數學概念中的一些新發現及其應用

丁亮+楊星光

集合是高中數學內容的起點，所以理解好集合尤為重要。經過反復討論，結合多年學習和教學實踐，對高中數學集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解，并給出了具體的應用，旨在與同仁切磋探討。

空集解集不等于不屬于不包含于描述法集合論在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。最后一個在數學所有分支領域都造詣深厚、整個地改變了數學科學的狀況，在一切方向上打開了新的道路、對20世紀和當今的數學造成極其深遠的影響的世界著名數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家龐加萊曾說過：“借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈”。而集合論的研究對象就是集合，由此可以看出掌握好集合非常重要。筆者們反復討論后，結合多年學習和教學實踐，對集合中一些概念提出了全新的、有趣的理解，供同仁參考。

一、空集、解集的新理解以及應用

教材中第7頁介紹了空集的概念，即不含任何元素的集合叫做空集。筆者們結合多年教學實踐，發現很多學生總誤認為空集不是集合。筆者們也看到一些資料對實數0、空集 和 ｛０｝有一些強調。比如，文獻第12頁強調：實數0和空集是兩個不同的概念，不能把0和 混為一談；再比如，文獻第9頁強調：不要把數0或集合 ｛０｝與 混淆，等等。筆者們結合多年教學實踐，經過反復討論，認為這些強調能起到一定的作用，但是我們發現仍有一大批學生（尤其是數學基礎薄弱的學生）極容易混淆0和，或者時間長了，就算他們記住了0和 不一樣，也說不出為什么不一樣。還有一部分學生，分不清 ｛０｝和 是不是一樣。

針對上述問題，我們提出一種全新的解決方案：換一個角度去理解空集這個概念。從語文的角度看，“空集”，這兩個漢字中有一個“集”字，“集”是集合的簡稱，所以空集也是集合。用這種方法，可以輕易讓學生理解并記住空集也是集合，而不用死記硬背。與此同時，既然空集是一個集合，而0只是一個數字，所以，很自然地，0和 不一樣。

按照這種思路，還可以讓學生很容易地發現并理解集合 ｛０｝和空集 不一樣。“空集”這兩個字里除了“集”字之外，還有一個“空”字。“集”是集合的簡稱，再結合“空”字，所以空集不但是一個集合，而且這個集合里面是空空的，連0這個元素都沒有，集合 ｛０｝里面不是空空的，還有一個元素0，所以很容易得出空集 和 ｛０｝不一樣。

我們發現上面理解空集的思維模式，還可以幫助學生理清一些題目的解題思路甚至幫助學生提高做題答案的準確性。下面舉一例進行說明。

例題：用適當的方法表示不等式 2x+6<9的解集。

解析：此題是求解集的。按照上述理解空集的思路，我們很容易觀察出“解集”也是由“解”和“集”兩個漢字組成。從“解”這個漢字的角度，我們首先要把不等式 2x+6<9解出來，解出結果為x<23。但是如果結果是 x<23，肯定不對，因為“解集”這兩個漢字，我們才看了“解”字，還沒看“集”字。“集”是集合的簡稱。所以，這道題最終結果必須用集合表示。即答案都必須要有花括號“ { }”，沒有花括號“ { }”就是錯的。易發現，滿足x<23的x有無數個，沒辦法把它們全部列出來，所以用描述法來表示這個集合。所以這個例題的結果不是x<23，而是{x|x<23}。

二、觸類旁通，輕松理解并記住符號“ ≠”“ ”以及“”

從小學到初中數學學習中，大家都知道“等于”的符號是“=”，“不等于”的符號是“ ≠”。我仔細觀察一下，會發現一件事：“不等于”比“等于”多一個漢字，而“不等于”的符號“ ≠”正好比“等于”的符號“=”多一撇“∕”。“不屬于”比“屬于”也多一個漢字，按照理解“不等于”的符號“ ≠”比“等于”的符號“=”多一撇“∕”的方法，我們很自然猜想“不屬于”的符號是不是比“屬于”的符號也多一撇“∕”呢？事實上，不屬于的符號“ ”確實比屬于的符號“ ∈”多一撇“∕”！按照這種思考問題的方法，我們還可以輕松理解為什么不包含于“ ”的符號比包含于“ ”的符號也多一撇“∕”。因為“不包含于”也比“包含于”多一個漢字！筆者們經過反復討論，結合多年學習和教學實踐，發現這種理解概念的方法，對學生記憶非常有幫助。雖然數學中有些符號是人為規定的，沒有理由，只能記憶。可是筆者覺得，作為老師，如果可以適當地幫助學生減輕記憶負擔，讓他們騰出更多的時間去學習更多的、更新的知識我們就應該去做，因為這也正好符合我們最近幾年來一直倡導的為學生“減負”的目標。

三、對集合“描述法”的有趣記憶方法

集合的常用表示方法有兩種：列舉法和描述法。經過觀察，易發現描述法和列舉法形式上最大的區別是列舉法的表達式{ }中沒有一條豎線“ |”，而描述法的表達式{|}中有一條豎線“ |”。我們下面引進一種新思路，來讓學生很輕松地記住描述法的表達式的形式并且輕松地區分列舉法和描述法的表達形式。“描述法”，這三個漢字中，有一個“述”字，“述”和“豎”同音，它們的漢語拼音都為“ ”，而漢字“豎”是豎線的簡稱，所以描述法里面有一條豎線，這正好和描述法的形式{|}相吻合，因為{|}有一條豎線“ |”。而“列舉法”這三個漢字中沒有漢語拼音為“ ”的字，所以，列舉法的表達式中沒有豎線“ |”，這也正好和列舉法的表達式{ }相吻合。

一生培養了一大批世界級數學家、科學家的當今國際著名數學大師、著名教育家、美國國家科學院院士、法國科學院外籍院士、首批中國科學院外籍院士、南開數學研究所名譽所長陳省身教授曾指出：“數學是思考的產物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。”筆者們通過這篇文章對高中數學里集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解，旨在與同仁們一起探討，共同進步，更好地教好學生。

參考文獻：

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[2]王后雄.教材完全解讀高中數學必修1[M].北京：中國青年出版社，2013，5.

[3]李朝東.教材解析高中數學必修1[M].蘭州：甘肅少年兒童出版社，2011，5.

[4]蘇步青.談談怎樣學好數學[M].上海：上海教育出版社，1989，6.

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