一個(gè)負(fù)系數(shù)的p葉解析函數(shù)的偏差定理

周海燕

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

一個(gè)負(fù)系數(shù)的p葉解析函數(shù)的偏差定理

周海燕

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文引進(jìn)一類負(fù)系數(shù)的p葉解析函數(shù),用初等方法和從屬關(guān)系討論類中函數(shù)的系數(shù)不等式,由此推出該類中函數(shù)的偏差定理,推廣文[2]中的相應(yīng)結(jié)果.

p-葉；負(fù)系數(shù)；系數(shù)不等式；偏差定理

1 引言

設(shè)S(p)表示在單位圓盤U={z:|z|<1}內(nèi)解析函數(shù)f(z)=zp+的全體組成的類,T(p)表示S(p)中具有形式

的函數(shù)全體.同樣用s*(α,p),c(α,p)和Sn*(α,p)分別表示如下函數(shù)類：

C(α,p)={f∈T:?g(z)∈s*(α,p),使得

其中Dnf(z)為Salagean算子[1],且

顯然S0*(α,0,0)=S*(α).

本文引進(jìn)函數(shù)類：

則稱f(z)屬于函數(shù)類Cn(α,p).顯然Cn(α,1)為文[2]中引進(jìn)并討論的函數(shù)類Cn(α).

本文用初等方法和從屬關(guān)系討論解析函數(shù)類Cn(α,p)的性質(zhì),得到討論中函數(shù)的系數(shù)不等式,由此推出類中函數(shù)的偏差定理.推廣[2]中的相應(yīng)結(jié)果.

2 偏差定理

為了證明偏差定理,先給出類中函數(shù)的系數(shù)不等式：

證明若f(z)∈Cn(α,p),則有

注意到z取實(shí)值時(shí),((Dn+1f(z))/Dng(z))也為實(shí)值.令z→1ˉ則有

從而

反之,若（4）式成立,則有

當(dāng)?shù)絑取實(shí)值時(shí),(Dn+1f(z)/Dng(z))也為實(shí)值.令z→1ˇ,則有

從（4）式得到

由此推出

∞

所以f(z)∈Cn(α,p).

當(dāng)f(z)=g(z)時(shí),從引理得到：

從推論1得到

3 偏差定理

定理 由（1）式所確定的函數(shù)f(z)∈Cn(α,p),則有

是精確的,(7)和(8)式極值函數(shù)為

證明 設(shè)f(z)∈Cn(α,p),由引理可知

從（9）式推出

由推論2可知

則由（10）式和（11）式推出

因此

由此推出(7)式成立.

又因?yàn)?/p>

利用(13)和(14)式,容易證明(8)式成立.

推論3在定理的假設(shè)下,函數(shù)f(z)包含在中心在原點(diǎn),半徑為r的圓內(nèi),這里

注：當(dāng)引理和定理中取p=1時(shí)就得到文[2]中的相應(yīng)結(jié)果.

〔1〕G S.Salagean Subclass of univalent functions[J].Lecture Notes in Math,pringer Berlin,S1983,pp.1013,362-372

〔2〕鄧琴.負(fù)系數(shù)單葉函數(shù)的一個(gè)新子族[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論, 2007,27（4）：832-838.

〔3〕李書海.特殊解析函數(shù)[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古科技出版社, 2007.

O174.51

A

1673-260X（2014）04-0014-02