工程碩士數值分析課程教學方法研究

薛文瓏

摘 要： 本文針對工程碩士數值分析教學過程存在的問題，結合數值分析的特點，對數值分析課程的教學內容設計、教學方法進行研究，并提出教學改革建議。

關鍵詞： 工程碩士 數值分析課程 教學方法

數值分析課程是研究建立應用計算機解決各類數學問題的數值計算方法與理論，是一門研究內容豐富、研究方法深刻、實用性較強、具有自身理論體系的課程。它既有純數學的抽象性和嚴謹性，又有廣泛的應用價值。數值分析研究過程是在解決工程實際問題時，應用有關科學知識和數學理論建立數學模型，提出求解的數值計算方法直到編程上機得到實現。所以對于工程碩士掌握數值分析這門課程中的基本理論及其應用具有重要意義。工程碩士生大部分是企業的領導或技術骨干，業務繁忙，脫產學習的時間無法保證，若其數學基礎不夠扎實，學習起來比較吃力，容易導致數值分析課程教學質量偏差。如何講授好這門課程，提高工程碩士學生解決實際工程問題的能力是值得思考的重要課題。筆者針對工程碩士數值分析課程的教學方法提出建議。

1.教學過程內容的設計

數值分析是一門內容豐富、與計算機密切結合的基礎課程，內容大體包括三個部分：數值代數、數值逼近和微分方程解法。內容有大量的冗長的計算公式和理論，這就要求任課教師在教學過程中花費大量的教學時間進行推導和證明。教學過程存在的問題是：一是工程碩士在這門課程的學時較少，一般為36學時～48學時，許多學生多年缺乏數學培訓，導致理解能力較差，形成教學內容較多、學時較少的多重矛盾局面，容易被動學習，不利于教學質量的提高，不利于學生掌握本課程的核心。二是工程碩士生來自不同行業，有著不同的專業和工程背景、不同的實踐經驗和解決問題方法，必然對教學內容、教學方式提出更高要求。筆者結合多年的教學經驗，認為必須合理取舍教學內容，要切實結合工程碩士學生的職業背景和學生的需求，突出其實用性和綜合性，使學生掌握本課程的關鍵問題。首先，必須掌握的內容：（1）誤差分析理論；（2）插值法；（3）解線性方程組的直接法；（4）非線性方程組的迭代法；（5）曲線擬合；（6）常微分方程初值問題和函數逼近。其次，時間允許的條件下可以介紹矩陣特征值計算的各種方法、數值積分和數值微分的思想方法。最后，設置實用性較強的實驗課程，有針對性地布置實驗的內容和方式。

2.教學過程方法的設計

2.1情景教學法

情境教學法是指在教學過程中，教師有目的地引入或創設具有一定情緒色彩的、以形象為主體的生動具體的場景，以引起學生一定的態度體驗，從而幫助學生理解教材，并使學生的心理機能得到發展的教學方法。在教學過程中，采用情境教學式，結合工程碩士工作的行業背景，使學生對所要解決的問題更重視。下面通過兩個實例說明情境教學法。例1：在講解非線性方程求根，情景問題：在相距200米的兩個建筑物（高度一樣）中間懸掛一根電纜，電纜的最低點距離地面2m，計算所需電纜的長度。把所要講解的內容和工程碩士碰到的實際問題結合，激發學生的學習興趣，增強教學效果。例2：講解曲線擬合章節，情境問題：某公司有一批化肥需要出售，如果按照往年統計資料，零售價增高，銷量減少，如果做廣告，可使銷量增加，具體增量以銷售量提高因子有關，另外廣告費用由于銷售量提高因子相關，問如何確定這批化肥的出售價格和廣告費可使公司利潤最大？情境教學不存在絕對正確的答案，目的在于啟發學生獨立自主地思考、探索，注重培養學生獨立思考的能力，啟發學生建立一套分析、解決問題的思維方式，突出實踐性，實現從理論到實踐的轉化。

2.2比較教學法

比較教學法是教學過程中，教師在多種求解方法中向學生呈現多種解法和算法的差異，分析其優缺點，，求同尋異，促進和加深學生對知識的理解。在工程碩士數值分析課程教學中的主要方式有：類比和對比，下面以插值法、特征值求解和非線性方程求解的過程加以比較。

插值法是一種古老而實用的方法。Lagrange插值法比較直觀明確，給兩個節點，構造其基函數，但增加一個節點，基函數的表達式就要重新運算；Nexton插值在計算插值多項式及求函數近似值較方便，而且能節省計算量。在實際應用中很少使用高次插值，更多使用分段低次插值，特別是三次樣條插值，因為它不僅具有良好的收斂性和穩定性，而且具有二階光滑度，因此在理論和應用上均有重要的意義。

冪法是求解矩陣最大模特征值和特征向量有效簡單方法，適用于大型稀疏矩陣，Jacobi方法是一種經典方法，QR方法是至今為止最有效的求矩陣特征值的方法。用對比方法分析幾種求解方法的優缺點，冪法簡單方便求解，但它的收斂速度是線性。Jacobi方法在大多數情況下與對稱矩陣的QR方法相比，沒有優勢，但當矩陣接近對角形勢，比較有效。

非線性方程根的求解方法中，Newton迭代法收斂速度很快，在單根的情況下，Newton迭代法是二階收斂的，但是其對初值要求較高。弦截法和拋物線法是多點迭代法，它們屬于插值方法，在求解復根時具有較大的優勢。利用比較教學法讓學生碰到實際問題，較好地理解實際問題的算法和應用。

2.3重視算法設計教學法

算法設計是在數值分析教學過程的靈魂，加強算法設計的技術教學，可以提高學生學習的興趣，也可以提高學生解決程序設計困難問題的能力。歸納起來有三種技術，即縮減技術，校正技術和松弛技術，現以實例講解幾種算法的設計。

2.3.1縮減技術是運算結果遞歸。例3求和S=a■+a■+…+a■，算法設計：

用b■表示數列前ks項部分和，則有b■=a■b■=b■+a■k=1，2，…n，上述的算法設計思想是每一步相加，規模遞減，最終求得其和。

2.3.2校正技術也是迭代法。例4求■（a>0），算法設計：

把問題轉為解方程x■-a=0，給定預估值x■借助簡單方法確定校正量Δx（Δx較小），使校正值x■=x■+Δx較為準確地滿足方程x■-a=0，使（x■+Δx）■≈a成立，舍去（Δx）■，令x■■+2x■Δx=a，求得x■=■（■+x■），反復使用校正技術可得迭代公式x■=■（x■+■），k=0，1，2…其思想是刪繁就簡，逐步求精。逼近程度也高，獲得校正量越精確。

2.3.3松弛技術就是加權平均法，例5設t■的精確值為t■=■，校正值為t■=■，求其近似值。算法設計：由校正值可得a■t■-a■t■=b，兩邊除以a■-a■得（1-ω）t■+ωt■=■（其中ω=■），可見精確值等于預估值和校正值得加權平均，即通過適當選取權系數調整校正量，加工得到更高精度的改進值■，其思想是化粗為精，步步逼近。

除了上述幾個建議以外，還可以采用合適的教材、加強實驗教學的改革、分層次教學等教學方法。總之，工程碩士數值分析的教學是既復雜又實用，既有原則又靈活的。

3.結語

數值分析是一門實用性和應用性很強的課程，注重解決實際問題的思想和方法，它的思想包括“以點帶面”、“等價代換”、“逐次逼近”等，它的宗旨是把具體問題建立數學模型，使用計算機通過數值計算或數值模擬解決工程實際問題和科學研究中的關鍵問題。學習數值分析是一項長久持續的過程，既重視理論又重視應用。經過幾年工程碩士數值分析課程教學改革和實踐，教學效果越來越顯著，但工程碩士“進校不離崗”的特殊性，給本課程培養質量帶來了一定的影響。因此，在工程碩士數值分析教學過程中，一方面要培養學生具有堅實的基礎理論，另一方面要培養學生重視分析、解決工程實際問題的能力，真正達到數值分析課程培養目標的要求。

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