淺析高考對解析幾何知識的考查

田艷玲

高考對解析幾何的考查主要包括以下內容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關系、圓錐曲線的定義應用、標準方程的求解、離心率的計算等，而解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關系問題，經常與平面向量、函數與不等式交匯等，考查一些存在性問題、證明問題、定點與定值、最值與范圍問題等，解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大，所以應加強對解析幾何重點題型的訓練。

典例分析：

典例1.已知橢圓■+■=1（0

解析：（1）由題設知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故橢圓方程為■+■=1；

（2）因為M（0，2），所以直線l與x軸不垂直。設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。聯立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因為m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展開整理得3m+2=0，即m=-■。直線l在y軸上的截距為定值-■。

動向解讀：本題考查解析幾何中的定點、定值問題，這是一類綜合性較強的問題，以直線與圓錐曲線的位置關系為載體，以參數處理為核心，需要綜合運用函數與方程多種數學思想方法進行求解。

典例2.已知圓C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過橢圓E：■+■=1（a>b>0）的右焦點，且交圓C所得的弦長為■，點A（3,1）在橢圓E上。

（1）求m的值及橢圓E的方程；（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求■·■的取值范圍。

解析：（1）圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得橢圓E的方程為■+■=1。

（2）■=（1，3），設Q（x，y），則■=（x-3，y-1),設x+3y=n，

則聯立得18y2-6ny+n2-18=0，?駐=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范圍為［-12，0］。

動向解讀：本題考查解析幾何中的取值范圍問題，綜合性較強，需要綜合運用函數、方程、不等式、平面向量等諸多數學知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解，對考生的代數恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求。

典例3.如圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線于M、N兩點，其準線l與x軸交于K點。（1）寫出拋物線的焦點坐標及準線方程；

（2）求證：KF平分∠MKN；

（3）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P、Q，設直線MN的傾斜角為θ，

試用θ表示線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）拋物線焦點坐標為F（1,0），準線方程為x=-1。

（2）設直線MN的方程為x=my+1。設M、N的坐標分別為（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

設KM和KN的斜率分別為k1，k2，顯然只需證k1+k2=0即可。

（3）設M、N的坐標分別為（■，y1），（■，y2），由M，O，P三點共線可求出P點的坐標為（-1，■），由N，O，Q三點共線可求出Q點坐標為（-1，■），

設直線MN的方程為x=my+1。由■

則|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■時，|PQ|min=4

動向解讀：本題考查拋物線的定義、直線與其位置關系等問題，是一道多知識點的綜合性題，正體現了高考數學命題所追求的“在知識交匯點處命題”的原則。

總之，解析幾何是高中數學的主線，解析幾何與解三角形、向量等相關知識的綜合又是高考中的熱點之一，涉及面廣，綜合性強。因此復習時一定要梳理清相關知識，并加強訓練，注重綜合問題、探索問題等類型，使學生對基本問題運用自如，對幾種考查形式了然于心。

編輯 魯翠紅

高考對解析幾何的考查主要包括以下內容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關系、圓錐曲線的定義應用、標準方程的求解、離心率的計算等，而解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關系問題，經常與平面向量、函數與不等式交匯等，考查一些存在性問題、證明問題、定點與定值、最值與范圍問題等，解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大，所以應加強對解析幾何重點題型的訓練。

典例分析：

典例1.已知橢圓■+■=1（0

解析：（1）由題設知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故橢圓方程為■+■=1；

（2）因為M（0，2），所以直線l與x軸不垂直。設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。聯立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因為m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展開整理得3m+2=0，即m=-■。直線l在y軸上的截距為定值-■。

動向解讀：本題考查解析幾何中的定點、定值問題，這是一類綜合性較強的問題，以直線與圓錐曲線的位置關系為載體，以參數處理為核心，需要綜合運用函數與方程多種數學思想方法進行求解。

典例2.已知圓C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過橢圓E：■+■=1（a>b>0）的右焦點，且交圓C所得的弦長為■，點A（3,1）在橢圓E上。

（1）求m的值及橢圓E的方程；（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求■·■的取值范圍。

解析：（1）圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得橢圓E的方程為■+■=1。

（2）■=（1，3），設Q（x，y），則■=（x-3，y-1),設x+3y=n，

則聯立得18y2-6ny+n2-18=0，?駐=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范圍為［-12，0］。

動向解讀：本題考查解析幾何中的取值范圍問題，綜合性較強，需要綜合運用函數、方程、不等式、平面向量等諸多數學知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解，對考生的代數恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求。

典例3.如圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線于M、N兩點，其準線l與x軸交于K點。（1）寫出拋物線的焦點坐標及準線方程；

（2）求證：KF平分∠MKN；

（3）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P、Q，設直線MN的傾斜角為θ，

試用θ表示線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）拋物線焦點坐標為F（1,0），準線方程為x=-1。

（2）設直線MN的方程為x=my+1。設M、N的坐標分別為（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

設KM和KN的斜率分別為k1，k2，顯然只需證k1+k2=0即可。

（3）設M、N的坐標分別為（■，y1），（■，y2），由M，O，P三點共線可求出P點的坐標為（-1，■），由N，O，Q三點共線可求出Q點坐標為（-1，■），

設直線MN的方程為x=my+1。由■

則|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■時，|PQ|min=4

動向解讀：本題考查拋物線的定義、直線與其位置關系等問題，是一道多知識點的綜合性題，正體現了高考數學命題所追求的“在知識交匯點處命題”的原則。

總之，解析幾何是高中數學的主線，解析幾何與解三角形、向量等相關知識的綜合又是高考中的熱點之一，涉及面廣，綜合性強。因此復習時一定要梳理清相關知識，并加強訓練，注重綜合問題、探索問題等類型，使學生對基本問題運用自如，對幾種考查形式了然于心。

編輯 魯翠紅

高考對解析幾何的考查主要包括以下內容：直線與圓的方程、圓錐曲線等，在高考試卷中客觀題主要考查直線斜率、直線方程、圓的方程、直線與圓的位置關系、圓錐曲線的定義應用、標準方程的求解、離心率的計算等，而解答題則主要考查直線與橢圓、拋物線等的位置關系問題，經常與平面向量、函數與不等式交匯等，考查一些存在性問題、證明問題、定點與定值、最值與范圍問題等，解析幾何試題的特點是思維量大、運算量大，所以應加強對解析幾何重點題型的訓練。

典例分析：

典例1.已知橢圓■+■=1（0

解析：（1）由題設知b=c，又a=2■，所以b=c=2，故橢圓方程為■+■=1；

（2）因為M（0，2），所以直線l與x軸不垂直。設直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2）。聯立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，又■·■=0，所以（x1，y1-2）·（x2，y2-2）=0，整理得（k2+1）■+k（m-2）（-■）+（m-2）2=0，因為m≠2，所以2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，展開整理得3m+2=0，即m=-■。直線l在y軸上的截距為定值-■。

動向解讀：本題考查解析幾何中的定點、定值問題，這是一類綜合性較強的問題，以直線與圓錐曲線的位置關系為載體，以參數處理為核心，需要綜合運用函數與方程多種數學思想方法進行求解。

典例2.已知圓C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直線4x-3y-16=0過橢圓E：■+■=1（a>b>0）的右焦點，且交圓C所得的弦長為■，點A（3,1）在橢圓E上。

（1）求m的值及橢圓E的方程；（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求■·■的取值范圍。

解析：（1）圓心C（4，m）到直線4x-3y-16=0的距離■=■，所以m=4或m=-4（舍去）。由AF1+AF2=2a，得橢圓E的方程為■+■=1。

（2）■=（1，3），設Q（x，y），則■=（x-3，y-1),設x+3y=n，

則聯立得18y2-6ny+n2-18=0，?駐=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0，所以-6≤n≤6，故■·■=x+3y-6的取值范圍為［-12，0］。

動向解讀：本題考查解析幾何中的取值范圍問題，綜合性較強，需要綜合運用函數、方程、不等式、平面向量等諸多數學知識以及數形結合、分類討論等多種數學思想方法進行求解，對考生的代數恒等變形能力、化簡計算能力有較高的要求。

典例3.如圖，已知拋物線y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線于M、N兩點，其準線l與x軸交于K點。（1）寫出拋物線的焦點坐標及準線方程；

（2）求證：KF平分∠MKN；

（3）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P、Q，設直線MN的傾斜角為θ，

試用θ表示線段PQ的長度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

解析：（1）拋物線焦點坐標為F（1,0），準線方程為x=-1。

（2）設直線MN的方程為x=my+1。設M、N的坐標分別為（■，y1）（■，y2）

由■，∴y1+y2=4m，y1y2=-4

設KM和KN的斜率分別為k1，k2，顯然只需證k1+k2=0即可。

（3）設M、N的坐標分別為（■，y1），（■，y2），由M，O，P三點共線可求出P點的坐標為（-1，■），由N，O，Q三點共線可求出Q點坐標為（-1，■），

設直線MN的方程為x=my+1。由■

則|PQ|＝|■-■|=■=■=■=4■

又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ，θ∈（0，?仔），∴|PQ|=4■=■

∴θ=■時，|PQ|min=4

動向解讀：本題考查拋物線的定義、直線與其位置關系等問題，是一道多知識點的綜合性題，正體現了高考數學命題所追求的“在知識交匯點處命題”的原則。

總之，解析幾何是高中數學的主線，解析幾何與解三角形、向量等相關知識的綜合又是高考中的熱點之一，涉及面廣，綜合性強。因此復習時一定要梳理清相關知識，并加強訓練，注重綜合問題、探索問題等類型，使學生對基本問題運用自如，對幾種考查形式了然于心。

編輯 魯翠紅