淺談大學教學中數學建模研究與實踐

劉富豪 張麗莉 蔣漢軍

［摘要］針對數學建模的方法進行研究，闡述了數學建模在大學教學中提高學生的綜合素質，拓寬了大學生的知識面以及培養學生創新能力的意義。將大學數學運用到數學建模過程中，介紹了常見的數學模型的分類建模方法。結合實際問題，對數學建模的教學結構和模式進行了分析，然后介紹了數學建模教學改革的方向,從而指導教學實踐。

［關鍵詞］數學建模數學模型改革

［中圖分類號］G642.0［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）06-0059-03

隨著社會經濟和科學技術的飛速發展，特別是計算機技術普及，使得數學知識廣泛應用于各個領域的實際問題之中。數學模型主要是使用數學知識來解決實際問題，因此，數學是人們掌握和使用數學模型這個工具的必要條件和重要的基礎。沒有廣博的數學力學知識，嚴格的數學力學思維訓練，是很難使用數學力學模型來解決實際問題的。因此，數學模型是連接實際問題和數學理論的中間橋梁。

數學模型是一種具有創新性的科學方法，它通過抽象和簡化，使用數學語言對現實問題進行簡化，以便人們更加深刻地認識所研究的對象。數學模型不是對于現實系統的簡單模擬，它是人們用以認識顯示系統和解決實際問題的工具，數學模型是對現實對象信息進行提煉、分析、歸納、翻譯的結果，它使用數學語言精確地表達了對象的內在特性，然后采用恰當的數學方法求解，通過數學上的演繹推理和分析求解，進而對現實問題進行定量分析和研究，最終達到解決實際問題之目的。應用數學知識解決實際問題的第一步必須要面對實際問題中看起來雜亂無章的現象，從中抽象出恰當的數學關系，用數學符號和語言把這個數學關系描述為數學公式，這個過程就是數學建模。數學建模活動的開展不但增強了大學生的創新意識、協作意識、競爭意識和奉獻意識，更培養了他們的創造能力、分析問題和解決問題的能力。

在我國，創辦于1992年的全國大學生數學建模競賽，每年一屆，目前已成為全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。2013年，來自全國33個省/市/自治區（包括香港和澳門特區）及新加坡、印度和馬來西亞的1326所院校、23339個隊（其中本科組19892隊、專科組3447隊）、70000多名大學生報名參加本項競賽。在這樣的大環境下，傳統的數學教學已經阻礙了高等教育的發展，因此數學建模教學課程的創設也就成為高等學校改革的突破口。通過何種手段實施數學建模思想，采取何種數學建模教育來切實提高學生的數學素質，也就成為高校教師教學中的一個重大課題，培養學生應用數學建模的意識和能力已經成為教學的一個重要方面。

一、數學模型的分類

數學模型的分類繁多，但是按人們對事物發展過程的了解程度可以分為：

白箱模型，指那些內部規律比較清楚的模型。如：力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。

灰箱模型，指那些內部規律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如：氣象學、生態學、經濟學等領域的模型。

黑箱模型，指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如：生命科學、社會科學等方面的問題。但由于因素眾多、關系復雜，也可簡化為灰箱模型來研究。

二、數學建模的過程

一般說來，建立一個能夠反映現實問題的數學模型必須經歷幾個過程（圖1）：

第一，建立模型的準備，在建模前首先通過搜集相關資料來了解問題的實際背景知識。根據題目的要求，明確其實際意義，有目的地收集相關的信息和數據，盡量弄清研究對象的特點，用數學思路貫穿問題的全過程，初步確定用何種數學工具建立哪一類數學模型；

第二，模型假設，這是建模的關鍵一步。根據研究對象的特點和研究目的，抓住問題的主要方面以及本質，忽略次要因素。對研究問題做出必要的、合理的假設，從中將實際問題抽象并簡化出一個簡單化的數學問題；

第三，模型構成，分析處理已有的數據和資料等，在已做假設的基礎上，綜合運用適當的數學方法，選用合理的數學語言、符號、圖形并分析其內在的邏輯關系來描述研究對象。所采用的數學工具要盡量簡單，其模型也一定可行，能夠方便地用數學工具求解；

第四，模型求解，所建立的模型必須是可行的，根據不同的數學模型要用到相應的數學方法來求解其結果，即能夠使用數學工具（Fortran，Matlab，C++等），對模型進行求解（解析解或近似解）；

第五，模型分析，對模型求解的結果進行數學上的分析（誤差分析，統計分析，靈敏度分析和穩定性分析等），分析模型中各個參數之間的相互關系，同時還需要根據所得結果給出數學式的預測和最優決策、控制等，指出結果的實際意義和模型的適用范圍等；

第六，模型驗證，將模型分析的結果運用懂時間問題的解決中并和實際情況比較，用時間的現象和數據來驗證模型的合理性、實用性、可靠性和準確性等。如果求解結果為數值解，還要同時考慮所得到的誤差應該在實際問題允許的誤差范圍之內。若比較相互吻合，說明模型是合理正確的。反之，則說明模型是失敗的，問題可能出在假設上，此時應根據檢驗的情況對假設進行不斷的修改并完善數學模型，重新求解進行分析，知道分析結果和實際情況符合，并且可以滿足精度要求，則認為模型可行，便可以進行模型的應用和推廣。另外，一個正確的模型不但可以解釋已知現象，而且還可以預測一些未知情況；

第七，模型應用，將驗證正確的數學模型進一步推廣到一些實際領域內，用以解決實際問題，在應用中不斷改進和完善，從而對實際工作進行指導，最終產生經濟效益。

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圖1

可見，完整的數學建模是一個互動的過程。在建模過程中，就要把本質的東西及其關系反映進去，要真實地、系統地、完整地、形象地反映客觀現象，若結果不理想，還得修改模型，重復上述過程，以期達到理想的結果。要想獲得一個比較正確的數學模型，就必須熟悉并掌握一些建模的方法。

三、數學建模教學的改革

數學建模教學在高等學校實現素質教育及人才培養方面具有不可替代的作用，它是對加強學生知識，技能、能力、創新和綜合素質培養這一中心工作不可缺少的重要組成部分。因此，國外的一些院校對數學建模教學的環節非常重視。然而，我國的數學建模卻沒有得到足夠的重視，以我校的數學建模教學為例，主要存在兩個方面的問題：第一，教學方式單一，往往是教師一個人在講臺上先把板書寫好，然后按照固定的模式一步一步操作下去，臺下學生快速地記筆記，課后按部就班地完成作業。這樣就導致有的學生雖然可以完成作業，但是不能夠真正地理解數學建模的原理，不會將實際問題轉換為數學問題，從而難于發現問題和解決問題。第二，教學內容陳舊，始終處于停滯狀態，局限于書本上的例題，這些例題往往和時代發展相脫節，教學內容已經不能適應相應的社會發展要求。第三，數學建模課程缺乏時代性，學校沒有形成對應的管理機制去監督數學建模教學的改革，現有的教學缺乏針對性，沒有達到與時俱進。甚至，有的高校教學內容沿用了幾年甚至十幾年一成不變的教學大綱，以至于學生后來工作后無法將課堂上學到的知識靈活地運用到實際工作中從而滿足自己的工作需要，實現個人價值和社會價值的統一。

針對以上數學建模教學中存在的問題，可以采取以下措施進行改革創新：

（一）傳授模式的改變

數學建模是一個老師和學生互動的過程，為了改變傳統的教學模式，可以改變教師一人講授的傳統方式，也可以采用多媒體教學。學生既是被動接受知識的載體，又是整個過程的主要參與者。期間老師可以將該講授內容以錄像、動畫和視頻的形式表現出來，也可以通過講授并且啟發提問的方式，便于學生思考、提問和討論、從而調動了學生的主動性。建模過程是一個復雜的過程，往往沒有現成的解決方案，此時老師和學生必須進行實際背景調查，每個學生都應該參與其中，充分發揮各自的主觀能動性，以便培養學生在課堂上獨立思考問題的能力。另外，在課堂上還要培養學生發散思維的能力，沒有一個數學模型可以完全解決實際問題。反之，同樣的一個問題也可以有幾種不同的解決方案，基于假設的不同就會有這樣那樣的數學模型，教師和學生應該緊密結合，充分發揮學生的想象力和創造力，力爭有一個滿意的解答。

（二）傳授內容的改革

數學模型教學內容的選取上，優先關注那些教學插件的典型性和案例背景的實用性、前沿性和數學方法的綜合性的例題。內容上，應該盡力精選一些實際應用的例題進行建模教學示范，所選的數學模型不但要密切聯系生活，更要和本專業課程緊密結合。通過展示這些例題的建模過程，不但使學生進一步加深對于數學建模原理的理解，還應該使學生明白如何將本專業所遇到的實際問題轉換為理論問題，幫助學生理論聯系實際，提高學生解決本專業實際問題的能力。

（三）引入數學軟件, 開設數學實驗

隨著計算機技術的空前發展，對于數學模型的求解完全可以借助于一些數學軟件來快速實現。這就要求在大學課堂中除了要求學生掌握建模原理之外，更應該要求學生了解和掌握利用數學工具（C語言，Matlab，Maple，Mathematica，Gauss，Xmath等）來計算和解決比較復雜的科學問題。因此，必須開設相對應的課程以普及和介紹數學軟件的各種運算和圖形處理功能，同時還根據專業情況利用各個軟件現有的工具箱來簡化建模過程和擴充符合計算功能和仿真功能。在此基礎之上，把數學工具軟件應用到現有的數學建模教學中，可以提高數學建模的效率和質量，豐富了數學建模的方法和手段。

四、結語

目前，歐美國家的一些學校和教師早已經把數學建模實驗課運用到實際中，切實發揮學生的動手能力和思考問題能力，培養了一大批能為社會作貢獻的科學家。作為發展中的國家，我們更應該重視數學建模教學質量的提高，切實實現面向未來、面向世界的教育模式。然而，數學建模教學的改革是一個循序漸進的過程，在這個過程中就要揚長避短，拋棄陳舊觀念，為高等學校的改革創造一個良好的環境。

［參考文獻］

［1］ 李曉莉.數學建模的教學與實踐［J］.鐵道師院學報,2002,（2）.

［2］ 陳國華,黃勇,江惠民.數學建模與素質教育［J］.數學的實踐與認識,2003,（33）:110-112.

［3］ 馮永明,張啟凡,劉鳳文.中學數學建模的教學構想與實踐［J］.數學通訊,2000,（7）:56-57.

［4］ 姜啟源.數學實驗與數學建模［J］.數學的實踐與認識,2001,（5）:613-617.

［5］ 樂勵華,戴立輝,劉龍章.數學建模教學模式的研究與實踐［J］.工科數學,2002,18（6）:9-12.

［6］ 葉其孝.數學建模數學活動與大學生教育改革［J］.數學的實踐與認識,1997,27（1）:92-96.

［7］ 付軍,朱宏,王憲昌.在數學建模教學中培養學生創新能力的實踐與思考［J］.數學教育學報,2007,16（4）:93-95.

［8］ 宿維軍.數學建模活動對培養人才的作用［J］.數學的實踐與認識,2002,32（5）.

［責任編輯：左蕓］