對2011版課標視域下“數學理解”的理解

黃海瀅

【摘 要】數學理解是數學課程和教學的重要目標之一，數學學習強調理解，理解是學好數學的關鍵，教師應有意識地關注學生的數學理解，積極探索能有效促進學生的數學理解的措施和策略，以理解促進數學的教與學。

【關鍵詞】2011版課標數學理解實踐策略《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）中用“了解、理解、掌握、運用”等行為動詞來表述結果目標，并在實施建議中明確指出：“數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識間的關聯……學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎……”這段話深刻地指出了“理解”在數學學習中的重要性，它是數學學習最為關鍵的一個環節。沒有理解就沒有深刻的思維；沒有理解就沒有數學素養的提升；沒有理解，數學知識就會被架空，甚至于所學的知識一出校門就毫無用處。因此，“數學理解”應成為當下數學教育改革的重中之重，學好數學就必須真正、有效地落實“數學理解”。

2011版課標是這樣定義“理解”的：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系。由此，我認為，數學理解，就是根據具體的情景，以數學材料為媒介，通過操作等意義建構過程形成抽象的數學表征，再對其進行整合、修正，以達到對數學知識全面、完整、正確的認識。這是一個動態的過程，因為要理解知識往往要經過兩次或多次的教學與訓練，甚至還會出現反復的情況；這也是一個復雜的過程，理解不是對數學知識做簡單的對與錯的判斷，在理解與不理解之間存在著“灰色地帶”；這還是一個發展的過程，前后知識相互關聯、相互影響，尤其是后面的知識能幫助學生理解前面的知識，起到深化、提升的作用。

一、“數學理解”的教學意義

1.數學理解是數學課程和教學的重要目標。

仔細閱讀2011版課標，我們不難發現，無論是課程基本理念、教學建議、評價建議還是教材編寫建議，都把促進學生的數學理解放在了重要的位置。可見，數學理解已成為2011版課標中數學課程與教學的重要目標。

2.數學理解是學生獲得數學對象意義的關鍵環節。

有人說：“數學學習中，理解是第一位的。”如果不能真正理解所學的數學對象，那學生對數學知識的運用及其數學能力的發展就無從談起。學生只有經過思考并正確地理解了所學知識以后，才有可能將其納入自身的認識結構中，并將其轉化為自己的精神財富。

3.數學理解有利于學生提出問題和解決問題能力的培養。

提出問題和解決問題是數學學習中的一種能力，而這種能力的發展需要以獲得數學理解為前提。學生只有在所學知識內容的“是什么”和“為什么”之間建立起恰當的數學理解，才能在接下來的學習過程中進一步產生豐富的聯想，提出新問題，產生新方法，進而加深對所學知識的理解。

4.數學理解有利于學生數學素養的形成。

數學理解對于完善學生個體大腦內部的知識結構網絡具有至關重要的作用，這種認知結構能促進和加快學生對新知識的理解和記憶，在舊知與新知之間建立起聯系。只有抓住了學習的關鍵——數學理解，建構起知識網絡，學生才會覺得數學學習不是枯燥無味的，才會產生良好的學習動機。

二、小學生的“數學理解”現狀剖析

1.“結果”成為學生學習的價值判定。

當下，很多教師對學生數學理解的認知僅限于口頭詢問“你理解了嗎”，或者是通過練習、測試來檢測學生的掌握情況，他們重視知識的記憶、方法的模仿、題型的歸類、問題解答的正確率和速度，卻忽視了本該讓學生懂得的“為什么這樣做”“還可以怎樣做”，致使學生的知識理解難以達到應有的水平，數學理解被人為架空。

2.“記憶”成為學生學習的主要方式。

格式塔心理學家苛勒的“頓悟說”指出：學習是個體利用本身的智慧與理解力對情境及情境與自身關系的頓悟，而不是動作的累積或盲目的嘗試。綜觀當下的學生，他們缺乏主動建構的精神，往往只按照教師“暗示”的思路和方法去解決問題，盲從于教師給出的結論，學習多依靠大量的練習來支撐，“記憶”是學生最主要的學習特點，數學理解能力基本喪失。

三、影響學生“數學理解”的障礙分析

1.活動材料的呈現影響學生的數學理解。

活動材料數量太多且缺乏層次性，脫離學生生活實際或者不能構筑起新舊知識間的聯系，這影響著學生對數學知識的主動建構。

2.教師教學方式的單一化影響學生的數學理解。

當下，受應試教育的影響，仍有許多教師將大規模的習題訓練作為主要的教學方式，沒有給學生留出足夠的時間去理解、反思所學的知識，這樣的教學勢必影響學生的數學理解。

3.學生“理解意向”的強弱影響他們數學理解。

如果學生在學習中能自發地產生理解的意向，就能積極主動地調動起他們認知結構中與此相關的觀念或相應的認知圖式。反之則易產生理解障礙。

4.學生原有認知水平的高低影響他們的數學理解。

波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本。”因此，學習新知識以前，學習者頭腦中一定要具備與之有關的預備知識并能隨時被調動起來，這樣有利于促進其數學理解。

四、消解“數學理解”障礙的課堂教學策略探析

（一）創生感性資源，促進學生內化數學理解

1.運用直觀、感性的教學。

恰當地運用直觀教學是促進學生的數學理解的有效手段。

如《認識等式》一課的教學片段：

師：你能在天平兩邊放上砝碼，使天平平衡嗎？

學生分小組操作并回答。

師：你能用式子表示天平兩邊物體質量的關系嗎？

從學生熟悉的天平平衡的直觀情境出發，讓學生體會到等號左邊的算式和右邊的數表示兩個相等的量，突破其原有認知中等號作為表示運算結果時出現的符號的認識，呈現出“等式”的直觀形象，逐漸加深學生對相等關系的感知。

2.開展豐富的數學活動。

操作是學生進行有效數學理解的途徑之一，能促使他們整理感性材料，找出有規律的現象，通過抽象、概括獲得對數學知識的理解。

教學《認識方程》一課時，教師通過“請你把天平左邊的砝碼拿走一只，你怎樣表示天平兩邊的關系？”與“再在天平左邊放上任意一個物體，天平可能會出現哪些情況？用含有字母的式子表示并進行分類”這樣兩個活動，引導學生觀察、比較、分類、概括，逐步分化出方程的概念。

教師把“純粹”的數學知識與學生熟悉的、具體的生活現象相聯系，借助操作活動把抽象的數學概念具體化、形象化，為學生的數學理解搭建“腳手架”，幫助學生掌握概念的內涵，理解概念的外延，建構起對概念本質特征的認識。

3.有效利用錯誤資源和反例。

正例有利于豐富概念，反例有利于明晰概念。僅僅會背定義的學生往往對概念的理解水平很低，而運用概念去判斷才能對概念的本質屬性與非本質屬性有透徹的認識。

學習了方程的概念后，教師請學生判斷出示的式子里哪些是等式，哪些是方程，并說明理由，引導學生找錯議錯，挖出“錯根”，排除“非方程”的干擾，加深了他們對方程的理解。

（二）把握知識聯系，促進學生深化數學理解

1.加強新舊知識間的聯系。

數學理解的特點之一“發展性”指出了前后數學知識之間的相互影響關系，“用字母表示數”與“方程”之間即存在這種關系。教學時，教師可以充分運用“用字母表示數”的舊知，在其與“方程”之間架起橋梁，幫助學生理解。

師：在天平左邊放上任意一個物體，天平會出現哪些情況？你能用式子表示嗎？

提示：這個物體的重量怎么表示？

指出：這些字母表示的數我們把它叫做未知數。

這個教學設計完成了由新化舊、由舊推新的轉換，實現了舊知對新知的順應，促進了學生的數學理解，引導他們建立起了新的數學認知結構。

2.引導學生編織知識網。

學習和掌握數學知識，不是對它們進行簡單的堆砌，而是在頭腦中構建起良好的認知結構，包括清晰的知識層次、知識間的相互關系及其內在聯系，以及其中蘊含的數學思想和方法。將片斷的知識納入相應的知識體系中，使其存儲方式不是點狀，而是由知識組塊形成的鏈狀、網狀、立體結構，易于學生激活與提取。

師：關于方程你了解了哪些知識？

師：這么多知識雜亂無序，你能對它們進行有序的整理嗎？

小組合作整理。

師展示學生整理的知識網絡圖：

這樣的整理過程可以確認學生對數學知識是否真正理解了，同時也是讓學生再次理解知識的過程。

（三）架設生活橋梁，促進學生外化數學理解

1.注重發揮生活經驗和生活原型的推動作用。

學生的數學學習不是獨立于社會環境的，其認識起點也不是純粹的數學，而是一些生活實例，它們是學生數學學習的基礎，是學生數學學習的興趣所在。

師：我們一起來玩個游戲吧!老師手里有一些牌，請你任抽一張，將牌上的數乘以2再加上1，告訴老師你的最后結果，老師馬上就能猜到你抽到的數是幾。誰愿意試試？

…………

師：想知道老師是怎么這么快就猜到了你們抽到的牌的嗎？

生：你一定是倒推的，將得數減去1，再除以2。

將生活中學生喜聞樂見的撲克牌引入知識教學，使游戲與方程的學習自然、無痕地聯系起來，枯燥的數學變得有趣、生動、易于理解。這些材料是學生生活經驗和數學理解的橋梁，是學生舊知與新知之間的紐帶。

2.引導學生在生活中應用數學。

數學源于生活，寓于生活，用于生活，數學學習只有和生活聯系起來才有活力，學生才能體會到數學學習的價值，才能產生數學學習的內部需要。

課件播放達能佳鈣餅干廣告視頻。

提問：你捕捉到關于餅干成分的信息了嗎？（1包佳鈣餅干的鈣含量＝3杯牛奶的鈣含量）

師：你能用方程表示出數量之間的關系嗎？估計一下，每片餅干含多少毫克鈣？

教師以生活問題引入數學問題，引導學生用方程表示數量間的關系，這樣將生活情境數學化，將數學生活化，使兩者達到最佳的融合，對培養學生應用數學解決實際問題起到了催化作用。

總之，數學理解是學生獲取數學知識的保證，是他們數學素養發展的前提，是其數學學習的第一追求。沒有數學理解就不能進行有效的思維，有了深刻的數學理解才可能真正掌握思想方法，才能有所發現和創造。教師要深刻領會數學理解在學生認識數學、理解數學以及感受數學中所具有的重要作用，利用多種方式、從教學的多個方面凸顯理解在數學教學中的核心地位，營造一個為理解而教、為理解而學的數學教學氛圍，使學生的數學能力和數學素養得到最大程度的發展。

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］徐彥輝.國外“數學理解”問題研究評述［J］.數學通報，2010（1）：15-18，37.

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文一等獎

（作者單位：江蘇省連云港市墟溝中心小學新城校區）