等效法在物理解題中的應(yīng)用

許曉衛(wèi)

物理狀態(tài)的確定、物理過程的發(fā)展，往往是由多個(gè)因素共同決定的。若其中某些因素的作用和另外一些因素的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以相互代替，而對物理狀態(tài)的確定、過程的發(fā)展并不影響，這種以等效為前提使某些因素相互替代的方法就是等效法。在面對一個(gè)復(fù)雜的問題，或者不熟悉的情景時(shí)，提出一個(gè)簡單的方案或設(shè)想，使它們的效果完全相同，從而將問題化難為易，化生為熟，順利解決。

1.運(yùn)動(dòng)等效

直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律不能直接應(yīng)用于曲線運(yùn)動(dòng)，使學(xué)生往往感到曲線運(yùn)動(dòng)難以把握。運(yùn)用等效的觀點(diǎn)，將曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)簡單的直線運(yùn)動(dòng)，化曲為直，降低解題難度。

例題：跳臺(tái)滑雪是勇敢者的運(yùn)動(dòng)，它是利用山勢特別建造的跳臺(tái)所進(jìn)行的。運(yùn)動(dòng)員著專用滑雪板，不帶雪扙在助滑路上獲得高速后水平起跳，在空中飛行一段距離后著陸，這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)極為壯觀。如圖所示，設(shè)一位運(yùn)動(dòng)員由a點(diǎn)水平躍起，到b點(diǎn)著陸時(shí)，測得a、b間距離L=40m，山坡傾角θ=30°。試計(jì)算運(yùn)動(dòng)員起跳的速度和他在空中飛行的時(shí)間。（不計(jì)空氣阻力，g取10m/s）

解析：運(yùn)動(dòng)員起跳后不計(jì)阻力做平拋運(yùn)動(dòng)，將其沿水平、豎直方向分解，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，初速度為v■，水平位移X=Lcosθ=v■t，豎直位移Y=Lsinθ=■gt■，且滿足關(guān)系tgθ=■，聯(lián)立得t=■=■s=2s v■=■=■m/s=10■m/s

2.過程等效

中學(xué)物理中有些問題所涉及的過程非常復(fù)雜，以致我們無法搞清楚整個(gè)過程中的各個(gè)細(xì)節(jié)，有時(shí)又沒必要嚴(yán)格地搞清楚細(xì)節(jié)的情況，特別是運(yùn)用動(dòng)量或能量解答的某些題目中，我們往往只要把握住起始和終點(diǎn)時(shí)刻的狀態(tài)，定性地分析過程，運(yùn)用等效的觀點(diǎn)，將整個(gè)過程等效為一個(gè)相對簡單的過程，從而方便求解。

例題：如圖所示，A、B是位于水平桌面上的兩個(gè)質(zhì)量相等的小木塊，離墻壁的距離分別為L和，與桌面之間的動(dòng)摩擦系數(shù)分別為μ■、μ■。今給A以某一初速度，使之從桌面的右端開始向左運(yùn)動(dòng)，假定A、B之間，B與墻壁之間的碰撞時(shí)間都很短，且碰撞中總動(dòng)能無損失，若要使木塊A最后不從桌面上掉下來，則A的初速度最大不超過多大？

解析：L滑動(dòng)摩擦力作用下木塊A向左運(yùn)動(dòng)，通過距離L﹣l與發(fā)生無動(dòng)能損失的碰撞，因質(zhì)量相等，碰撞后交換速度，即A靜止在B原來的位置，B以碰撞前A的速度克服摩擦力作用向左運(yùn)動(dòng)。B運(yùn)動(dòng)距離l到墻壁處發(fā)生無動(dòng)能損失碰撞，碰后以碰前的速率向右運(yùn)動(dòng)，再次與A碰撞，再次交換速度，B靜止，A向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)A到達(dá)桌面右端時(shí)停下，A的初速度為最大值。以上過程可等效為木塊A一直沿水平桌面克服摩擦力減速運(yùn)動(dòng)，而它與距桌面右側(cè)的2（L-l）范圍內(nèi)、距桌面左側(cè)2t范圍內(nèi)的動(dòng)摩擦系數(shù)分別為μ■、μ■。設(shè)A的最大初速度為v■，質(zhì)量為m，對其運(yùn)動(dòng)的全過程運(yùn)用動(dòng)能定理：

-2μ■mg（L-l）-2μ■mgl=-■mv■■，可得v■=2■

3.對象等效

同一物理現(xiàn)象中涉及多個(gè)物體，物體之間的相互作用復(fù)雜，采取隔離法逐一處理常常計(jì)算量大、過程繁瑣。若靈活地取其中幾個(gè)物體構(gòu)成的整體為研究對象，因不考慮這些物體間的相互作用情況，則往往使問題簡單化。

例題：如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩木塊質(zhì)量分別為M與m，到軸線的距離分別是L■和L■，它們與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力是其重力的μ倍，當(dāng)將兩木塊用水平細(xì)線連接在一起隨圓盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)不發(fā)生相對滑動(dòng)，轉(zhuǎn)盤的最大角速度可能是多少？

解析：如果將兩物體分別隔離，運(yùn)用向心力公式建立方程，并進(jìn)行討論求最大角速度，則過程復(fù)雜。由于兩物體與轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力均是重力的μ倍，因此可將它們作為一個(gè)整體分析，當(dāng)角速度最大時(shí)，整體所受靜摩擦力最大。

由向心力公式得μ（m+M）g=Mω■L■+mω■L■，故ω=■

4.情景等效

物理往往與我們的生活實(shí)際緊密相關(guān)，實(shí)際生活為背景的創(chuàng)新題學(xué)生常不易把握，關(guān)鍵是學(xué)生缺乏抽象出實(shí)際問題中的物理模型的能力。在弄清實(shí)際問題中起關(guān)鍵作用的因素基礎(chǔ)上，將實(shí)際情景用熟悉的物理情景代替，可變生題為熟題，問題自然迎刃而解。

例題：一天下著傾盆大雨，一乘客發(fā)現(xiàn)車廂的雙層車窗玻璃內(nèi)有積水，火車進(jìn)站時(shí)乘客發(fā)現(xiàn)積水成圖示形狀，水面傾角為α，那么進(jìn)站時(shí)火車的加速度為多少？

解析：車窗玻璃內(nèi)積水可以看做是由大量的水珠組成，重力作用下水珠之間相互擠壓，但相對靜止，若將水面等效于一光滑的斜面，設(shè)想在水面上取一滴水珠，實(shí)際情景等效為光滑斜面上一小物體與斜面一起做變速運(yùn)動(dòng)。由牛頓第二定律可得a=gsinα。

5.作用等效

在效果相同的前提下，合力與分力可以相互替換作用。

例題：假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體。一礦井深度為d，已知質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，礦井底部和地面處重力加速度之比是（ ）

A.1-■ B.1+■ C.（■）■ D.（■）■

解析：本題關(guān)鍵是地球?qū)ΦV井底部物體引力的計(jì)算，無法根據(jù)萬有引力定律直接計(jì)算，可等效為厚度R-d的球殼、半徑d的質(zhì)量均勻球體對物體引力的合力。依題意知球殼對物體的引力為0，則地球引力等于半徑d的質(zhì)量均勻球?qū)ξ矬w引力，所以礦井底部重力加速度相當(dāng)于半徑R-d的地球產(chǎn)生的。設(shè)地球密度為ρ，地面處■=mg，M=■πρR■，聯(lián)立得g=■πρGR，故■=■，正確選項(xiàng)為A。

6.場等效

空間存在多個(gè)場組成的復(fù)合場，可將復(fù)合場等效為一個(gè)重力場，求得等效重力加速度，根據(jù)重力場特性分析解決有關(guān)問題。

例題：豎直平面內(nèi)固定一光滑絕緣的圓環(huán)軌道，半徑為R，平行于圓環(huán)平面的水平勻強(qiáng)電場水平向右。一帶電小球在圓環(huán)上靜止在A點(diǎn)，它與圓心O的連線與豎直方向的夾角α=60°，現(xiàn)在給小球一沿圓環(huán)切線方向初速度，欲使小球沿圓環(huán)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，v■需要滿足什么條件？

解析：空間存在著重力場和電場組成的復(fù)合場，為簡化處理，將復(fù)合場等效為重力場，確定等效重力場的重力加速、等效最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，根據(jù)重力場中的圓周知識(shí)處理即可。

小球原來靜止，等效重力加速g′=■。等效最點(diǎn)為A、最高點(diǎn)B。小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)速度需滿足v■≥■=■，在等效場中小球由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得-2mg′R=■m（v■■-v■■），聯(lián)立得v■≥■.

7.電路結(jié)構(gòu)等效

電路問題就是研究電源提供的電壓、電流、電功率在外電路的分配，知識(shí)內(nèi)容單一，難在于對電路結(jié)構(gòu)分析。常將復(fù)雜的實(shí)際電路用一個(gè)連接關(guān)系簡單的等效電路替代，使問題簡化。

例題：一直流電路如圖所示，直流電源的電動(dòng)勢為E、內(nèi)電阻為r，R為一定值電阻，R■為滑動(dòng)變阻器，其全電阻R■>R+r，滑動(dòng)變阻器的滑片，問為多大時(shí)變阻器消耗的電功與率最大？

解析：若運(yùn)動(dòng)閉合電路歐姆定律先求電流，再運(yùn)用電功率公式求解R■消耗電功率，計(jì)算繁瑣。若將電源與R看做整體作為一等效電源，那么電源的輸出功率即為R■消耗的電功率。等效電源E′=E、r′=R+r，可知當(dāng)R■=r′=R+r時(shí)，R■消耗電功率最大。

等效法強(qiáng)調(diào)的是在效果相同的前提下，將復(fù)雜的、陌生的物理狀態(tài)或過程，用簡單的、熟悉的物理狀態(tài)或過程代替。在具體問題中需要認(rèn)真分析物理狀態(tài)、物理過程，確定具體問題中，起決定性作用的因素有哪些，然后用我們熟悉的物理情景代替實(shí)際情景，使復(fù)雜的、不熟悉的問題順利求解。