用表格法分析數學應用問題中的數量關系

王艷

摘 要：學生學習強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。在學習解決實際應用題內容時，學生普遍感覺有困難，如何讓學生不再懼怕應用題，關鍵是要學會有效分析條件。利用列表格的方法能夠清楚地分析各數量關系，對順利解決應用題是行之有效的。

關鍵詞：表格；數量關系；應用問題

新課程改革注重知識的發生、發展過程，培養學生用數學的觀點觀察社會、思考問題，增強應用數學的意識，重視聯系實際和數學應用意識。

一、新課標的幾個核心理念

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在前言中提出數學是研究數量關系和空間形式的科學，強調課程內容要貼近學生的實際，利于學生體驗與理解、思考與探索，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。在實行新課程改革以來，新編教材在加強應用數學的意識方面作了大量的改進，把培養學生應用數學的意識貫穿在教材編寫的始終，在各章的引入或閱讀材料中，提供有實際背景的問題，教材的正文一般都注意從實際引入概念，從實際提出問題，例題、習題中增加了實際應用的內容。這樣編排的目的除了讓學生掌握基礎知識外，更增強了應用數學的意識。

二、波利亞的解題觀

波利亞在《數學的發現》中認為“解題就是在原先是隔開的事物或想法之間去找聯系……這種聯系就像一座橋……像是一條由一系列結論組成的鏈”。在各種解題觀點中，波利亞的《怎樣解題》是具有代表性的著作。他就“怎樣解題”“教師應教學生做些什么”等問題，把“解題中典型有用的智力活動”按照解決問題時思維的自然過程分成四個階段：弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧，描繪出解題理論的一個總體輪廓，也組成了一個完整的解題教學系統。

三、學生解應用題的現狀分析

在多年的數學教學實踐中，我發現學生都有一類共同懼怕的問題，“談應用題色變”。我曾調查了全班70個學生，愿意做應用題的不超過10人，喜歡做的更是少到只有一二。原因有以下方面：（1）學生在初期的學習中，思維還處于剛剛萌發的階段，理解能力比較欠缺；（2）解題方法比較單一；（3）教材的例題通常是較簡單的問題，數量關系不復雜，學生容易懂，但在課外練習或能力測驗競賽中出現了一些關系復雜的應用題，學生在練習中挫折感不斷加重，就會產生厭學或懼怕的心理。而到了初中階段這些問題得到一定程度的緩解，學生思維有了相應的訓練和發展，用方程知識可以較容易地分析、解決問題。因此我覺得初中階段是幫助學生減緩這種解題恐懼感、提高分析解題能力、增強數學學習信心的好時機。

四、解決應用題的關鍵是正確分析問題中的各數量關系

1.設計表格，梳理數量關系

基本步驟是：

（1）審題，根據語境歸納本題屬于哪一基本類型，如，行程問題、工程問題、利潤問題、百分比問題、分配問題等；

（2）確定該問題的關鍵量及描述對象，或發生階段、方式；

（3）設計表格，根據關鍵量、描述對象或發生階段、方式的個數確定表格，如

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（4）填表，先填上已知關系量，再確定設未知量，然后表示其他相關量，并找出已知條件中表示等量關系的一個語句，列出方程，將表格填完整。例如，浙教版七年級下冊第七章第四節《分式方程的應用》的引例：

問題：某地電話公司調低了長途電話的話費標準，每分費用降低了25%，因此按原收費標準6元話費的通話時間，在新收費標準下可多通話5分時間，問前后兩種收費標準每分鐘收費各是多少？

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分析：本題中的關系式是單價×時間=總價。題中提到了兩個話費標準，一個是原來的，另一個是調整后的，可以設原來的收費標準是x元/分，還可以設原來的通話時間為y分鐘，如下表。

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從本題中看到一個實際問題中往往可能包含多個等量關系，可以選擇其中一個作為列方程的依據，設出合適的未知量，列出分析表。列表前要先考慮問題中涉及幾個關系量，關系量描述的對象有幾個，確定好表格，再“對號入座”填寫數量。一般填出分析表后，方程都較容易列出。

2.條件中的表格再利用

現在教材中的應用問題給出的條件形式豐富，有些條件直接是以表格形式給出的，只要充分利用，學生就能較好地理解問題中數量間的關系，快速地解決問題。如，新浙教版八年級上冊第五章《5.4一次函數的圖象（2）》中的例題：

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例3.要從甲、乙兩倉庫向A、B兩工地運送水泥。已知甲倉庫可運出水泥100噸，乙倉庫可運出80噸；A工地需70噸水泥，B工地需110噸水泥。兩倉庫到A、B兩工地的路程和每噸千米的運費如表：

（1）設甲倉庫運往A地水泥x噸，求總運費y關于x的函數解析式，并畫出圖象；

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（2）當甲、乙兩倉庫運往A、B工地多少水泥時，總運費最省？最省的總運費是多少？

分析：本例中數量多，關系復雜，部分條件沒有用表格形式給出，它們與表格中的量有什么樣的關系呢？課堂上我與學生一起把表格再利用后，他們一下子覺得問題變簡單了。

五、列表法的思考

在平時解應用題的過程中，學生的解題習慣比較容易停留在“想”上，但又想不清楚。通過列表格，可以把自己思考的過程明明白白地寫出來，看得見，“無形”變“有形”，抽象的關系變為具體的符號，有利于自己判斷審題是否正確。我們看到，這里的列表格即繪制統計表，這是“統計與概率”內容中的一部分。要列出表格，首先得收集數據，第二步分析數據的實際意義與相互聯系，確定表格的標目是什么，其中一個標目就是問題的對象，另一個標目即每個對象的具體項目，通過第三步繪表和填表，即數據整理，我們將整個問題的信息都集中到了表格中，再根據橫向或縱向的信息就可以列出相應的方程。其次，通過列表格，可以培養學生思考問題的條理性，并通過一種可操作的形式來表達自己的思維過程。弗里德曼在《怎樣學會解數學題》中認為：“如果我們著手解答一道習題，那么，第一件事就想知道：這是道什么題？它是什么形式？屬于哪種類型？換句話說，就是需要識別給定習題的類型。”在列表時，我們要確定每一道應用題的類型及問題中的各主要關系量。其實學生從小學開始到初中階段，應用題解了不少，但是還感到懼怕或束手無策，不開竅，是什么原因呢？弗里德曼在“致讀者”中分析指出：“這些學生沒有在應有的程度上分析所解的習題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個答案。”學生感覺到解應用題最難的就是題目中各個數量之間的聯系是什么？應該根據哪個量或哪句話列式？列表法就是給學生提供了一種通用的分析方法，從而給學生積累了學習經驗。

實踐下來，我認為在應用題的教學中運用表格的分析方法是分析數量關系解決問題的有效途徑，它讓已知的、未知的量都參與到了解決問題的核心——列關系式，這是用算式解法無法比擬的優勢。教師可以通過具體的教學讓學生從被動地用到自主地用，逐步掌握解決實際問題的方法。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題：數學的發現.北京：科學出版社，1982.

[2]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐.廣西教育出版社，2008.

（作者單位 杭州市經濟技術開發區學源街1288號下沙中學）

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