談行式與列式

賈美娥

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

談行式與列式

賈美娥

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

本文主要討論了行（列）式的展開與證明.

行列式；行式；列式

通常的行列式，其行數與列數必須相等，而行式與列式的行數與列數未必相等.

是一個m×n(m≤n)行式，則

其中i1i2…im是1,2,…,m中n個數碼的選排列. π(i1i2…im)是排列i1i2…im的反序數.

注：本文均用π(i1i2…im)表示排列i1i2…im的反序數.

設D是形如（1）的一個m×n(m≥n)的列式，則

其中j1j2…jn是1,2,…,m,中nT數碼的選排列.

不難證明，行式與行列式有相同的有關行的性質.列式與行列式有相同的有關列的性質，但對于行式的列和列式的行這些性質未必滿足.在此這些性質就不一一列舉.本文著重于行式、列式的展開式，只討論行式，列式的有關性質同理可得.

定義1 設D是形如（1）的一個m×n行（列）式，D的元素aij的余子行（列）式，Nij指的是在D中劃去元素aij所在的行及列后，剩下的元素構成的(m-1)×(n-1)行(列)式.Nij的元素ast(s=1,…,i-1,i+1… m;t=1,…,j-1,j+1,…,n)帶上符號(-1)π(is)+π(jt)后構成的(m-1)×(n-1)行（列）式稱為元素aij的代數余子行（列）式，記做Bij.

不難驗證，當m=n時，Bij就是行列式D的元素aij的代數余子式.下面注明，行式與行列式一樣也可以依行展開.首先證明如下定理1.

定理1若在形如（1）的m×n行式D的第i行的元素除aij外都是零，即MD等于aij與它的代數余子行式Bij的乘積：

證明 10首先假定D的第一行元素除aij外都是零，這時，

要證D=a1jB1j因

所以Bij的每一項都可寫做：

其中j2…jm是1,…j-1,j+1,…,n中m-1個數碼的選排列，而且j2…jm恰有r個小于j.這一項在B1j中的符號為(-1)π(j2…jm)，因此a1jB1j的每一項都可寫做：a1ja2j2a3j3…amjm，其中jj2…jm是1,2…,n中mT數碼的選排列.這一項在a1jB1j中的符號為(-1)r+π(j2…jm).由于j2,j3,…,jm，因此

故（1）在a1jB1j中的符號為：(-1)n(jj2…jjn)

顯然（1）也是D的項，而且D的每一項都可寫成（1）的形式.（1）在D中的符號為

20證明一般情形，設

的第i行元素除aij外都是零，將D的第i行依次與i-1,…2,1交換，因交換行式的兩行，行式改變符號，所以

顯然D1=(-1)i-1Bij，所以D=aijBij

定理2 m×n行式D等于它的任意一行的所有元素與它們的對應的代數余子行式的乘積的和.

換言之，行式有依行的展開式：

因行式對于行可拆項，所以定理的結論顯然這里就不證了.下面的定理也是顯然的.

定理3 行式的某一行元素與另一行對應元素的代數余子行式的乘積的和等于零.設D是形如(1)的一個m×n行列式，則有

利用這一結果可求一些矩陣的廣義逆.

設A=(aij)是一個m×n矩陣，稱形如（1）中的D為矩陣A的行（列）式.稱

為矩陣A的廣義伴隨矩陣，其中Bij是D的元素aij的代數余子行（列）式，因為

〔1〕張禾瑞，郝炳新.高等代數第四版[M].高等教育出版社，1999.

O151.2

A

1673-260X（2014）04-0012-02