基于l1正則化的勻速運動模糊圖像復原

洪景新，陳 栩

（廈門大學信息科學與技術學院，福建 廈門361005）

由于受到成像系統本身的缺陷、成像過程中傳播介質的雜質，以及相對運動的變化等因素的影響，圖像信息的采集過程難免會對圖像信息造成某些失真和不同程度的降質，這一現象稱為圖像退化.利用數字圖像處理技術，對退化圖像加以改善并復原原圖像信息，這個過程就稱為圖像復原.如今眾多的應用領域對圖像質量的要求都相當高，尤其對精度和清晰度的要求，因此圖像的復原問題愈加具有意義.

復原技術是基于將退化過程模型化并采用逆過程處理模糊圖像，實現圖像的復原.逆濾波算法［1］是最早用于圖象復原的一種標準技術，該算法容易受到噪聲的干擾，噪聲較大時，圖像恢復的效果很差.隨后，Helstrom［2］采用最小均方誤差估計方法，提出了基于維納濾波器的濾波算法，該方法只能針對某個具體圖像設計最優濾波器，對于其他圖像則不一定能達到較好效果.Hunt和Andrews［3］對逆濾波、維納濾波進行了對比研究，并提出了約束最小二乘濾波方法，這是一種基于線性表達的恢復方法，對各種退化圖像的恢復具有較好的適應性.近幾年，也出現了將稀疏表示［4］運用到圖像復原中的研究，使模糊圖像的恢復效果不斷改善.

本文首先闡述圖像復原的一般退化模型與勻速運動的特性，從中推導出勻速運動模糊的退化矩陣.然后，從求解大型線性方程組的角度，分析常見的約束最小二乘濾波算法存在的問題，說明l1正則化在圖像復原上的優勢，提出一種基于l1正則化的復原算法，并利用基追蹤算法對正則化問題進行求解.最后對不同模糊尺度的圖像進行仿真實驗，大量的實測數據和圖像表明，本文算法對較寬范圍的模糊尺度都有著很好的復原效果，同時能有效抑制振鈴效應.

1 模糊圖像退化模型

1.1 一般退化模型

一般退化過程可以建模為一個退化函數和一個加性噪聲項的級聯［1］，其退化模型可以表示為：

其中，y，x∈Rm分別為模糊圖像和原圖像，H∈Rm×m是退化過程的表示矩陣，n∈Rm為退化過程中的加性噪聲.不考慮加性噪聲時，退化模型可簡化為：

此時，模糊圖像y∈Rm可看作是原圖像x∈Rm在H下的線性投影，而圖像去模糊的過程就是在退化函數H∈Rm×m已知或可測量的前提下，從模糊圖像y∈Rm中求解未知的原圖像x∈Rm.因此，去模糊的過程等價于求解線性逆問題，也可理解為從模糊圖像重構出原圖像的過程.

1.2 勻速運動模糊圖像退化模型

運動模糊，是圖像退化的一個主要形式，是由于在圖像信息采集時，目標物體與成像裝置的相對位移而產生的一種退化問題，例如在運動物體上（飛機、宇宙飛行器等）拍攝外界的照片或拍攝高速運動物體的照片均存在運動模糊問題.

勻速運動模糊是最基本的運動退化，各類復雜的運動退化模型可分解為多個勻速運動退化模型.假設成像時間T內，目標物體與成像裝置以勻速v做相對運動，選取圖像中一行像素點g（i），i＝0，1，…，n，將成像時間T劃為L個等長的單位時間t，且在0時刻，令物體上點f（0）投影在像素點g（0）上，若目標物體每單位時間移動一個像素，則kt時，物體上點f（0）的投影位置為像素點g（kt）.由此不難看出，每個像素點接受的信息為成像時間內物體移動范圍的各點的加權平均，即：

其中，L即模糊尺度.令模糊路徑上的點擴散函數為：

則式（3）可寫成離散卷積的形式：

若用矩陣形式表達，即可得到退化矩陣：

2 l1－min圖像復原算法

2.1 約束最小二乘算法

求解線性方程的過程就是求解最小二乘問題.常見的最小二乘算法［5］是求解線性逆問題的經典算法，其中心思想是通過最小化估算數據與實際數據之間的誤差的平方來尋找問題的最優解，其函數表達式為：

在圖像復原中，矩陣H∈Rm×m一般是病態的，最小二乘的解對誤差（舍入誤差或其他誤差）很敏感，導致求得的解往往不是理想的，進而使得復原效果很差，最小二乘也因此變得沒有意義.為了解決這個問題，可通過正則化來約束最終的解.

正則化的基本思想是用一族與不適定問題有著近似解的適定問題來逼近原問題.選擇合適的正則化方法，可確保我們得到理想的解.約束最小二乘算法中通常采用Tikhonov正則化，對式（7）進行Tikhonov正則化可得：

式（8）即為常見的約束最小二乘算法.式中第一項為殘差約束項，用以控制解的逼近程度，第二項為正則約束項，用以約束信號的能量.正則參數λ＞0用于平衡精確度與噪聲敏感度.L是微分算子，一般選用拉普拉斯算子.約束最小二乘算法屬于基于l1范數的正則化，實踐表明，當方程y＝Hx中的矩陣H與向量y有擾動時，約束最小二乘法的解往往不穩健.

2.2 l1 正則化

l1正則化是采用l1范數作為了約束條件，來求解最小二乘問題的正則化方法.因此用l1范數作為能量約束取代式（8）中的正則約束項，則可以得到：

其中，l1正則約束項是稀疏約束條件.l1范數指是向量中各元素的絕對值之和，若個別元素出現擾動，對整體影響相比l2范數較小.因此，不同于基于l2的正則化形式，基于l1的正則化對異常值較不敏感［6］.在圖像處理中，色塊之間往往有尖銳的邊緣，會出現突變的異常值，因此基于l1的正則化更適用于圖像處理.但同時，由于l1范數的稀疏約束條件，使得求解出來的x∈Rm變稀疏.而對于圖像這類自然信號來說，幾乎所有的像素灰度值都是非零的，所以要對圖像進行稀疏變換.

圖像的稀疏表示是基于 Mallat等［7］提出的信號在過完備庫上的分解.根據稀疏表示理論，若存在一個過完備字典W，使圖像或信號可以表示為：

若向量α∈Rm中只有很少的大系數，則稱圖像或信號x∈Rm是可稀疏的.若α∈Rm只有K個非零元素，則稱α∈Rm為圖像或信號的K稀疏表示.因此，式（9）可轉化為：

常見的稀疏變換有傅里葉變換、離散余弦變換（DCT）、小波變換等.本文采用DCT變換對圖像進行稀疏表示.

3 基追蹤算法

基于l1正則化的線性規劃問題的常見求解方法有基追蹤（BP）算法和迭代閾值算法（IST）等，本文選用BP算法進行求解.

BP方法［8］是Chen等提出的一種信號稀疏表示法.它尋求從過完備的函數（基）集合中得到信號的最稀疏的表示，即用盡可能少的基盡可能精確地表示原信號，從而獲得信號的內在本質特性.

BP算法的思想是通過極小化l1范數來獲得最稀疏的解.即求解下式：

由文獻［9］可知，極小l1范數最優問題與線性規劃問題等價.可通過等價變換m?2n；x?（u，v）；c?（1，1）；A?（Φ，－Φ）；b?s，使其重構成如式（13）所示的標準線性規劃問題：

其中，x∈Rm是一個重新定義的向量.因此，BP問題的解可以通過求解線性規劃問題來獲得.線性規劃問題的通常解法有單純形法、內點法.本文采用基于內點法的原－對偶障礙算法（primal－dual log－barrier algorithm）求解線性規劃問題：

其中，γ和δ為正則化系數，在不同的實際問題，對其進行相應的初始化.對于正則化形式如式（14）的線性規劃問題，原－對偶障礙算法的求解流程圖如下：

圖1 原－對偶障礙算法流程Fig.1 The flow chart of primal－dual log－barrier algorithm

原－對偶障礙算法的具體算法步驟如下：

Step 1：設置參數：可行性容差FeaTol、對偶間隙容差PDGapTol和正則化系數γ，δ.

Step 2：設置邊界：x＞0，y，z＞0，μ＞0，初始化k＝0.

Step 3：循環：

（i）t＝c＋γ2x－z－ATy，r＝b－Ax－δ2y，v＝μe－Zx，D＝（X－1Z＋γ2I）－1，其中，X，Z是分別由x，z構成的對角矩陣，e是單位向量.

（ii）從（ADAT＋δ2I）Δy＝r－AD（X－1v－t）中求解Δy，并計算

Δx＝DATΔy＋D（X－1v－t），

Δz＝X－1v－X－1ZΔx.

（iii）計算原步長和對偶步長ρp，ρd并更新變量

ρp＝0.99×max｛ρ：x＋ρΔx≥0｝，

ρd＝0.99×max｛ρ：z＋ρΔz≥0｝，

x＝x＋ρpΔx，y＝y＋ρdΔy，z＝z＋ρdΔz，

μ＝（1－min（ρp，ρd，0.99））μ.

（iv）k＋＋.

Step 4：終止條件：

4 實驗設計與結果分析

為了驗證l1－min圖像復原算法對勻速運動模糊圖像的去模糊效果，本文從視覺效果和客觀指標評價兩方面設計實驗，并選用經典維納濾波算法和約束最小二乘算法進行比較.實驗中，圖像選擇分辨率為256×256的標準灰度圖片，根據勻速運動圖像退化模型，生成退化矩陣分別對圖像進行退化處理.模糊尺度L＝50的退化效果如圖2所示：

圖2 實驗圖像和水平運動模糊退化圖像Fig.2 Original image and horizontal motion－blurred image

4.1 視覺效果

圖3為標準Lena和Peppers圖像在模糊尺度L＝50下3種算法的復原圖像.圖4為標準Cameraman圖像在不同模糊尺度下本文算法的復原圖像.從圖3實驗結果可以清楚看到，3種復原算法都使圖片質量相比退化圖像得到一定的改善.顯然，維納濾波圖像效果最差，圖像模糊嚴重，可以看到很多重影.最小二乘算法與l1－min算法的恢復圖像較為清晰.不過，從放大圖像可看出，最小二乘算法的恢復結果帶有振鈴現象，而本文算法恢復的圖像在完整地保存了邊界信息的同時幾乎看不出振鈴現象.從圖4實驗結果可以看出，本文算法在不同模糊尺度下，都有良好的復原效果且隨模糊尺度的增長，復原效果只有少量下降.

圖3 不同算法的復原效果對比，模糊尺度L＝50Fig.3 Restoration comparison of different algorithms with blur length of 50

圖4 不同模糊尺度下本文算法復原效果對比Fig.4 Restoration comparison of the proposed algorithm with different blur length

4.2 客觀指標評價

客觀指標評價選取灰度平均梯度值（gray mean grads，GMG）［10］和結構相似指數（structural similarity index measurement，SSIM）［11］作為衡量復原圖像的標準.GMG屬于無參評價，它能較好反映復原圖像的對比度和紋理變化特征，其值越大表示圖像越清晰，圖像質量越好.SSIM是有參評價，它可以衡量復原圖像與原圖像的相似度，其值越高表示2幅圖像越相似.

圖5為標準的Peppers圖片，在不同退化程度下，3種算法的復原圖像的評價指標對比.其中，本文算法與最小二乘算法默認迭代20次.圖中的實測數據可以看出，3種算法下復原圖像相比退化圖像的客觀指標都有所提高，l1－min圖像復原算法在各退化程度下的兩種指標都優于其他算法.在不同模糊尺度下結構相似指數SSIM表明l1－min圖像復原算法的復原圖像在結構上比其他算法更相似性于原圖.而在GMG上，本文算法復原圖像的清晰度的優勢更大.其中維納濾波算法隨模糊尺度的增長GMG值逐漸降低，而本文算法與最小二乘算法隨模糊尺度的增長相對比較穩健，但l1－min算法明顯維持在更好的水平上.

圖5 實驗中不同算法的評價指標Fig.5 Evaluation criteria of different algorithms in experiment

5 結 論

本文在最小二乘算法的基礎上，用l1范數代替l2范數，再引入BP算法精確求解l1正則化的線性規劃問題，提出一種基于l1－min的勻速運動模糊圖像復原算法.算法對較寬的模糊范圍下的退化圖像都可以獲得一個較清晰的圖像復原效果，且能有效抑制約束最小二乘算法中的振鈴現象.但在個別特殊模糊尺度下，算法恢復出來的圖像的質量突降，如圖4中模糊尺度80下的復原圖像中出現的波紋現象.因此認為下一步工作應探討和研究這些特殊模糊尺度導致圖像質量下降的原因，爭取改善圖像質量.

［1］Gonzalez R C，Woods R E.岡薩雷斯數字圖像處理［M］.北京：電子工業出版社，2003.

［2］Helstrom C W.Image restoration by the method of least squares［J］.JOSA，1967，57（3）：297－303.

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