北師大版小學數學教材中數學史料研究

李林波

數學新課程改革已有10余年，但關于北京師范大學版小學數學教材（下文簡稱北師大版）中數學史料的系統研究還沒有。而天津、北京、山西、新疆等全國很多省市的部分區縣小學都在使用北師大版小學數學教材，那么此版本教材（12冊）中數學史料的分布和呈現方式如何？數學史料的內容選擇和設計模式又如何？對這些內容的整理、分析和研究無論是對橫向分析還是縱向研究都將是一個補充，對新教材編寫者和使用者將具有重要的參考價值。

一、 數學史料的內容分類及其數量分布

教材中數學史料的內容主要分為數學家解決問題的故事（如金冠之謎）、相關數學知識史料（如小數的歷史）、數學思想方法（如“篩法”史料的介紹）、經典數學問題（如雞兔同籠問題）、數學名題（如哥德巴赫猜想）和其他文化等六大類。其中“其他文化”主要是指音樂、繪畫、建筑、天文、計算機、商業等生活領域，側重介紹數學發展與社會生活各方面的關系。比如，黃金分割比：教材中簡單介紹了黃金比在建筑、繪畫和優選法等方面的應用。

通過統計發現，首先，隨著年級的升高，教材中安排的數學史料的數量在增加，而且在五、六年級已經開始涉及數學思想方法（6處）、經典數學問題（1處）、歷史名題（1處）等。其次，教材中大部分數學史料屬于相關數學知識史料（共28處），可見教材編寫者比較注重以此形式促進學生對相關數學知識的發展過程進行初步的了解和認知。第三，教材中介紹了數學家解決問題的故事（2處），如古希臘數學家埃拉托塞尼（Eratosthenes）創造“篩法”，在自然數中尋找質數。在此版本的教材中并未選用數學家的生平和勵志故事，比如數學家在創造數學成果的過程中所遇到的困惑、挫折、失敗以及不屈不撓的精神等。

二、 數學史料的設計模式

小學數學教材中數學史料的設計模式反應了如何將其負載的深層的文化價值進行體現，以充分發揮其在小學數學課程中的教育教學功能。

通過對此版本教材包含的數學史料的分析，總結出兩種設計模式：附加式包含和隱性融入。附加式包含模式的表現形式之一為由數學知識引出數學史料，即教材在闡述數學知識時聯想到有關的數學史料，繼而在教學內容完成之后對相關史料進行簡單介紹或說明。例如四年級下冊完成“認識方程”這章全部學習任務之后，在數學萬花筒中介紹了方程的簡短史料。附加式包含模式的另一種表現形式為閱讀材料式數學史，即教材中某章節授課任務后介紹的數學史料和所講內容稍有聯系或無聯系。比如四年級上冊在“認識更大的數”這章最后給出數字的發展，從用石子或結繩記數到印度—阿拉伯數碼的廣泛使用。此時，數學史作為知識的注解或擴充，目的是讓學生在學習知識時了解一些相關的數學史料，使他們的數學學習由課堂延伸到課外，開闊視野，豐富知識。而隱性融入模式，具體表現形式是由數學史料引出學習內容，此時數學史料已非邊緣化于學習內容。如五年級上冊82、83頁，在“點陣的規律”一節中，教材中將古希臘畢達哥拉斯學派創造的形數理論巧妙地和學生們已有學習經驗相結合，讓他們在探索中發現正方形數、三角形數、長方形數的特點以及它們之間的關系。

三、 數學史料的呈現方式

教材中數學史料的呈現方式主要有兩種：“文字”（共19處，占55.9%）和“圖文并茂”（共15處，占44.1%）。“文字”形式主要是指僅用簡短的文字來闡述相關的史料，如“神奇的質數”“數的擴充”等。“圖文并茂”形式是指史料中包含文字和圖片。此種形式又細分為“文字為主”（11處，占73.3%）“圖片為主”（2處，占13.3%）“連環畫”（2處，占13.3%）。比如尋找質數的篩法的介紹中，左側是文字的說明，右側附以圖片，促進學生對此方法的直觀理解。此類呈現方式學生主要是通過文字來了解相關的史料內容。另外，在“數字的演變過程”中，是以圖片為主，輔以必要的文字說明，學生主要是通過圖片來了解數字的演變過程。而“計算工具的演變”則是以一組圖片來講述一個完整的小故事，學生通過連環畫來了解計算工具發展的每個階段。這兩種呈現形式主要考慮到了所選史料的題材和小學生的認知特點。

在版面設計上，此版本教材主要是在正文下方、練習題最后直接呈現，并用了藍色的標框框出，且添加了“數學閱讀”“你知道嗎”“數學萬花筒”等這樣明顯的字眼，使數學史料凸顯出來，以引起讀者的注意。只有極少數是在教材正文中闡述。

四、 數學史料所屬國度

本研究將教材中所選用的數學史料所屬國度分為：單個國家（即該史料中只涉及一個國家，如古埃及的分數表示法。）、多個國家（指數學史料中包含兩個及以上國家，比如，計算工具的演變。）和不凸顯國度（指數學史料中沒有提及國度，比如數的擴充。）其中單個國家中又細分為中國、古希臘、古埃及、德國。

經過整理發現，除了5處不凸顯國度外，其余均體現了一定的地域性，其中以我國古代的數學史料為編寫重點。在34處數學史料中，我國占了16 處，而且“多個國家”項包含的8處史料中有7處涉及中國，在數量上大大超過了其他國家。編者的主要目的可能在于通過此形式來提高學生們的民族自豪感。數學多元文化則主要體現在數學概念的發展過程中，比如“圓周率的歷史”從最原始的測量到用多邊形逼近，從“布豐投針”到計算機的貢獻，介紹了這個概念在不同時代、不同文化中的傳承和發展。但在此版本中反應多元文化的數學史料還較少。

五、 反思與建議

從上面的分析我們可以看出， 數學教材中的數學史料從篇幅容量的增加、內容選擇種類的豐富性、以及呈現方式的多樣性和設計模式的創新上都進行了大膽的嘗試，這較之以前的小學數學教材來說有了較大的進步。但也存在一些問題，例如，體現數學思想方法的數學史料較少、分布不均均衡、設計模式的合理選擇等，為了解決上述存在的問題， 我們提出以下幾點建議。

1.豐富數學史料的內容選擇。本教材中所涉及的數學史料主要包括數學概念、數學符號的產生和發展、歷史上的數學著作、數學家、數學工具演變等，但是從小學數學所涉及的知識內容來看，還有很多相對應的數學思想方法史料，如古埃及的倍乘法、試錯法、中國古代的盈虧術等等，這些史料所凝結的智慧如果能采用恰當的形式進行展現必將促進他們對現代算法、算理的理解。另外，教材中還可以增加數學家的勵志故事來激勵孩子們努力學習，熱愛數學。例如，歐拉在雙目失明后憑借超人的記憶力和心算能力仍創造了豐富的數學成果等。

2.適當增加教材中數學史料的數量。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在實驗稿的基礎上在教材編寫建議中進一步提出“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中”，這是對“數學是人類的一種文化”理念的深化。而數學史是數學文化的載體，那么在教科書中體現數學文化教育的理念，一個重要的途徑是增加數學史料。如何把這些史學形態的智慧結晶采用一種恰當的形式或手段展現或傳遞給學生，這是需要進一步深入研究和解決的問題。

3.數學史料設計模式的選擇

當談及數學史料與數學教材、數學課程時，相關研究總是會強調“要達到隱性融入”，這無可厚非。但我們必須認識到附加式包含或顯性融入是數學史料進入數學教學的必經階段。在此階段，要根據小學教材中所選數學史料的內容或性質不同，而加以區別對待。比如數學家的生平和勵志故事；數學在計算機、藝術、建筑等領域的廣泛應用；數學知識、概念的簡單注解等都比較適合采用直接融入，以使學生對所學數學知識的注解、擴充以及背景有所了解（比如方程簡史；分數，小數的歷史。）即可。如果所選擇的數學史料中涉及深層的數學思想方法（比如圓周率的發展史料、形數理論等），這就需要一線教師、數學教育研究者、數學史研究者和教材編寫者共同努力，將相應的思想、方法和小學數學知識進行整合，力求能夠達到將數學史料間接融入教材或教學。因此，數學史料采取哪一種設計模式進入小學教材需根據材料的種類和性質來判斷，而不是一味的強調隱性融入。

參考文獻

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【責任編輯：陳國慶】endprint