《冪函數》的教學設計與反思

張歡歡

課題：《冪函數》（高中數學人教A版必修一教材）

教學目標：

知識與技能：了解冪函數的概念，會畫幾個常見冪函數的圖像，并能結合圖像，簡單了解其變化情況，概括函數性質.

過程與方法：通過作圖并觀察、總結冪函數的性質，培養學生的作圖能力，觀察、分析、歸納總結的能力，體會類比在研究問題中的作用，滲透數形結合的思想.

情感態度與價值觀：通過師生、生生彼此之間的討論、互動，培養學生合作、交流、探究的意識品質，同時讓學生在探索、解決問題過程中，獲得學習的成就感.

教學重點：從五個具體冪函數中認識冪函數的一些性質.

教學難點：將函數圖像的感性認識上升到理性認識，歸納概括出函數的性質.

教學過程：

一、實例觀察，問題引入

問題：

1.某人買了每千克1元的蘋果，則其需付的錢數p（元）和購買的蘋果的量（千克）w之間的有何關系？

2.正方形的面積S和它的邊長之間有何關系？

3.正方體的邊長V和它的邊長之間有何關系？

4.問題2中，邊長是S的函數嗎？

5.某人在t秒內騎車行進了1千米，那么他騎車行進的平均速度v為多少？

全體學生： 這六個關系式（都是函數關系式）分別是

p=w，S=a■，V=a■，a=S■，v=t■

師：這六個函數關系式從結構上看有什么共同的特征嗎？

這時，學生觀察可能有些困難，老師提示，可以用x表示自變量，用y表示函數值，上述函數式變成：y=x，y=x■，y=x■，y=x■，y=x■.

生：底數都是自變量，指數都是常數.

師補充：它們都是形如y=x■的函數，其中α為常數（投影冪函數的定義）.今天這節課，我們就來研究冪函數.

【設計意圖】引導學生從具體的實例中進行總結，從而自然引出冪函數的一般特征，幫助學生明晰概念，引入課題.

二、類比聯想，探究新知

1.冪函數的定義

一般地，我們把形如y=x■的函數叫做冪函數，其中x為自變量，α為常數.

【深化認知】判斷下列函數哪幾個是冪函數？

（1）y=3■；（2）y=x■；（3）y=2x■；（4）y=x■+1；（5）y=■

思考：冪函數與指數函數有什么聯系和區別？

生：冪函數的底數是自變量，指數是常數；指數函數的指數是自變量，底數是常數.

【設計意圖】加深對冪函數定義的理解，鞏固概念，冪函數與指數函數的概念學生容易弄混，理解新知識的同時，鞏固復習舊知識.

2.探究五個常見冪函數的圖像與性質

師引導生回答：

有了冪函數的概念后，我們接下來做什么？——研究冪函數的性質.

通過什么方式來研究？——畫函數的圖像.

為使作圖高效，我們可先做點什么——分析函數的定義域、奇偶性、單調性.

【動手實踐】請同學們畫出下列五個常見冪函數的圖像，并將你發現的結論填入表格.（1）y=x；（2）y=x■；（3）y=x■；（4）y=x■；（5）y=x■（投影顯示表格）

師：由于前三個函數初中已經學習過，因此請三個同學到黑板上畫出它們的圖像并寫出性質.全體同學小組間合作討論，在同一直角坐標系中畫出這五個函數的圖像并完成表格.

全體學生小組討論合作完成，同學之間對照修整.教師巡視學生完成情況，并發現學生所存在的問題并及時給予指導.

師：通過剛才同學們的動手實踐發現y=x，y=x■，y=x■這三個函數的圖像與性質基本上沒問題，都能完成好.而y=x■，y=x■這兩個函數大家就感覺陌生，下面我們就重點研究y=x■的函數圖像和性質，為了作圖的高效，我們先根據這個函數的解析式研究它的性質，然后根據性質并結合描點法作出相應的圖像.

師提問：哪位同學能說出y=x■的定義域、值域、奇偶性及單調性？

生1：先將y=x■寫成y=■的形式，然后易知定義域和值域都是[0，+∞），由此可以知道它的定義域不具有對稱性，所以它是非奇非偶函數.又因為y是隨x的增大而增大的，所以它是增函數.

師：回答得很好，掌聲鼓勵！但是生1只是依據定義簡單地判斷出它是一個增函數，那么你能不能證明f（x）=■在[0，+∞）上是增函數？

學生回顧單調性證明的一般步驟并相互討論，教師巡堂指導，生2上黑板板書證明過程.師生一起指出生2的證明過程中所出現的問題并訂正.

證明：任取x■，x■∈[0，+∞），且x■

f（x■）-f（x■）=■-■=■=■

因為0≤x■

即冪函數f（x）=■在[0，+∞）上的增函數.

教師強調教材中此例題的地位和作用：（1）復習用定義證明單調性的過程.（2） 冪函數的單調性很容易觀察，強調嚴格判斷的時候要用定義法進行證明.（3）冪函數的單調性很容易觀察，以至于在證明中直接用到了單調性，如直接判斷■-■<0，而此函數則是利用分子有理化這種方法技巧進行判斷的.

師：好了，我們研究清楚了y=x■的性質，就可以利用描點法及結合它的性質特點畫出y=x■的圖像了.同理y=x■也可以根據它的性質得到完整的圖像，同學們自己課后思考并證明其單調性.

學生繼續在同一直角坐標系中完成好這五個冪函數的圖像，教師投影展示學生作品，并在多媒體上動畫演示這五個常見冪函數的標準函數圖像.

【設計意圖】 培養學生的作圖能力投影展示學生作品，調動學生的學習積極性，增強學生學好數學的信心.

3.探究冪函數的基本性質

觀察上面表格及圖像的變化規律，學生分組討論，根據這五個冪函數的性質總結出冪函數的基本性質.

師引導：類比指數函數與對數函數性質的探究過程，主要探究冪函數的哪些性質？比如：定義域、值域、定點、奇偶性及單調性.

經過教師的提示，學生小組合作討論，得到的結論有：

1.冪函數在（0，+∞）上有定義，并且圖像都過定點（1，1）；

2.當α為奇數時，冪函數是奇函數；當α是偶數時，冪函數是偶函數；

3.在第一象限內，當α>0時，在（0，+∞）內是增函數；當α<0時，在（0，+∞）內減函數，且向右無限接近軸，向上無限接近軸.

師總結：冪函數不同于指數函數和對數函數擁有共同的定義域，所以冪函數的性質不可能全部總結清楚，但我們在探索性質的過程中知道了研究方法：指數是分數則化為根式，指數為負數則化為分式，這樣對于定義域、值域、單調性、奇偶性都可以很容易看出來，不過要嚴格判斷單調性和奇偶性還要用定義證明.

【設計意圖】滲透數形結合的數學思想，激發學生的思維，培養學生的識圖能力及總結歸納的能力.并在新知探究的過程中自然形成一般方法的呈現，使學生易于領悟和接受.

三、新知應用

例1：已知冪函數y=f（x）的圖像過點（2，■），試求出這個函數的解析式.

分析：已知函數類型求函數解析式，利用待定系數法.

解：設所求的冪函數為y=x■，

∵■=2■，即2■=2■，∴α=■，

∴所求的冪函數為y=x■.

例2：比較下列各組數中兩個值的大小.

（1）3■和0.8■ （2）（■）■和（■）■

師：在指數函數性質的應用那一節中，我們已經分析過這種比較同指數不同底數的兩個冪的大小，請同學們回顧一下當時所講的方法.那么根據我們今天所學的內容還有沒有其他方法比較這兩個值的大小呢？

學生小組討論，教師引導分析，之前是利用指數函數的圖像比較這兩組值的大小的，今天我們可以利用冪函數的單調性比較大小.

解：（1） y=x■在（0，+∞）上是減函數，∵ 3>0.8，∴ 3■<0.8■.

（2） y= x■在（0，+∞）上是增函數，∵■<■，∴（■）■<（■）■.

師小結：比較同指數不同底數的兩個冪的大小，還可以利用冪函數的單調性來判斷.

跟蹤練習：比較下列各組數的大小.

（1）-8■和-（■）■

（2）（-2）■和（-2.5）■

（3）1.1■和1.2■

（4）4.1■，3.8■和（-1.9）■

拓展練習：若（m+4）■<（3-2m）■，求m的取值范圍.

【設計意圖】增強學生對新知的應用能力，從而達到能力的轉型和對知識理解的深化.

四、課堂小結，歸納提升

先請學生說說本節課學到了什么知識和思想，然后師生共同總結得到共識：要想系統認識冪函數的性質，必須從它的圖像著手，重點抓住冪函數在第一象限內的圖像特征，然后根據奇偶性作出其他象限內的圖像，因而對函數的定義域、單調性和奇偶性的分析很重要.

五、教學反思

《冪函數》教學反思

本節課是數學必修1第二章《函數》第三節冪函數的第1課時.這節課是在學完指數函數和對數函數后高中階段接觸的第三種初等函數冪函數，因此在教學過程中，類比研究一般函數、指數函數、對數函數的過程和方法，研究冪函數的圖像和性質.通過本節課的學習可以進一步深化學生對函數概念的理解與認識，使學生得到較系統的函數知識和研究函數的方法，并且為以后學習三角函數、導數相關的內容做好準備.

本班一些學生數學基礎較差，理解能力、運算能力、思維能力等參差不齊；一些學生學數學的自信心不強，學習積極性不高.針對這種情況，在教學安排上，我注意面向全體，發揮學生的主體性，引導學生積極地觀察問題，分析問題，激發學生的求知欲和學習積極性，指導學生積極思維、主動獲取知識，養成良好的學習方法.回顧這節課，心中有很多感想，也有以下思考.

1.反思教學中的設計

（1）這節課是在學生系統地學習了指數函數、對數函數之后研究的又一類基本初等函數.學生已經學習了指數函數和對數函數的圖像和性質，冪函數概念的引入以及圖像和性質的研究較易接受.因此這節課從引入冪函數的概念，然后逐個畫出五個具體冪函數的圖像及分析、探究各自的性質，再歸納出冪函數的基本性質，每一個環節都是以教師引導，以學生的自主探究為主完成是符合學情的.

（2）設計“探究y=x，y=x■，y=x■，y=x■，y=x■五個函數的圖像和性質”及“根據五個函數的性質歸納冪函數的基本性質”這兩個探究問題，學生通過觀察圖像、自主探究、主動思考達到對知識的發現和接受，改變過去機械接受和死記結論的狀況，符合新課改的理念，同時也完成了這節課的主要教學任務.

（3）在探究完冪函數的概念和性質之后都分別設置了一組練習，通過練習能及時反饋學生對所探求到的知識的掌握程度，便于及時調整課堂教學行為.從課后作業情況看學生對這些知識的掌握是比較好的.

（4）這節課的學習對函數研究方法和步驟的總結及從特殊到一般進行類比、數形結合思想的運用將對后續學習新的函數起到了重要的示范作用.

設計中不足的地方：在“根據五個函數的圖像來歸納冪函數的共同性質”的設計中，我的最初目的是想讓學生觀察五個函數在同一直角坐標系中的圖像，然后歸納出冪函數在第一象限的共同性質即定點、奇偶性和單調性.個人覺得有了圖，從圖中就可以讀出性質，然后讓學生進行討論，總結歸納其性質.沒有考慮到學生基礎差，對已學過的知識沒有一個連貫性，課前也沒有預習，所以導致大部分學生不知道函數的性質具體有哪些，不知道這個問題從何處出發，需要老師的引導才能作答；而一小部分思維活躍的學生所回答的性質超出了我所設計的范圍之內（如有的學生回答的是第一象限的圖像特征及冪指數的大小與圖像的關系等之類的問題），從而浪費了一些時間，課堂顯得有些混亂.因此針對我們這種基礎的學生，在設計這個探究時應該像探究前面的五個具體冪函數的性質一樣通過表格或者填空的形式，把函數所要探究的性質列舉出來，然后讓學生對號入座填空就可以了，例如：

問題：通過圖像及表格，你能總結出冪函數都有哪些共同性質并說明理由？

（1）冪函數在？搖？搖 ？搖上有意義，并且圖像都過定點？搖 ？搖？搖？搖；

（2）當？搖？搖 ？搖？搖時，冪函數是奇函數；當？搖 ？搖？搖？搖時，冪函數是偶函數；

（3）在第一象限內，當？搖？搖 ？搖？搖時是增函數；當？搖 ？搖？搖？搖時是減函數，且向右無限接近？搖？搖 ？搖？搖軸，向上無限接近？搖 ？搖？搖？搖軸.

這樣可以節省不少時間，激活學生的思維.因此今后在備課中要多從學生角度出發，既備知識又備學生.

2.反思教學過程

在整個教學過程中，始終體現以學生為本的教育理念.在學生已有的認知基礎上進行設問和引導關注學生的認知過程，重視探究問題習慣的培養和養成.因此對整個教學過程我做了以下反思。

（1）首先我由生活中的五個實例引入，概念過渡自然，學生易于接受.然后引導學生從實例出發類比指數函數的定義自己觀察、歸納、總結概括出冪函數的定義.在概念理解上，用步步設問、課堂討論、練習加深理解.由于之前對指數函數和對數函數的識別已經理解得比較透徹，因此根據冪函數的定義識別冪函數就顯得比較容易，但還是有部分學生容易把冪函數和指數函數混為一談，因此特別強調了冪函數和指數函數的區別，并從另外一個角度（例1）讓學生認識冪函數.在這個環節上，學生都處理得比較好，達到了預期目的.

（2）冪函數中重點研究了五個具體函數，通過研究它們了解冪函數的性質.先逐個畫出五個函數的圖像，從定義域、值域、奇偶性、單調性等方面進行分析、探究得到各自的性質.其中，學生在初中已學習了y=x，y=x■，y=x■這三個簡單的冪函數，對它們的圖像和性質已經有了一定的感性認識，很容易根據圖像歸納出性質，所以不需要做過多的解釋和重復.由于學生的基礎參差不齊，為了讓所有的學生都能掌握好這些基本的知識點，我強調得太多，這里就顯得有些啰唆，浪費時間，導致后面教學過程稍顯倉促，學生自主探究的時間不夠，影響了教學任務的完成.而對于y=x■和y=x■這兩個冪函數，我換了一種方式探究它們的性質，直接根據理論知識得到定義域、值域，利用定義判斷奇偶性及證明其單調性，然后根據函數所具有的性質再結合描點法畫出函數的圖像.這種處理方式打破了學生直接用描點法作圖的思維方式，通過以性定圖，這樣作圖顯得更高效，也為后續的利用導數探索高次函數的圖像做了準備.在利用五部曲證明“函數y=■在（0，+∞）內是增函數”這個環節中，通過學生的板演和巡堂，暴露出了學生常見直接判斷■-■<0的錯誤，然后師生共同分析出錯誤的原因，這樣學生就能從反面吸取經驗教訓，迅速從錯誤中走出來，從而增強辨別錯誤的能力，同時也提高分析問題和解決問題的能力.

（3）在“根據五個具體冪函數的性質歸納出冪函數的共同性質”的教學過程中，主要目的是讓學生小組合作、討論交流，觀察在同一直角坐標系中五個函數的圖像，找出它們的共同特征，然后從定點、奇偶性、單調性等方面探究冪函數的性質.這既是本節課的重點又是難點，因此在這個內容的處理上，也存在一些不足之處.

①由于在之前探究五個具體冪函數的圖像和性質時花費的時間比較多，因此這個難點的探究時間比較緊，原本設計的小組討論、合作交流就沒辦法充分開展，最后主要是我做引導，學生跟著我的思路探究發現.因此學生的主動性體現得不夠，大部分學生還是有疑惑，需要下節課的鞏固和課后練習的補充.

②要探究函數的性質必須數形結合.由于我教學經驗尚淺不會幾何畫板的使用，學校也沒有圖形計算器，因此沒法通過改變冪指數的大小觀察多個圖形的動態變化，只能觀察PPT上那五個冪函數圖像的靜態變化.這樣一方面學生很難從感性認識上升到理性認識，另一方面很難訓練學生的發散思維，培養學生的學習興趣和探索精神，更重要的是不易充分調動學生的積極性，課堂氛圍略顯沉悶.沒有將《新課標》倡導的自主探索，發揮學生的主動性，讓學生體驗數學發現、創造的歷程真正落實好.因此，學習幾何畫板刻不容緩.

③學生的基礎比較差，函數的內容對學生來講一直都是難點，而一節課只有40分鐘，由于時間關系，在討論完冪函數性質之后預期準備的一組練習就沒辦法完成，這給本節課帶來一絲遺憾.因此為了能把更多的時間留給學生討論，盡可能地考慮到學生的接受能力，內容應該安排兩課時教學.

④在課堂教學過程中，應該盡量放手讓學生自己解決問題.本節課我自己講得還是偏多，學生的主體地位體現得還不夠.課堂評價更多關注了對個人的評價，而忽略了對小組合作的評價，并且評價方式也不夠多樣.

3.反思學生的學習過程

學生在課堂上不夠興奮，課堂氣氛顯得沉悶，學生的參與度不高，這可能跟我的引導及調動課堂氣氛的能力有關.

以上不足有待我在今后的教學中不斷摸索彌補.總之，課堂的真實自然是教學追求的目標之一，無論是公開課還是講課比賽都不必太過于追求形式，學生能積極參與到課堂，探索知識的發生、形成過程，把課本知識真正變成為自己的知識，這堂課的目標就實現了.