數學在地球物理學中的應用

程豐波 馬征 范開 周劉軍 李闖建

摘 要： 地球物理學是一門通過用數學知識解釋地下異常體在各種場中的響應，從而為資源勘探、工程施工等提供指導的綜合性學科。本文就礦井瞬變電磁法時深轉換公式推導及直流電法勘探中均勻電流場球體電位推導闡述數學在地球物理學中的重要性。

關鍵詞： 數學 地球物理學 拉氏變換 貝塞爾方程

引言

科學技術發展到今天，越來越顯示科學技術化、技術科學化的趨勢。地球物理學的發展離不開其理論研究的進步，而其理論研究則依托了數學、物理學、電子科學和計算機科學的最新成就。但是應用地球物理學教學學時較以前有大幅壓縮和裁剪，這使得很多地球物理學本科畢業生缺乏扎實的與專業相關的數學知識從而使其對專業理論理解不深厚[1]，[2]。

在進行地球物理勘探時，需要對勘探過程得到的信息進行處理，傅立葉級數與變換、拉普拉斯變換、微分方程求解等都是處理地球物理勘探信息的主要數學方法。此外，地球物理中的分支電磁法勘探中的諸多理論知識都是依托大量數學知識發展起來的[3]。

1.常用數學知識介紹

（1）拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是處理工程技術信息數據的一種常見數學方法。一個實變量函數在實數域中進行一些運算往往并不容易，但若將實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，這樣在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化[4]，[5]，[6]，[7]。

拉普拉斯變換有關概念在此不做詳解，在用拉普拉斯變換解微分方程時常常用到它的以下性質：

微分性質：L[f■（t）]=p■L[f（t）]-p■f（0）-p■f′（0）-…-f■（0）

積分性質：L[？蘩■■f（π）dτ]=■L[f（t）]

卷積性質：L[f■（t）*f■（t）]=L[f■（t）]·L[f■（t）]

通過解下面的常微分方程的初值問題了解拉普拉斯變換的應用：

T■″（t）+（■）■T■（t）=f■tT■（0）=0T■′（0）=0

對方程兩邊取拉普拉斯變換并設：■（p）=L[T■（t）]；F（p）=L[f■（t）]

則由拉普拉斯變換的微分性質可得出：

p■■（p）-pT■（O）-T■′（O）+（■）■■（p）=F（p）

代入初始條件得到：

p■■（p）+（■）■■（p）=F（p）

■（p）=F（p）×■

又由公式L[sinat]=■得到■=■L[sin■t]

故由卷積公式有：T■（t）=L■[■（p）]=：L■[F（p）]·■

=■L■[L[f■（t）]·L[sin■t]]=■f■（t）*sin■t=■？蘩■■f■（τ）sin■（t-τ）dτ

（2）貝塞爾函數及勒讓德方程簡介

貝塞爾方程是在柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆赫茲方程時得到的（詳細過程請參照參考文獻[3]），因此貝塞爾函數在波動問題及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位[5]，[8]。

貝塞爾方程的形式為：x■y″+xy′+（x■-υ■）y=0，0

式中υ為非負實數，稱為貝0塞爾方程的階。取x■=0為展開中心，就可以用廣義冪級數方法求出其一個特解即貝塞爾函數：J■（x）=∑■■■（■）■

貝塞爾方程的通解為一個與J■（x）線性無關的獨立解：y■=AJ■（x）+BJ■（x），通過朗斯基行列式可以求得J■=■

勒讓德多項式是數學物理問題中最重要的函數集合之一，它在求解三維空間中的球對稱問題，譬如計算點電荷在空間中激發的電勢時通常要用到勒讓德多項式作級數展開。

勒讓德方程：（1-x■）y″-2xy′+1（1+1）y=0，x=0為方程常點，故可設在x=0的領域內，其解為y=∑■■C■x■，將此解代入方程可推導出C■的表達式，從而可求出方程的解。C■即為n階勒讓德多項式，C■=■為勒讓德多項式的表達式[5]。

2.礦井瞬變電磁法時深轉換

礦井瞬變電磁法勘探接受回線測量的是巷道附近導電巖層在一次電磁場激勵下產生的純二次感應場隨時間變化的規律，反映巷道附近導電介質電性分布特征，可換算為勘探體積范圍導電介質的視電阻率隨時間變化曲線，依據該曲線只能解釋出不同時間巷道周圍導電介質的電性分布特征，與電性介質的具體分布范圍和空間位置（深度）很難直接對比，無法滿足生產實際要求。因此，必須將視電阻率隨時間變化的曲線轉換為隨深度變化的曲線（簡稱時深轉換），綜合礦井地質和水文地質等資料解釋，從而可以確定巷道附近導電介質的分布范圍和具體空間位置（深度），對解決實際地質問題更具指導意義[9]。

礦井瞬變電磁法時深轉換步驟如下：

電磁場傳播深度D（t）為時間的函數：D（t）=？蘩■■v（p，t）dt（1）

■=■？蘩■■L■■[■]J■（λ）J■（Kλ）λ■dλ（2）

Q=■？蘩■■[■-λe■erfc（λτ■+■）]J■（λ）λ■dλ（3）

■=■γ■？蘩■■（2λz■-λz-1）e■J■（λ）λ■dλ（4）

上式中λ=μa■/4ρt，A是發射回線有效面積，（3）式中三項積分前兩項可以求出，第三項無法直接求取，故對第三項積分采用Taylor級數展開并積分得：

？蘩■■e■J■（λ）λ■dλ=4γ■e■（5）

并且

？蘩■■λ■e■J■（λ）dλ=■∑■■■？蘩■■λ■e■dλ=8γ■∑■■■（-γ）■（6）

將式（5）和（6）代入式（4）中得：

■=■γ■[2γZ■-1-2γ■ZC■（γ）]（7）

式中C■（γ）=e■∑■■■（-γ）■，當磁場對時間變化率極大值時，電磁場達最大深度Z為：Z=■=■（8）

實際計算中，由于C■（γ）式中Γ函數存在，求和式出現的截斷誤差可能影響C■（γ）數值解。為了減小這種影響，對C■（γ）式右邊進行Kummer變換，得：

C■（γ）=■[1-■-∑■■■（■）■]（9）

已知電磁場垂直分量在某一時間內傳播的垂直距離公式（8）中的D，則電磁波在垂直方向上的擴散速度為：

V=■=■{C■+（C■■+2）■+[1+■]γC■}（10）

式（10）是巷道頂板和底板為均勻導電全空間電磁波在發射回線中心垂直方向的擴散速度，如果已知不同時刻對應的電阻率值，則可換算出不同深度對應的電阻率值。

3.均勻電流場中球體的電位推導

設在均勻各項同性無線導電巖石中，有一半徑為r■的球形礦體，圍巖電阻率為ρ■，球體電阻率為ρ■，均勻電流場的電流密度為j■

因為球內球外電位均滿足拉普拉斯方程：■（r■■）+■·■（sinθ■）=0（11）

解上式偏微分方程用分離變量法可設U■（r，θ）=f（r）？覫（θ）（12）

將（12）式代入（11）式中兩邊整理得：

■·■[r■■]=-■·■[sinθ■]（13）

（13）式為左右兩邊兩個互不相關的函數相等，故只有兩個函數均等于同一個常數C才能使等式成立。即有：

■·■[r■■]=C（14）

■·■[sinθ■]=-C（15）

（14）式可化簡為歐拉方程的求解得C=n（n+1），這里不作細述。將C=n（n+1）代入（15）式中得：

■·■[sinθ■]+n（n+1）？覫（θ）=0（16）

可見（16）式為n等于任意整數時的勒讓德方程，其解為？覫（θ）=p■cosθ

然后根據此模型的邊界條件聯立方程組即可得出球內球外電位表達式[10]。

結語

從上面兩個例子可以看出要想深入了解研究地球物理學中的原理必須有扎實的數學基礎。因此筆者建議高等院校在為地球物理學本科生（無論是理學還是工學）開設課程時注重數學知識的應用，只有深入理解掌握地球物理學原理和數據處理的方法，才能更好地將其運用于實踐中。

參考文獻：

[1]宋娟，印興耀.地球物理學專業雙模式人才培養方式的研究與探索[J].中國地質教育，2013，3：17-19.

[2]孫建國，杜曉娟.目前應用地球物理學本科教育所面臨的挑戰與對策[J].中國地球物理學會年刊，2001.

[3]李恩宇.地球物理勘探中的數學方法[D].吉林大學，2009：1-2.

[4]殷清亮，趙連成.拉普拉斯變換的研究[J].內蒙古大學學報，2001，16（1）.

[5]姚端正，梁家寶.數學物理方法[M].武漢大學出版社，2011.

[6]Likexue，Pengjigen.Laplace transform and fractional differential equations[J].Applied Mathematics Letters，2011，No 24：2019-2023.

[7]Shy-DerLin，Chia-HungLu. Laplace transform for solving some families of fractional differential equations and its applications[J]. Advances in Differential equations， 2013.

[8]黃銀生，倪致祥.貝塞爾方程通解的一個簡明推求[J].阜陽師范學院學報，2009，26（2）.

[9]于景邨.礦井瞬變電磁法勘探[M].徐州：中國礦業大學出版社，2007.

[10]李金銘.地電場與電法勘探[M].地質出版社，2007.

煤炭資源與安全開采國家重點實驗室資助項目