低維Hom-Poisson代數的分類

馬鳳敏，倪嘉琪，魏 竹，張慶成

(1.河北工業職業技術學院基礎部，河北 石家莊 050000；2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

低維Hom-Poisson代數的分類

馬鳳敏1，倪嘉琪2，魏 竹2，張慶成2

(1.河北工業職業技術學院基礎部，河北 石家莊 050000；2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

運用待定系數法確定了復數域上的二維和三維非Abel型Poisson代數的自同態，進而對相關的非Abel型的Hom-Poisson代數進行了分類.

Hom-Poisson代數；自同態；分類

代數形變理論最早由M.Gerstenhaber提出.[1]Hom-代數是代數形變理論中的一類，文獻[2-4]引入了Hom-代數的概念，并進行了系統研究.文獻[5]提出了Poisson代數的概念，給出了二維與三維Poisson代數的分類，文獻[6]把Poisson代數推廣為Hom-Poisson代數，并進一步研究其結構，文獻[7]給出了一類廣義李代數的Engel定理.本文利用文獻[5]中二維與三維Poisson代數的分類，通過待定系數法，確定了二維與三維非Abel型Poisson代數的所有自同態，從而實現了二維與三維非Abel型Hom-Poisson代數的分類.

1 二維Hom-Poisson代數的分類

定義1[2]設L是復數域上的線性空間，[-，-]是L上的二元雙線性運算，線性映射α：L→L滿足α([x，y])=[α(x)，α(y)]，?x，y∈L，則稱(L，[-，-]，α)是一個Hom-代數.

定義2[5]Poisson代數L是一個向量空間，在其上定義了兩種運算：

(1) (L，[-，-])是一個李代數，這里[-，-]稱為Poisson括積；

(2) (L，·)是一個交換的結合代數.

且上述兩個運算滿足Leibniz等式：[X·Y，Z]=X·[Y，Z]+[X，Z]·Y，?X，Y，Z∈L.

定義3[6]設(L，[-，-]，·，α)是復數域上的具有兩個運算的Hom-代數，其中(L，[-，-]，α)是Hom-李代數，(L，·，α)是Hom-結合代數.如果L滿足等式：[X·Y，α(Z)]=α(X)·[Y，Z]+[X，Z]·α(Y)，?X，Y，Z∈L，則稱L是復數域上的一個Hom-Poisson代數.

引理1[6]設(L，[-，-]，·)是一個Poisson代數，α：L→L是L上的一個自同態，令[X，Y]α=α([X，Y])，X°αY=α(X·Y)，?X，Y∈L，則(L，[-，-]α，°α，α)是Hom-Poisson代數.

引理2[5]設(L，[-，-]，·)是一個Poisson代數，e1，e2是L的基，則二維非Abel型的Poisson代數只有一種類型：[e1，e2]=e2，且基向量的其余括積與點積均為零.

定理1 設(L，[-，-]α，°α，α)是一個Hom-Poisson代數，則二維非Abel型的Hom-Poisson代數只有以下兩種：

(1) 基向量的所有括積與圈積均為零；

(2) [e1，e2]α=ke2(k≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零.

證明 由引理2有[e1，e2]=e2，對于Poisson代數的自同態α有

α(ei)·α(ej)=α(ei·ej)，[α(ei)，α(ej)]=α([ei，ej])(i，j=1，2)，

即有

k21=0，k11k22-k12k21=k22.

因此

2 三維Hom-Poisson代數的分類

引理3[5]設(L，[-，-]，·)是一個Poisson代數，e1，e2，e3是L的基，則三維非Abel型的Poisson代數有9種類型：

(1)e1·e2=γe3，[e1，e2]=e3；

(2)e1·e1=e3，[e1，e2]=e3；

(3)e1·e1=α2e3，e1·e3=αe3，e3·e3=e3，[e1，e2]=e2；

(4)e1·e1=e3，[e1，e2]=e2；

(5) [e1，e2]=e2；

(6)e1·e3=e1，e2·e3=e2，e3·e3=e3，[e1，e2]=e2；

(7) [e1，e2]=e2，[e1，e3]=αe3(α≠0)；

(8) [e1，e2]=e2+e3，[e1，e3]=e3；

(9) [e1，e2]=2e2，[e1，e3]=-2e3，[e2，e3]=e1.

其中基向量的其余括積與點積均為零.

定理2 設(L，[-，-]α，°α，α)是一個Hom-Poisson代數，則三維非Abel型的Hom-Poisson代數有以下17種：

(1) 基向量的所有括積與圈積均為零；

(2) [e1，e2]α=ke3，e1°αe2=γke3(k，γ≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(3) [e1，e2]α=ke3，e1°αe1=ke3(k≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(4)e3°αe3=e3，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(5) [e1，e2]α=ke2(k≠0)，e3°αe3=e3，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(6)e1°αe1=α2e3，e1°αe3=αe3，e3°αe3=e3(α≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(7) [e1，e2]α=ke2，e1°αe1=α2e3，e1°αe3=αe3，e3°αe3=e3(k，α≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(8)e1°αe1=ke3(k≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(9) [e1，e2]α=ke2，e1°αe1=e3(k≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(10) [e1，e2]α=k2e2，e1°αe3=e1+k1e2，e2°αe3=k2e2，e3°αe3=e3(k2≠0)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

(11) [e1，e2]α=k1e2+k2e3，[e1，e3]α=k3e2+k4e3(km不同時為零，m=1，2，3，4)，且基向量的其余括積與圈積均為零；

證明 對于Poisson代數的自同態α有α(ei)·α(ej)=α(ei·ej)，[α(ei)，α(ej)]=α([ei，ej])(i，j=1，2，3)，由引理3知：

(1)e1·e2=γe3，[e1，e2]=e3，即有k31=k32=0，k11k12γ=k21k22γ=0，(k11k22+k12k21-k33)γ=0，k11k22-k12k21=k33.因此當γ=0時，

否則

(5) [e1，e2]=e2，即有k21=k23=0，k11k22=k22，k11k32=k12k31，k22k31=0.因此

(7) [e1，e2]=e2，[e1，e3]=αe3(α≠0)，即有k21=k31=0，k11kmm=kmm(m=2，3)，αk11k23=k23，k11k32=k32α.

因此當α=1時，

當α=-1時，

(8) [e1，e2]=e2+e3，[e1，e3]=e3，即有k21=k31=0，k22+k32=k11k22，k11(k22+k23)=k23+k33，k11k32=k32，k11(k32+k33)=k33.因此

(9) [e1，e2]=2e2，[e1，e3]=-2e3，[e2，e3]=e1，即有k12k23-k13k22=2k21，k11kmm-k1mkm1=kmm(m=2，3)，k13k21-k11k23=k23，k13k32-k12k33=2k31，k12k31-k11k32=k32，2(k21k32-k22k31)=k12，2(k23k31-k21k33)=k13，k22k33-k23k32=k11.因此

[1] GERSTENHABER M.On the deformation of rings and algebras[J]. Ann Math，1964，79(1)：59-103.

[2] LARSSON D，SILRESTROV S D.Quasi-Hom-Lie algebras，central extensions and 2-cocycle-like indentities[J].J Algebra，2005，288(2)：321-344.

[3] MAKHLOUF A，SILVESTROV S D.Hom-algebra structures[J].J Gen Lie Theory Appl，2008，2(2)： 51-64.

[4] HARGWIT J T，LARSSON D，SILRESTROV S D.Deformation of Lie algebras usingσ-derivations[J].J Algebra，2006，295(2)：314-361.

[5] GOZE M，REMM E.Poisson algebras in terms of non-associative algebras[J].J Algebra，2008，320：294-317.

[6] YAU D.Non-commutative Hom-Poisson algebra[J/OL].[2012-09-24].arXiv：1010.3408v1，2010.

[7] 王圣祥，董麗紅.一類廣義李代數的Engel定理[J].東北師大學報：自然科學版，2013，45(4)：36-40.

Abstract：The authors determined the two dimensional and three dimensional endomorphism of Poisson algebras which are not abelian on complex field using undetermined coefficients method，and then classified the Hom-Poisson algebras which are not abelian.

Keywords：Hom-Poisson algebra；endomorphism；classification

(責任編輯：陶 理)

Classification of low-dimensional Hom-Poisson algebras

MA Feng-min1，NI Jia-qi2，WEI Zhu2，ZHANG Qing-cheng2

(1.Department of Basic，Hebei College of Industry and Technology，Shijiazhuang 050000，China；2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

1000-1832(2014)03-0001-06

10.11672/dbsdzk2014-03-001

2013-05-03

國家自然科學基金資助項目(11171055)；吉林省自然科學基金資助項目(20130101068)；吉林省教育廳“十一五”課題(2010331).

馬鳳敏(1966—)，女，副教授，主要從事李理論研究；通訊作者：張慶成(1960—)，男，博士，教授，主要從事李理論研究.

O 152.5 [學科代碼] 110·21

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