)母淖儯罐r(nóng)村人口再生產(chǎn)系統(tǒng)能合理循環(huán)，保持“兩頭小，中間大”的人口年齡結(jié)構(gòu)；（3）適當(dāng)調(diào)整農(nóng)村經(jīng)濟政策，大力發(fā)展農(nóng)村本地經(jīng)濟，把大量農(nóng)村青壯年勞動力留在農(nóng)村，這樣既有利于發(fā)展農(nóng)業(yè)，維持國家糧食供給，又可以為農(nóng)村養(yǎng)老事業(yè)提供一支力量。

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