關于線性代數課程教學方法的探討

摘要：線性代數是工科數學的一門重要的基礎課。通過對該門數學課程的學習，學生的抽象思維能力、邏輯思維能力以及處理問題能力都能夠得到提高。本文具體介紹了筆者在線性代數課程教學中如何使用的講授法和啟發式教學法，并在多年的教學實踐的基礎上，介紹了在教學中如何以教材為基礎，以充分的備課為前提，以激情四射的講解為平臺，深入淺出地講解線性代數，大力激發學生的學習興趣，全面提高學習效果。

關鍵詞：線性代數；教學方法；啟發式教學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）22-0070-02

線性代數是以工科為特色的高校開設的一門數學基礎課。課程設置的主要目的是讓學生通過抽象性、邏輯性、應用性的必要訓練，逐步形成運用線性代數[1]的原理和方法解決實際問題的思維模式和思維習慣，并為后繼課程如隨機過程、矩陣分析及抽象代數等課程提供學習所必需的代數知識。線性代數教學效果的好壞，直接影響到學生的培養質量。可以說，代數代數的理論和方法[2][3]是許多課程的重要基礎。同時線性代數的抽象性強，概念較多，常常使初學者感到吃力。關于線性代數課程教學方法的探討[4]是數學教育工作者所廣泛關注的問題。什么是線性代數（Linear Algebra）？代數一詞源于阿拉伯語，原意是“結合在一起”。也就是說代數的作用是把許多看似不相關的事物“結合在一起”，即進行抽象。抽象的目的當然不是為了顯示數學家本人智商有多高，而是為了更深刻地描述問題，解決問題。要想看得更遠，我們只有站得更高。比如正因為我們引入了線性代數中的抽象概念——線性空間，才得以對宇宙間的所有的線性空間類的集合的性質有了深入的研究。而這樣的集合在我們生活中又是普遍存在的。抽象的神奇和美妙由此可見一斑也。在工科院校的大多數專業中，線性代數都是重要的課程。它不僅是各專業的后繼課程的基礎，也是培養人才所必需的思維能力、提高學生解決問題能力的途徑。盡管線性代數的教學方法多種多樣，但不管采取何種方法，都應以盡可能使學生通過課堂的學習得到更大的收獲為原則。現代數學教學方法很多，如啟發式問題教學法、講授法、引導探索式教學法等。以下分別談談講授法與啟發式教學法。

一、講授法

線性代數往往采用大班授課方式，學生人數多，學時數有限，因此講授法在線性代數課程教學中必然占據重要的地位。講授法是指教師直接講解，通過簡明、生動的口頭語言，向學生系統地傳授知識、發展學生智力的方法。線性代數的主要內容是行列式與矩陣。行列式不僅是克拉默法則的準備知識，也是研究矩陣的一個工具。矩陣是線性映射的刻畫，矩陣的特征值與特征向量是研究線性變換過程中的變與不變的必然途徑。這些知識的引入本身是自然，美妙又生動的。但如果在講授過程中沒有注意到這一點，只是對著書本或者課件泛泛而談，必定枯燥乏味，效果亦可想而知。因此我們在講授一門課之前首先應該博覽群書，虛心請教教學經驗豐富的老師，然后花大量時間認真備課。在線性代數課程中，特別應注意到對這幾個數學概念的講解：（1）行列式的來龍去脈，行列式的作用；（2）矩陣的來龍去脈，矩陣的秩是什么；（3）為什么要研究相似矩陣，為什么要引入特征值，特征向量；（4）為什么要研究二次型。同時，應在授課過程中用板書的形式加強對這以下幾個重要的計算方法的訓練：（1）行列式的計算；（2）矩陣的初等行變換（重中之重）；（3）線性方程組的求解；（4）特征值與特征向量的計算（重中之重，工科學生后續課程必備能力之一）；（5）相似對角化的計算；（6）二次型的標準型的計算。之所以采用講授法，主要是因為第一：該法的課堂效率比較高，能在有限的時間內使用更多的教學手段，盡可能使學生獲得更大的知識量。第二：能充分發揮教師在教學中的主導作用，有利于教學任務的順利完成。講授法的缺點在于它以單向的信息傳輸方式，任課教師不能“抓住”學生的注意力，便會不利于學生的發揮自身的主觀能動性。愛因斯坦有句名言：“興趣是最好的老師”，濃厚的學習興趣、強烈的求知欲，是學生獲得學習成功的關鍵因素之一。因此在授課時還要注意千方百計激發學生的學習興趣，比如適當介紹與代數緊密相關的前沿問題（比如費馬大定理），介紹代數的發展史（比如數的發展），介紹相關的數學人物（比如伽羅瓦，阿貝爾），既能吸引學生的注意力，又能提高學生對代數的認識并激發他們對高等代數的熱愛。在授課方式上，可采用多媒體與板書相結合的方式。

二、啟發式教學法

為了彌補單純的講授法的不足，應在線性代數的課堂上融入啟發式教育，引導鼓勵學生進行各種思維的思考模式下的思考，比如發散性思維，聯想思維，這也是培養創新型人才的重要手段。比如我們在介紹完矩陣的乘法、轉置等運算之后，可以“趁機”引導學生們思考“為什么矩陣不定義除法運算”。再比如在介紹矩陣的跡運算，可以介紹如下不等式：tr2（AB）≤（trAAT）（trBBT），A.B∈Mn（R）。然后“借題發揮”，然后介紹定積分運算，期望運算下的同形式的不等式，最后介紹內積的運算與Cauchy-Schwartz不等式[5，6]。矩陣的研究在線性代數中占重要的筆墨。現行教學中的矩陣都是基于數域（大多為實數域或復數域）上，那么我們能不能對基于交換環上的矩陣[7]展開研究呢？這是一個很有趣的問題。我們可以以此啟發學生，激發他們的學習興趣，鼓勵他們去查閱資料。矩陣的秩，矩陣的相抵，矩陣的特征值，矩陣的相似，矩陣的相合，這些數學概念都是從一些不同科學領域中的實際問題經過高度抽象高度提煉而得到的，是前人創性工作的成果，是經歷過時間的檢驗的，他們的形成過程本身就是一個個體現創新思維的過程。僅僅局限于教材的話，學生根本看不到鮮活的、曲折的、有趣的創造過程，看到的只是那些經過簡化整理的論證形態，其敘述順序與發現過程往往是相反的，這是造成學生們學習線性代數時感到困難的一個原因。作為教師，所以我們要補充一些對知識的來龍去脈的講解。比如我在講解矩陣的特征值與特征向量時，經常會說一下他們的幾何意義。我們知道特征值與特征向量的定義：滿足Aα=λα的非零實數λ與向量α。矩陣乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量，也就相當于把一個向量變成同維數的另一個向量，即對該向量做了一個變換，那么變換的結果是如何？一個變換的特征向量其實是這樣的向量，它經過這種特定的變換后保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已，其實也就對應到該變換下的不變子空間。另外，談談課堂例題與課后作業題的相關問題。眾所周知的是，數學知識的講解與學習是離不開做題的。目前的情況是，理工科的線性代數課程一般是40～48學時，學時比較少，內容比較多。很多學生在課堂上基本能夠聽懂，但沒有及時進行復習，也沒有做一定數目的習題，完全達不到熟練運用的程度。因此，一方面我們應花大力氣對作為課堂的例題的題目反復斟酌，精挑細選，以求我們在課堂的例題能夠更有效的幫助學生們掌握數學知識，數學方法與數學技巧，也使我們選擇的例題更容易給學生們留下深刻的印象。另一方面，我們還需重視布置的課后習題選取，這不僅能幫助學生掌握和鞏固所學知識，也能讓讓教師通過作業完全情況獲得學生近期學習情況的信息。我們對作業的批改必須非常仔細，因為作業是老師與學生個體進行交流的主要途徑。錯誤的地方要給出批示，我們還要按時講評作業，這樣才能提高我們的教學質量。我們應督促學生對課后的知識點、不同題型其解題方法以及解題技巧進行歸納總結，提醒并鼓勵學生們相互之間的交流與學習，及時幫助他們解決學習過程中遇到的困難，幫助他們提高學習效率與效果。

隨著時代的變遷，學生的特點也在發生改變。我們只有與時俱進，不斷改進我們的教學方法，才能使教學質量得到提高。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]王恒太，劉邵容.線性代數教學的幾點思考[J].教育教學論壇，2013，（28）：103-104.

[3]李玲玲，徐華鋒.線性代數教學方法的思考與實踐[J].教育教學論壇，2012，（30）：22-23.

[4]李益.探索“雙引導”導激教學方式培養創新人才[J].重慶郵電大學學報社會科學版，2012，24（6）：127-130.

[5]蹇紅.弱初等變換解矩陣方程AXB=C和CR分解[J].中國科技信息，2013，（19）：51-52.

[6]孫春濤.Cauchy-Schwarz不等式的應用[J].四川兵工學報，2011，32（2）：155-156.

[7]孫春濤，蹇紅.關于整數矩陣的幾個問題的思考[J].重慶師范大學學報自然科學版，2013，30（2）：39-41.

基金項目：重慶郵電大學信息計算科學，數學與應用數學專業提升計劃；重慶郵電大學教育教學改革研究項目。

作者簡介：孫春濤（1980—），男，重慶郵電大學數理學院，講師；蹇紅（1980—），女，重慶郵電大學數理學院，講師。endprint