數形結合法在高中數學中的應用

回春梅

數形結合的思想，就是將復雜或抽象的數量關系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定條件下相互補充、轉化的

思想.

一、函數與圖象的對應關系、方程與曲線的對應關系

在數學教學中，數形結合思想偏重于將某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，這就有助于把握數學問題的本質.另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解且解法簡潔.數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如求函數的值域、最值問題，解方程及解不等式，或是求復數和三角函數方面.運用數形結合思想，不僅容易直觀地發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，很大程度上簡化了解題過程，這在解選擇題、填空題時更顯其優越性.下面以幾個高考題為例來看一看數形結合法的簡單應用.

1.在向量題中的應用

例1.△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2■+■+■=0，■=■，則■·■等于（ ）

A.■ B.■ C.3 D.2■

因為■+■=2■，所以，點O為BC中點，以點O為圓心■=■=1，數形結合，△ABC為直角三角形且■·■cosC=■·2·cos30°=3.

2.在線性規劃問題中的應用

例2.已知x、y滿足x+3y-3≤0x≥0y≥0則z=■的取值范圍是 .z=■數形結合，考慮它的幾何意義，不難發現：z=■表示不等式組對應可行域內點與點（1，-2）；連線斜率k∈（-∞，-2]∪[1，+∞）.

3.在抽象函數問題中的應用

例3.若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x，則函數y=f（x）-log4x的零點的個數為

（ ）

A.4 B.5 C.6 D.8

解析：由題意知，函數y=f（x）是個周期為2的周期函數，且是個偶函數，在一個周期[-1，1）上.圖象是兩條斜率分別為1和-1的線段，且0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的圖象，函數 y=log4x也是個偶函數，先看他們在[0，+∞）上的交點個數，則它們總的交點個數是在[0，+∞）上的交點個數的2倍.在（0，+∞）上，y=log4x=log4x，圖象過（1，0）和（4，1），是單調增函數，與f（x）交于3個不同點，∴函數y=f（x）的圖象與函數y=log4x的圖象的交點個數是6個.

4.在不等式問題中的應用

選修4-5不等式選講.

已知函數f（x）=2x-a+x-1.

若f（x）≥5-x對∨x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.

2x-a≥5-x-x-1恒成立.

令g（x）=5-x-x-1=6-2x，x≥14，x≤1則函數圖象為

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∴■≥3，∴a≥6

5.在微積分問題中的應用

曲線y=■與直線y=x-1及x=4所圍成的封閉圖形的面積為

.

解析：作圖可知，令x=4，代入直線y=x-1得A（4，3），同理得C（4，■），由y=■=x-1，解得x=2.所以曲線y=■與直線y=x-1交于點B（2，1），那么∴SABC=S梯形ABCD-SBCEF，而■■dx表示為SBCEF，然后得到2ln2，然后∵S梯形ABEF=■（1+3）×2=4∴封閉圖形ABC的面積SABC=S梯形ABCD-SBCEF=4-2ln2.

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二、數形結合思想的掌握

數形結合思想應用的廣泛性及優點，我們已從前面的分析總結中得以知曉.因此，要很好地掌握數形結合的思想，應注意以下幾點：

（1）要善于觀察圖形，對圖形中蘊含的數量關系要有一定的認識；

（2）正確繪制圖形，盡量清晰地反映圖形中相應的數量關系；

（3）把握“數”與“形”的對應關系，以“形”感知“數”，以“數”認知“形”；

（4）靈活應用數、形的轉化，提高思維的靈活性與創造性.

數形結合的實質就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數性質解決幾何問題.因此，數形結合思想應用分為兩種情況：一是借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數論形”；二是借助于形的幾何直觀性來表示數之間的某些關系，即“以形促數”.

（作者單位 河北省衡水市棗強中學）

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