一道考研題的三種解法及其啟示

竇慧

［摘要］分別運用泰勒公式、和差化積、湊無窮小,可以給出一道題目的三種解法，旨在幫助學生拓展思維，夯實基礎，重視初等數學在研究生入學考試中的地位和作用，從而培養其解決問題的能力，提高數學素質.

［關鍵詞］余弦函數泰勒公式湊無窮小和差化積

［中圖分類號］O17［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）11-0091-02等價在極限理論中舉足輕重,經常會有各種類型的關于等價的題目.其中根據等價關系求解參數就是一種典型出題方式,解題關鍵還是利用等價的定義求解極限.2013年全國碩士研究生入學統一考試數學二、數學三中的第15題就是這一類題目.但是在批閱試卷的過程中,發現該題得分率極低,究其原因是對其中的三角函數之積處理不當.為此給出三種解法,以供參考.

一、 考研題及其三種解法

2013年全國碩士研究生入學統一考試數學二、數學三中的第15題［1］:

已知x→0時，1-cosx·cos2x·cos3x與axn等價，求a，n.

解法1（利用余弦函數的泰勒展開式證明）

x→0時，1-cosx·cos2x·cos3x與axn等價，即■■=1.應用泰勒公式，有cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cos2x=1-■（2x）2+■（2x）4+?紫（x5）

=1-2x2+■x4+?紫（x5），

cos3x=1-■（3x）2+■（3x）4+?紫（x5）

=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cosx·cos2x·cos3x=［1-■x2+■x4+?紫（x5）］·［1-2x2+■x4+?紫（x5）］·［1-■x2+■x4+?紫（x5）］，

=1-7x2+?紫（x5）.

因此1-cosx·cos2x·cos3x=7x2+0（x5）,所以可得a=7，n=2.

解法2（利用湊無窮小的方法證明）

1-cosx·cos2x·cos3x＝1-cosx+cosx-cosx·cos2x+cosx·cos2x-cosx·cos2x·cos3x

=（1-cosx）+cosx（1-cos2x）+cosx·cos2x（1-cos3x）,

所以■■

＝■■

=■■+■■+

■cosxcos2x■

=■■+■■+■■

=■■

=1.

因此a=7，n=2.

解法3（利用初等數學中的積化和差證明）

由三角函數的積化和差公式cosα·cosβ=■［cos（α-β）+cos（α+β）］，得

cosx·cos2x·cos3x=■（cosx+cos3x）cos3x

=■（cosx·cos3x+cos23x）

=■（■（cos2x+cos4x）+■（1+cos6x））

=■（1+（cos2x+cos4x+cos6x））.

所以1-cosx·cos2x·cos3x=1-■（1+cos2x+cos4x+cos6x）

=■［（1-cos2x）+（1+cos4x）+（1-cos6x）］.

故■■＝■■■+■■■+■■■

＝■■+■■+■■

=■■=1.

所以a=7，n=2.

二、三種解法的啟示

（一）解法1的啟示

解法1直接利用余弦函數的泰勒展開式，解題過程簡潔明了,只要熟練掌握余弦函數的泰勒展開式

cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cos2x=1-■（2x2）+■（2x）4+?紫（x5）

=1-2x2+■x4+?紫（x5），

cos3x=1-■（3x）2+■（3x）x4+?紫（x5）

=1-■x2+■x4+?紫（x5），

則該題的難度系數就大大降低.

但是我們發現在高等數學中泰勒公式的教學效果并不好.據調查因為泰勒公式是教學中的難點，公式較大，階數較高，在教學過程中許多教師盡量簡化泰勒公式的教學，或者是僅僅側重于公式的形成過程，不強調公式的用途；學生在處理題目時也盡量避開泰勒公式.這種教學方法的結果就是對泰勒公式不熟悉，僅僅知道有該公式，但不知道公式是怎樣的，也不知道怎么運用泰勒公式。該解法啟示我們要注重基礎知識的教學，教師尤其是不能對知識點有好惡之分，任何一個知識點都要做到精講、精解。對于較難的知識點，教師更要深入淺出、出神入化的把他轉化為學生易于接受的形式，譬如可以采用圖表法、探究性學習、討論等教學方法講解新知識，以降低學生的恐懼感，增強學生的求知欲，喚起學生學習的興趣，增強教學效果，絕對不能“冷處理”；為了鞏固知識點，教師還應該特別留意相應課后題的處理，要不間斷的引導學生去做各種各樣的練習題，形成一種處理難點問題的習慣。學生在學習過程中更要知難而上，不放過任何一個無論多難的知識點.

（二）解法2的啟示

解法2用了一點技巧——湊無窮小,當然緊扣題目特點要湊出1-cosx，1-cos2x，1-cos3x無窮小,然后利用等價，結果也比較明顯.

可是這種方法要求較高，要善于觀察并有活躍的思維，這要求我們不僅要注重基礎知識點的教學，更要注重解題方法的培養、數學思維的形成，學生在平時的學習中要注重善思、善變，一題多解、一題多變和多題一解，從而培養靈動的數學思維，提高數學素質.

無窮小的有關定義和性質是各級各類高等數學考試中出現頻率很高的一個考點，熟練掌握無窮小有助于處理和解決許多題目。現將有關知識點梳理一下：

1.當x→0時sinx，arcsinx，tanx，arctax，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均為無窮小，而且與λxm（λ，m∈R且λ≠0，m＞0）等價（本題用到1-cosx~■，1-cos2x~2x2，1-cos3x~■）；

2.無窮小與有界函數的乘積還是無窮小；

3.有限個無窮小的和還是無窮小。

（三）解法3的啟示

解法3運用三角函數的積化和差公式cosα·cosβ=■［cos（α-β）+cos（α+β）］，并結合三角函數的等價，解題過程也不復雜.

這種解法要求解題人熟練掌握初等數學中的三角函數的積化和差公式，而日常教學中發現許多大學一年級的學生對該公式了解但不熟悉，試題解答中運用該公式的學生寥寥無幾.高中階段對三角函數要求不高，但是高等數學對三角函數要求非常高，三角函數的定義、性質、公式、導數、積分均為高等數學的重要內容，這就要求教師要注重高中知識和大學知識的銜接，在教學過程中指導學生補上這一內容. 下面給出三角函數的部分公式：

sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ

cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sinα·sinβ=■［cos（α-β）-cos（α+β）］

cosα·cosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］

sinα·cosβ=■［sin（α-β）+sin（α+β）］

［參考文獻］

［1］ 張天德，李仁所，李擂.考研數學試題精選精解600題［M］ .濟南：山東科學技術出版社，2013,3.

［責任編輯：林志恒］