強擬凸域上連續函數Martinelli-Bochner 公式邊界攝動的穩定性

李娜

［摘要］在“強擬凸域上邊界攝動的B-M型積分的穩定性”【11】中，討論了攝動函數r對全純函數B-M公式邊界攝動的影響。本文我們將視角擴大，介紹了含1-形式的BD算子和含函數的BαD算子、含有任意次數的微分形式的BD算子和BαD，并進一步討論攝動函數r對連續函數Martinelli-Bochner 公式積分邊界攝動的影響，得到連續函數Martinelli-Bochner 公式的積分邊界受到攝動以后，Martinelli-Bochner 公式是相對穩定的。

［關鍵詞］強擬凸域Martinelli-Bochner 公式邊界攝動穩定性算子

［中圖分類號］O174［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）06-0141-03

一、預備知識

（一）復流形上的相關預備知識

定義1令D∈Cn是一個開集，

（1）D中的一個連續多次調和函數是一個連續函數ρ：D→R1，使得下列條件滿足：任意的ν，ω∈Cn，函數ζ→ρ（ν+ζω）在C1上是次調和的。D上連續多次調和函數的集合，記為P0（D）.

（2）一個C2函數ρ：D→R1稱為強多次調和的，如果對任意的z，ω∈Cn，ω≠0，函數ζ→ρ（z+ζω）在C1上是強次調和的。

定義2一個開集D?奐Cn稱為是擬凸的，如果函數-lndist（z，αD）在D是多次調和的。Cn稱為是擬凸的。

命題1：令D?哿Cn是一個開集，如果在αD的某個鄰域θ，存在一個連續多次調和ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝，則D是擬凸的。

定義3令D?奐?奐Cn是一個開集。D稱為是強擬凸的，如果在αD的邊界的某個鄰域θ存在一個強多次調和C2函數ρ，使得D∩θ＝｛z∈θ:ρ（z）＜0｝.

定義4設X是一n維復流形。如果D?奐?奐X是強擬凸開集，D的邊界αD稱為逐塊C2的，如果存在開集V1，V2，…，VN包含于X，及C2函數ρk:Vk→R，k=1，2，…，N，使得下列條件滿足：

（1）αD?哿V1∪V2∪…∪VN，

（2）z∈（V1∪V2∪…∪VN）且z∈D?圳1≤k≤N，z∈Vk，ρk（z）＜0，

（3）任意指標集1≤k1＜…＜k1≤N，有dρ■∧dρ■∧…∧dρ■≠0，

z∈V■∩V■∩…∩V■.

定義5設D?奐?奐Cn是具有逐塊C2-邊界的強擬凸開集。對X選擇下列定向：如果z1，z2，…，zn是X中的局部全純坐標，且zj是相應的實坐標，使得zj=zj+izj+n，則形式dx■∧dx2∧…∧dxn定義了X的一個定向。

設Sk:={z∈αD∩Vk:ρk（z）=0}，k=1，2，…，N，其中Vk和ρk如逐塊C2-邊界的定義中所示。對任意的整數集K=（k1，k2，…，kl），1≤k1，…，kl≤kN，當k1，k2，…，kl兩兩不同時，定義：SK：=Sk■∩…∩Sk■，其它的則定義：SK：=?覫。我們選擇SK的一個定向，使得αD＝■■■SK及αSK＝■■■S■，其中αD與αSk的定向分別由D和SK的定向誘導K=（k1，k2，…，kl），Kj:=（k1，k2，…，kl，j）。

定義6設θ為αD的鄰域，使得θ?奐?奐X，記P■■（θ）為θ上的強多次調和C2-函數類，如果Φ∈θ是z某鄰域的強多次調和C2-函數，可找到函數，rj∈C■■（Vj），■■■rj=1，則定義：

||Φ（z）||）2：｜Φ（z）｜+■■■（z）［■■■|■|+■■■|■|］.

記：||Φ||2，θ，：supz∈θ||Φ（z）||2。對θ的鄰域賦予范數||·||2，θ，所得的強多次調和C2-函數賦范空間記為m2（θ）。

定義7令D是Cn上的一個開集。如果文獻【14】中定理1.1.5中的等價條件成立，那么D上的賦值函數稱為是全純的（或者解析的）。

（二）B-M型積分[14][15]與邊界攝動的B-M型積分

B-M型積分：

?覫（?漬）（z）■?漬（ζ）K（ζ，z），z∈αD，

其中K（ζ，z）=■■為B-M核。?漬為αD某鄰域θ的強多次調和函數。

ω′ζ（■-■）=■■■?漬（-1）j-1（■j-■j）d■1∧…∧［d■1］∧…∧d■n，ω（ζ）=dζ1∧…∧dζn，

［d■j］表示除去第j項。r（z）為αD某鄰域θ上的強多次調和函數。αD（z∈αD）對邊界加一個攝動r（z）（把稱為攝動函數），得邊界αDr，（z*=z+r（z）∈αDr，z∈αD），于是，上述B-M型積分就相應地變為：

?覫r（?漬）（z）■?漬（ζ*）K（ζ*，z）=■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

其中K（t+r（t），z）

=■■

ω′ζ（t■-■）=■■■?漬（-1）j-1（t■-■j）d（t■∧…∧［d（t■］∧…∧d（t■

二、歷史結果[11]

全純函數B-M公式及攝動函數r（z）對它的影響[11]

引理1（全純函數Bochner-Martinelli公式）設函數?漬∈AC（D），其中D是Cn上的有界域，具有逐塊光滑邊界αD，那么下面的Bochner-Martinelli公式成立：

■?漬（ζ）K（ζ，z）=?漬（z），z∈D■?漬（ζ）K（ζ，z）=0，z■D

其中K（ζ，z）=■為B-M核。積分定向的選擇是使形式（-i）ndζ∧dζ是正的。

定理1[11] 設函數?漬∈AC（D），其中D是Cn上的有界域αD，具有逐塊光滑邊界，θ是αD的一個鄰域，r（t），是上的全純C2函數，則

（1）當r∈D時，有■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）=0

（2）當r∈D時，存在一常數M，使得|■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）|≤M|?漬（z+r（z））|.

三、主要結果部分

（一）積分算子BαD和BD等相關準備知識

1.Cn的定向

如果xj=xj（ζ），j=1，…，2n，ζ∈Cn是的實坐標，使得ζj=xj（ζ）+ixj+n（ζ），則微分形式dx1∧…∧dx2n定義了Cn的定向。對開集D?哿Cn，我們用相同的定向。如果D?哿Cn是一個開集，M是C1光滑邊界αD的相對開子集，則M的定向由D的定向誘導。

注：Cn的定向也可定義為dx1∧dx1+n∧…∧dxn∧dx2n=（-1）■dx1∧…∧dx2n，則我們得到積分公式里符號的相應地改變。

2.具有逐塊C1邊界的開集

令D?奐?奐Cn是一個開集。D的邊界αD稱為是逐塊C1的，如果存在Cn上有限多的實值C1函數ρ1…，ρk，使得D={D∈Cn:ρj（z）＜0，j=1，…，k}，且，對任意的指標，且對所有的ρ∈αD有ρj■（z）=…=ρj■（z）=0.

注：對具有逐塊C1邊界的開集，容易找到一個具有C∞邊界的開集序列Dm?奐?奐D，使得下列兩個條件滿足：

（1） 對任意的緊集K?奐?奐D，存在一個數，使得K?奐?奐Dm，對任意的m≥mk.

（2） 如果f和g分別是D上的雙次數2n和2n-1的連續微分形式，則■f=lim■f和■g=lim■g.

（二）主要結果

連續函數的Martinelli-Bochner公式及邊界攝動對它的影響

引理2[14]（連續函數Martinelli-Bochner公式）

令D?奐?奐Cn是具有逐塊C1邊界的開集，令f是D上的連續函數，使得α f也是在D上的連續，則D在中有：f=BαD f-BD α f。

其中BαD和BD是上面定義的連續算子。

定理2令D?奐?奐Cn是具有逐塊C2邊界的開集，令?漬是D上的連續函數，使得α?漬也在上連續，r是αD的鄰域θ上的全純函數，則存在常數M，使得：■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）≤M?漬（z+r（z））.

證明：

對固定的z∈D，令K（t+r（t），z）=■

■

由定理1【11】的證明可知K（t+r（t），z）是一閉形式，因此dK（t+r（t），z）=0 inDz .

∵α?漬（t+r（t），z）∧ω（t+r（t））

=（■■dt1+…+■■dtn）∧（d（t1+r（t1））∧…∧d（tn+r（tn）））

（其中Qi=ti+αr（ti），1≤i≤n）

＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［dt1+αr（t1）］∧…∧［dtn+αr（tn）］

＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］dt1∧…∧［1+αr（tn）］dtn

＝（■■dt1+…+■■dtn）∧［1+αr（t1）］…∧［1+αr（tn）］dt1∧…∧dtn=0

d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=α［?漬（t+r（t））K（t+r（t），z］+α［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=0+α?漬（t+r（t））·K（t+r（t），z］+?漬（t+r（t）·αK（t+r（t），z］

α?漬（t+r（t））·K（t+r（t），z）+0，inD/z

于是，對任意充分小的ε＞0，由stokes公式得：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

■■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

=■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］-■d［?漬（t+r（t）K（t+r（t），z］

■■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）………………(*)

其中Dε:{ζ∈D:|ζ-z|＞ε}，

下面只要證不等式的左邊，當ε→0時，趨于M?漬（z+r（z））：

事實上：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

=?漬（z+r（z））■K（t+r（t），z）+■（?漬（t+r（t）-?漬（z+r（z）））K（t+r（t），z）

|■K（t+r（t），z）|M≤

■（?漬（t+r（t）-?漬（z+r（z）））K（t+r（t），z）

≤sup|ζ-z|=ε|?漬（t+r（t））-?漬（z+r（z））｜·｜■K（t+r（t），z）｜

由定理1【11】的證明可知，存在常數M＞0，使得

≤M·sup|ζ-z|=ε|?漬（t+r（t））-?漬（z+r（z））｜→0，當（ε→0）

（*）式的右邊即所要證的不等式的左邊，于是當ε→0時，有：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t））K（t+r（t），z）M?漬（z+r（z））

證畢。

推論1令D?奐?奐Cn是一開集，f∈AαD，r是αD某鄰域上的全純函數，則存在常數M＞0使得：■?漬（t+r（t））K（t+r（t），z）≤M?漬（z+r（z））.

證明：結合以上定理證明中的(*)式和定理2即可得證：

■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）

=■?漬（t+r（t）K（t+r（t），z）-■α?漬（t+r（t））K（t+r（t），z）■（z+r（z））

證畢。

這與定理1的（2）是一致的。

［參考文獻］

［1］Keldysh M V,Lavrendev M A.On the stability of solutions of Dirichlet problem ［J］.IZV AN SSSR Ser Mat,1937,1:551-595.

［2］Keldysh M V.On the solvability and stability of the Dirichlet problem［J］.Uspekhi Mat Nauk,1941,8:171-231.

［3］Hedberg L I.Approximation by harmonic functions and stability of the Dirichlet problem ［J］.Exposition Math,1993,11:193-259.

［4］王小林，龔亞方.一類奇異積分和Cauchy型積分關于積分曲線的穩定性［J］.數學學報，1999,42（2）：343-350.

［5］王傳榮.邊界攝動的奇異積分方程與邊值問題［J］.寧夏大學學報（自然科學版），2006,27（20）：169-173.

［責任編輯：左蕓］