巧用速率－時間圖像 妙解兩道高考題

潘華君 夏 云

（1.江蘇省宜興第一中學，江蘇 宜興 214206；2.江蘇省宜興市湖濱實驗學校，江蘇 宜興 214206）

v-t圖像是每年各地高考卷中的“常青樹”，一般以“讀圖”和“畫圖”為兩種基本考查方式，注重“形”與“境”之間的聯想，即給出確定的v-t圖像，考查能否清楚地理解“點”、“線”、“面”的物理意義，或是考查能否由物理圖像還原真實的運動情境；根據試題的文字表述，通過對物理過程進行定性或定量的分析，畫出或選出相應的v-t圖像，重在考查圖像轉換的能力和過程分析的能力.而在2014年的高考中，有關“速度－時間圖像”的問題，除了以上兩類外，還出現了利用速度－時間圖像的延伸——速率－時間圖像的問題，將命題落腳點落在“用”字上，現采擷兩例，加以賞析.

1 用速率圖像妙解分段直線運動問題

圖1

例1.（2014年上海高考題）如圖1，豎直平面內的軌道Ⅰ和Ⅱ都由兩段細直桿連接而成，兩軌道長度相等.用相同的水平恒力將穿在軌道最低點B的靜止小球，分別沿Ⅰ和Ⅱ推至最高點A，所需時間分別為t1、t2；動能增量分別為ΔEk1、ΔEk2，假定球在經過軌道轉折點前后速度大小不變，且球與Ⅰ、Ⅱ軌道間的動摩擦因數相等，則

（A）ΔEk1＞ΔEk2，t1＞t2. （B）ΔEk1＝ΔEk2，t1＞t2.

（C）ΔEk1＞ΔEk2，t1＜t2. （D）ΔEk1＝ΔEk2，t1＜t2.

評析：本題將力的分析、運動過程的分析、功的分析、功能關系應用以及速率－時間圖像的應用糅合在一起，是一道能很好考查學生的物理基礎知識的理解、基本方法的應用等能力的好題.同時，本題也是傳統試題的延伸，將“由A→B的自由下滑”的典型問題改為“B→A的外力控制”的新穎題，從而加大了試題對學生的思維要求，具有較好的區分度.

圖2

對小球受力分析知，小球受重力、彈力、摩擦力和水平恒力.從做功角度看，水平拉力為恒力，且水平位移相同，所以兩次拉力做功相等.取某段直線運動分析，摩擦力做功為W＝－μ（mgcosθ＋Fsinθ）·L＝－μmgx水平－μFy豎直，其中θ角為斜面與水平面間的夾角.由此可知，摩擦力做功與斜面傾角無關，只與初末位置間水平分位移及豎直分位移有關，由于先后兩次總的水平分位移和豎直分位移均相等，則先后兩次摩擦力做功相同，兩過程中重力做功也相同，且彈力均不做功，則根據動能定理可知，兩球到達A點時的速率相同，動能相等.依據初、末速率相等和路程相等，同時根據圖1上軌道的對稱特點，可定性認為小球在軌道上一直做加速運動.畫出速率隨時間變化的圖像如圖2，可知沿Ⅱ軌道運動的小球先到達.故本題正確選項為（B）.

2 用速率圖像妙解一般曲線運動問題

圖3

例2.（2014年安徽高考題）如圖3所示，有一內壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內，MN是通過橢圓中心O點的水平線.已知一小球從M點出發，初速率為v0，沿管道MPN運動，到N點的速率為v1，所需時間為t1；若該小球仍由M點以初速率v0出發，而沿管道MQN運動，到N點的速率為v2，所需時間為t2.則

（A）v1＝v2，t1＞t2. （B）v1＜v2，t1＞t2.

（C）v1＝v2，t1＜t2. （D）v1＜v2，t1＜t2.

圖4

評析：本題以曲線運動為背景，考查的是機械能守恒定律和速率－時間圖像的應用，是傳統“圓－球模型”的拓展.小球在運動過程中機械能守恒，故先后兩次到N點處速率相同；過程中，小球重力沿軌道切線方向的分力提供切向加速度從而改變速率，則mgsinθ＝ma，即加速度與θ角有關，同時依據初、末速率相等、路程相等以及加速度變化的規律，定性作出速率－時間圖像，如圖4所示，故本題正確選項為（A）.

利用速率－時間圖像解答問題，其關鍵有3點：（1）注重過程中受力分析，定性或利用牛頓第二定律定量得出加速度的變化情況，而這一情況又直接反映為速率－時間圖像上斜率的變化；（2）注重初、末速率的分析，這一情況直接影響著圖線的起始點和回歸點；（3）明確速率－時間圖像上，圖線和時間軸包含的面積表示為路程.從上述兩道例題看，利用速率－時間圖像解答，可以簡化解題過程，使物理意義更清晰、更可視化，相比繁瑣的數學計算，圖像法確有令人“豁然開朗”、“妙筆生花”之感.