極限無縫隙論

【關鍵詞】"f(n)的極限是A""f(n)無縫隙地靠近于A""｜f(n)-A｜＜ε有形如N＜n＜+∞之類的項數解"

【中圖分類號】G633.66 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）2-0011-02

關于數學極限定義的發展歷史，北京大學數學科學學院一年級目前使用的課本數學分析（第一冊）的31面這樣寫道："……，其實，給出其精確的定義并非一件易事，經過眾多數學家的不懈努力和不斷探索，直到19世紀才有了數學上的如下定義："這里所說的如下定義就是當前世界上各大學理工師范財經等專業所用的數學分析使用的極限定義。

從19世紀以來，在世界各大學已用了一、二百年了，對于這個傳統性定義，師生們都覺得難教難學。傳統性定義敘述詞句別扭。而今我用極限無縫隙論，引入極限概念，并形象的給出其定義。

請看如下：

（一）一個奇特而有趣的數學現象

f(n)無限的靠近數A，而且無縫隙的靠近數A,但又不等于A,我們考查如下兩個數列：

1、數列f(n)＝｛3－■ ｝n∈N+，a1=2.9 , a2=2.99 , a3=2.999 , a4=2.9999, a5=2.99999,a6=2.999999……，變化趨勢是逐漸增大，無限制趨近于3，但不等于3，極大限制是3。

2、數列f(n)＝｛3+■ ｝，n∈N+ ，a1=3.1 , a2=3.01 , a3=3.001 , a4=3.0001 , a5=3.00001, a6=3.000001變化趨勢是逐漸減小、無限制逼近于3，但就是不等于3，極小限制是3。

以上兩數列之特點是：f(n)在變化過程中，

①f(n)越來越靠近某個數A 距離f(n)-A越來越小②f(n)就是不能觸碰到A f(n)≠A

再考查下面的數列3：

3、數列f(n)＝｛■ ｝，a1=2 , a2=3.5 , a3=2.67 , a4=3.33 ,a5=2.8 , a6=3.17變化趨勢為時而大于3，時而小于3，這時你就不能說它的極大（極小）限制是3了，但是它與前面兩個數列是有共同點的：

數列3顯然具有上述①之特點。

是否具有②之特點呢？且看若f(n)=3,即是｜f(n)-3｜=0,

|■-3 |=0,| ■-3 |=0, ■ |=0,1=0,矛盾。所以f(n)≠3,所以數列3具有②之特點。

數列f(n)= {■ }與數3是越來越靠近，但又不等于數3，它們之間好像應該存在一個空隙吧？為了澄清這個問題，可任意給個距離，例如距離是■ ，看看這個■ 的距離里是否還有f(n),若一個f(n)也沒有，那便無疑地是空隙了，若有便不是空隙了。且看如下：

這就是｜f(n)-3｜=｜ ■-3 ｜＜ ■

｜■ ｜＜ ■

■｜＜■

1000＜n

∴1000＜n＜+∞

這就是說這個■ 距離里不但有f(n)的項，而且還是f(n)的無數多個項，而且還是從1000項起以后的所有各項都隱藏在這距離里。因而，■ 這個距離便不是空隙了。

把■ 改換成一個任意小的正數L＞0，就是如下：

｜f(n)-3｜＜L

｜ ■-3 ｜＜L

｜ ■｜＜L

■＜L

■＜n

所以[■ ]＜n＜+∞

所以第[■ ]項起以后所有各項皆隱藏在這個" ■"的距離里，因而"■ "不是空隙了。這樣f(n)與數3不存在什么空隙了。

現在我們進一步討論無縫隙靠近的情況。

我們可以再令L＝■ 、■ 、■ ……；代入到n＞[ ■]里去，就是n＞■，n＞■ ，n＞■ ……，分數的母子一顛倒，搖身一變便成了n＞1000, n＞10000, n＞1000000，……了。

這就是說從第一千項起、第一萬項起、第一百萬項起……以后，所有一切的項都有｜ ■－3｜＜■ ，｜ ■－3｜＜ ■，｜ ■－3｜＜■ 成立……；

也就是說從第一千項起、第一萬項起、第一百萬項起……以后所有各項，所有的一切項都統統地有序地被逼近到直線y=3上、下身旁，但是就不能觸碰落到直線Y＝3上，（前面已證明）。數列f(n)之這些項被逼近在以直線y=3上、下旁，被逼近在一個以直線y=3為中軸線、向上、向下各延伸L個單位，總寬為2L，長度為足夠長的長方形、條帶形里，被覆蓋、被關閉在寬度為2L，寬度無限制地變窄的條形長帶里，f(n)被有序地，無限制地被逼近在直線y=3之上、下方，但又不能觸碰到直線y=3，就這樣被極其嚴格的限制著，這是一個非常奇怪而又有趣的景象，取這話前面的那個"極"字，取這句話后面的那個"限"字，故名曰"極限"，因而數3就是數列f(n)之極限。

以上若換成直線y=9,看看是否有上述之景象。

且看｜f(n)-9｜=｜■-9 ｜＜■

｜3+■-9 ｜＜■

｜-6+■-9 ｜＜ ■，就算-6+■ =-5，便有｜-5｜＜■ ，這怎么可能呢？矛盾，所以不等式｜-6+■-9 ｜＜ ■無解。把 ■換成更小的■ ……，更是無解，這就更是不含有f(n)的項了，所以得出f(n)與非極限數9之間存在一個大空隙。這樣就把"f(n)極限是3"、"f(n)無縫隙靠近于3"、"距離不等式｜f(n)-3｜＜L有形如N＜n＜+∞之解"三者聯系在一起了，我們問它們之間有什么關系呢？

（二）極限·無縫隙靠近·｜f(n)-3｜＜L有解，三者之間的關系是什么？

從以上研討可以得出如下關系：

"f(n)的極限是3" " f(n)是無縫隙的靠近于極限3"， "不等式｜f(n)-3｜＜L有N＜n＜+∞之類型的解"。它們三者是同一個意思，即是等同等價的關系。

從而得出數列f(n)極限定義

（三）數列f(n)梁齊天極限的（描述性）定義

一個數列f(n)隨著項數n的無限增大，無縫隙的靠近A，那么A就叫做數列f(n)之極限。

（四）數列f(n)梁齊天極限的（嚴密性）定義

已知數列f(n)，n∈N+，又已知一個常數A，若對于任意小的正數L，都能從f(n)與數A的距離|f(n)－A|小于L的不等式|f(n)－A|＜L，解出或存在形狀如N＜n＜+∞之類的項數解，在此解之下，f(n)無縫隙地靠近于常數A，那么A就叫做當項數n無限制地增大時f(n)之極限，記為limf(n)=A（n→+∞）或……，（上面定義里的"在這些解之下f(n)無縫隙地靠近A，這些詞句太長，可以用一些特定的符號簡單方便寫成例如"在此解之下，｜f－A｜無限小，從而f→A"，或"在此解之下，n→∞，f→A"。箭頭符號"→"表示無縫隙地靠近。）

f(n)的極限是A，就稱數列f(n)收斂于A，若A不存在，則稱f(n)發散，或稱無極限。

例1：求證：lin■=■ n∈N+，

證明：令L為任意小正數，|f(n)－■ |＜L，

｜■-■|＜L，｜■ |＜L，■ ＜L， ■＜L，■ ＜L，■ ＜4n+2，■ －2＜4n，■ ＜n，所以解得[ ■]＜n＜+∞這樣的解，在此解之下，f無縫隙的靠近 ■，即是f→ ■，∴lim ■= ■（n→+∞ ）

例2：求證數列f(n)=｛■ ｝的極限不是8

證明：任意給定ε＞0，解不等式｜f(n)－8｜＜ε，

｜ ■-8｜＜ε，｜ 3n+■-8｜＜ε，｜-5 +■｜＜ε，因為ε＞0任意小，不防令ε＝ ■，代入到｜-5 +■ ｜＜■里去，顯然無解，再令ε等于比■ 還小的正數，同樣｜-5 +■ ｜＜ε也是無解，這就是不等式｜f(n)-8｜＜ε不存在f(n)的任何一項，也就是說f(n)與數8之間存在一個縫隙（空隙）了，根據極限定義，∴limf(n)≠8(n→∞)。

（五）從以上可以看出f(n)是無縫隙地靠近極限A，那你就干脆把f(n)等于極限A不就好了嗎？這么一來，f(n)=A那就一點距離也沒有了，那就什么縫隙也沒有了。但從以上接觸看來，f(n)是不能等于極限A的，例如數列f(n)=｛■ ｝是不能等于極限3的。這真是個奇特而又有趣的數學現象。不要小看了這個"極限"，它給數學開辟了一個廣闊的新天地。小到設計制造一個機器，大到衛星上天、人類登月、飛登其他星球都是要用"極限"這個知識的。

至于其他類型的極限定義可以同理同方法處理之。

（六）梁氏極限定義與傳統極限定義的對比

①從極限的幾何解釋講起著重闡述"f(n)的極限是A""f(n)無縫隙地靠近于A""距離不等式｜f(n)-A｜＜ε有形如N＜n＜+∞之類的項數解"，三者關系等同等價關系，從而用"無縫隙的靠近"，這個純樸而通俗的詞語形象的講明了極限這個概念，而傳統性定義里就沒有形象的講明極限的概念。

②現在使用的傳統性極限定義是"……，總存在正整數N,使得當n＞N時不等式｜f(n)－A｜＜ε都成立……"。這里的大N怎么確定存在呢？怎么找呢？原傳統定義里沒有說明。而梁齊天極限定義開門見山地明白指出從解｜f(n)－A｜＜ε著手，去解這個不等式，"解"被解出來了，那大N就自然而然地跳出來了，這多么順暢和輕松呀，而解不等式又是學生們在此前經常接觸和熟練使用的解算工具，從而使"極限"變成了一個通俗易懂易操作的課題。