康普頓效應問題中“度”的把握

丁德生

（江蘇省興化中學，江蘇 興化 225700）

“度”是處理量變、質變規律問題的關鍵.很多的物理問題涉及多方面的因素哪一個才是主要的？條件又如何？光的本性就是這類一個典型問題.光的本性從17世紀初光的波動說與微粒說之爭開始，至20世紀初以光的波粒二象性告終，前后共300多年的時間.一方面光在空間傳播時是一份一份的，表現為粒子性；另一方面光子分布的概率呈現波的特點，所以光又具有波動性（概率波）.光子能量與動量的關系式也顯示波動和粒子二象性是一個有機的整體.光的波動性與粒子性的表現是不平衡的，這種表現的不平衡與光的波長（或頻率）有關，波長越長（或頻率越低）波動性越明顯，波長越短（或頻率越高）粒子性越顯著.然而這樣的描述仍太模糊，如電磁輻射與物質相互作用時，可能會發生若干種不同的效應，這些效應是不同能量的光子與物質中的分子、原子、電子、原子核相互作用的結果，且這些效應發生的概率與入射光子的能量有密切關系.這類問題的處理要求對具體發生的各種效應的波長（或頻率）有一個定量的判據，倘若不能把握這個“度”，定量的處理光的波動性與粒子性問題就無從談起.光的波動性與粒子性的問題很多，本文僅用光子與電子相互作用的康普頓效應這一現象來淺析幾個“度”的把握問題.

1922～1923年康普頓研究了X射線被較輕物質（石墨、石蠟等）散射后光的成分，發現散射譜線中除了有波長與原波長相同的成分外，還有波長較長的成份.這種散射現象稱為康普頓散射或康普頓效應.圖1為康普頓效應實驗裝置示意圖，康普頓將0.71?的X光投射到石墨上，然后在不同的角度測量被石墨分子散射的X光強度.當θ＝0時，只有等于入射頻率的單一頻率光.當θ≠0（如45°、90°、135°）時，發現存在兩種頻率的散射光.一種頻率與入射光相同，另一種則頻率比入射光低.后者隨角度增加偏離增大.而根據經典電磁理論，散射光波長應是不會改變的，為了解釋這一現象，康普頓大膽地用光子與靜止電子的彈性碰撞的模型（如圖2）來解釋散射光波長（或頻率）的改變，得出了波長（或頻率）移動的公式，理論上計算出X射線在石墨中散射后波長（或頻率）的改變量與實驗測量值完全吻合，成功地解釋了這一現象，為此人門就把這一散射現象稱為康普頓散射或康普頓效應.康普頓效應與光電效應一起成為光的量子論的重要實驗依據.

圖1

圖2

康普頓效應是高中物理選修3－4模塊中說明光具有粒子性的重要內容.各種考試（如高考）頻頻涉及，更有些高端的考試（如名牌大學自主招生等）要求學生能從定量、半定量的層面上處理康普頓效應問題，學生更是覺得所學內容的不足.為此本文準備從定量層面通俗、簡便地講解康普頓效應問題，以期學生在通俗但更加深入地把握其中“度”的過程中起到拋磚引玉的作用.

1 多長的光子波長才能發生明顯的康普頓效應呢？

康普頓用光子與靜止電子的彈性碰撞模型來解釋散射光波長的改變，過程推導如下.

如圖3光子的能量為hν0、動量為光子與靜止電子碰撞后，把一部分能量傳給電子，散射光子能量為hν、動量為而電子發生了反沖，電子反沖速度為u，考慮相對論效應電子動量為是電子的靜止質量.

圖3

碰撞過程動量的變化如圖3，由動量守恒定律可得

由能量守恒定律可得

由（1）、（2）式可得

（康普頓效應波長移動關系）

結論1：式（3）表明，散射光波長與散射角θ有關，而且散射光的波長總是大于入射光波長.

小小飛機達到一定高度后，便儼然如降落傘盤旋而下，依然落在場中一角，可以重新拾起，且重新派它向上高升?；虍敯l放時稍偏斜一點，它的歸宿處便改了地方，有時隨風揚起掛在柳梢上，有時落在各種小攤白色幕頂上，有時又湊巧停頓在或一路人草帽上。它是那么輕，什么人草帽上有了這小東西時，先是一點兒不明白，仍然揚長向在人叢中走去，于是一群頑皮小孩子，小狗般跟在身后嚷著笑著，直到這游人把事弄明白，抓了頭上小東西摔去，小孩子方才爭著搶奪，忘了這或一游人，不再理會。

結論3：λc＝2.42631×10－12m與入射光的波長無關，且波長的移動是10－12m量級，而要觀察到這種效應散射光波長有明顯的改變（相對入射波長）才有意義，由此（3）式中入射光的波長應與λc數量級相當，即當光子的能量hν～106eV（約1MeV），才能觀察到明顯康普頓效應的“頻移”.

實驗表明光子能量較低時 （hν＜0.5MeV），以光電效應為主；高能γ光子 （hν＞1.02MeV）可以與原子核發生作用，產生正負電子對；當入射光子具有中等能量（0.5MeV＜hν＜1.02MeV）時，產生康普頓效應，實驗結果與前面的理論推導的3個結論完全吻合.當然這也就是當初康普頓用與λc相當的X射線來做實驗能夠觀察到明顯“頻移”效應的原因.

例1.在康普頓效應中，求：（1）反沖電子獲得的最大動能Ekmax與入射光子能量hν0的關系式；（2）入射光子的能量在什么范圍內，康普頓效應才能顯著？

解析：（1）由上面結論可知

當θ＝180°時散射光子能量與原光子的能量差最大，此時反沖電子獲得的最大動能（Ekmax），由能量守恒定律得

顯然上述比值越大康普頓效應越顯著，所以hν0～m0c2＝0.51MeV，才 是 明 顯 康 普 頓 效 應 的 “度”.例 如，hν0＝m0c2＝0.51MeV時相當明顯了.

點評：本題從電子被碰撞獲得的最大動能Ekmax與hν0的關系出發得出明顯康普頓效應的條件，hν0～m0c2＝0.51MeV與實驗結果是一致的.過程推導簡潔，結論明確，說服力強.

2 要考慮相對論效應嗎？

上面的推導過程考慮了相對論效應，結果更一般、適用范圍更廣，但表達式也更復雜，難度也大.相對論效應對結果影響究竟有多大，能否略去相對論效應簡化處理呢？下面筆者用一道有趣的考題來說明.此例為2013年南京大學強化班自主招生的一道考題，不少學生在這道考題上出了問題，兩種解法結果不同，誰對呢？

例2.一初始能量為Ei的光子射向一靜止的質量為m0的電子（此過程可看成質點碰撞模型），碰后光子能量變為Ef，以與原入射方向成θ角射出，試導出Ei，Ef，θ，m0，光速c之間的關系式.

解法1.（考慮相對論效應）利用上面的結論得

由能量守恒定律得

由以上兩式得

反思1：兩種解法結果是不一樣的，表面來看很難確定哪一種解法正確.它們都運用了動量守恒定律和能量守恒定律，不同之處就在于是否考慮相對論效應的問題，解法1中應用的相對論效應，而解法2沒有考慮，兩種不同的表達式計算結果是否接近呢？其實要不要考慮相對論效應關鍵在于反沖的電子速度是否可與光速比擬，而這種能否比擬必須建立在定量計算的基礎之上.

以下用實際發生明顯康普頓效應的條件進行分析.

應用例1的結果光子電子碰撞后，反沖電子的最大動能為

若Ekmax＝0.5MeV，

從上面無論（1）、（2）得到的u都是跟光速可比擬的，必須要考慮相對論效應，所以解法2是錯誤的.

反思2：康普頓效應說明了光的粒子性，康普頓散射的理論和實驗完全一致，在更加廣闊的頻率范圍內更加充分地證明了光子理論的正確性；而在公式推導中引用了動量守恒定律和能量守恒定律，再次證明了微觀粒子相互作用過程也遵循這兩條基本定律.

總之，本文通過定量的推導、計算，給出處理相關問題“度”的定量數值，講解通俗、簡便，定位準確，印象深刻，收到了較好的效果，同時也充分展示了數字的力量.

1 盧德罄.大學物理學［M］.北京：高等教育出版社，2003：379－380.