有關向量組的線性相關性命題的思考

蘭華龍

（成都信息工程學院銀杏酒店管理學院，四川 成都 600007）

有關向量組的線性相關性命題的思考

蘭華龍

（成都信息工程學院銀杏酒店管理學院，四川 成都 600007）

向量組的線性相關性概念內容豐富，加上與其等價的命題，它們將線性代數中的部分重要知識點有機地聯系在一起，這對于解決相關問題往往能起到行之有效的作用，本文結合題目，從不同的角度出發給出多種解答方法，力求更深入理解向量組的線性相關性概念.

向量組；線性相關性；秩；等價

向量組的線性相關性概念及應用是學習線性代數知識的一個重點，也是一個難點，正確理解向量組的線性相關性概念和與其等價命題的關系，是學好此部分知識內容的關鍵

定義 對于向量組α1，α2，…,αm(m≥1)，若存在不全為零的數k1,k2,…,km使k1α1+k2α2+…+kmαm=0成立，則稱向量組α1，α2，,…,αm線性相關；

若當且僅當k1=k2=…=km=0時，k1α1+k2α2+…+kmαm=0才成立，則稱向量組α1，α2，…,αm線性無關.

根據線性代數相關知識，若設A=(α1，α2，…,αm)(m≥1),可知向量組α1，α2，…,αm線性相關定義與以下命題等價：

(1)齊次線性方程組AX=0有非零解；

(2)向量組的(α1，α2，…,αm)(m≥1)秩小于m，即R(A)

(1)齊次線性方程組AX=0只有零解；

(2)向量組的(α1，α2，…,αm)(m≥1)秩等于m，即R(A)=m

下面利用向量組的線性相關性概念及其等價命題，選擇不同的切入點，,串聯相關知識點，采用不同的方法給出題目的多種解答

題目1 已知:向量組a1,a2,a3線性無關，若b1=a1+a2, b2=a2+a3,b3=a3+a1

證明向量組b1,b2,b3線性無關.

證法1 用向量組線性無關定義證明

設有一組數x1、x2、x3，使得x1b1+x2b2+x3b3=0，

即x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0，整理為

因為a1,a2,a3線性無關，故有

故此方程組只有零解x1=x2=x3=0.所以向量組b1,b2,b3線性無關.

證法2 利用矩陣的秩證明

又由a1,a2,a3線性無關可得R(a1,a2,a3)，且的秩也等于3，所以R(b1,b2,b3)=3，故向量組b1,b2,b3線性無關.

證法3 利用反證法證明

假設向量組b1,b2,b3線性相關，

即線性方程組x1b1+x2b2+x3b3=0有非零解，此時實數x1, x2,x3不全為零

因為實數x1,x2,x3不全為零，所以實數(x1+x2),(x2+x3),(x3+x1)不全為零,故向量組a1,a2,a3線性相關，這與已知a1,a2,a3線性無關矛盾，所以假設不能成立，只能是向量組b1,b2,b3線ci表示性i無關.

證法4 利用兩個矩陣等價證明（ci表示矩陣第i列）

因為a1,a2,a3線性無關，r(b1,b2,b3)=r(a1,a2,a3)=3

所以向量組b1,b2,b3線性無關.

證法5 利用兩個向量組等價證明

因為b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1

即向量組b1,b2,b3能由向量組a1,a2,a3線性表示從而有即向量組a1,a2,a3可以由向量組b1, b2,b3線性表示，所以向量組a1,a2,a3與向量組b1,b2,b3等價，故向量組b1,b2,b3線性無關.

題目2已知：向量組a1,a2,a3線性無關，向量組a1,a2,a3, a4線性相關，向量組a1,a2,a3,a5線性無關，求：向量組a1,a2,a3, a4-a5的秩.

分析：因為向量組a1,a2,a3線性無關，向量組a1,a2,a3,a4線性相關，所以存在不全為零的實數k1,k2,k3，使得a4=k1a1+ k2a2+k3a3

解法1 利用向量組線性相關性概念

因為向量組a1,a2,a3線性無關，向量組a1,a2,a3,a4線性相關，向量組a1,a2,a3,a5線性無關，所以a5不能由a4線性表示，（否則a1,a2,a3,a4線性無關）從而可知(a4-a5)不能由a4線性表示，故向量組a1,a2,a3,a4-a5線性無關，所以r(a1,a2,a3,a4-a5)=4.

解法2 利用等價向量組的秩相等

因為a4=k1a1+k2a2+k3a3k1,k2,k3不全為零

所以r(a1,a2,a3,a4-a5)=r(a1,a2,a3,a5)=4.

解法3 利用反證法

因為a4=k1a1+k2a2+k3a3k1,k2,k3不全為零

假設向量組a1,a2,a3,a4-a5線性相關，但向量組a1,a2,a3線性無關

則有a5-a4=x1a1+x2a2+x3a3

從而有a5=(x1+k1)a1+(x2+k2)a2+(x3+k3)a3及a5能由向量組a1,a2,a3線性表示，這與向量組a1,a2,a3,a5線性無關矛盾，故假設不能成立.

所以向量組a1,a2,a3,a4-a5線性無關r(a1,a2,a3,a4-a5)=4.

解法4 利用向量組線性無關定義

設有實數x1,x2,x3,x4使得

因a4=k1a1+k2a2+k3a3代入（1）整理得

由于向量組a1,a2,a3,a5線性無關，所以

解得x1=x2=x3=x4=0故向量組a1,a2,a3,a4-a5線性無關.

所以r(a1,a2,a3,a4-a5)=4.

從上述問題的解答可以看出，向量組線性相關性命題中往往需要將向量組線性相關性定義、線性方程組有解的充要條件、向量組的線性組合、矩陣的初等變換性質、向量組等價、等價矩陣等知識點有機地串聯起來，使學生所學知識得到進一步深化，力求做到融會貫通，逐漸培養學生的發散思維和創新能力.

〔1〕吳贛昌.線性代數[M].中國人民大學出版社，2012.

O151

A

1673-260X（2014）11-0001-02