影響數學問題求解過程的因素探析

【摘要】數學知識認知結構、啟發方法、元認知能力和信念系統是影響問題求解過程的主要因素，這些因素之間以多種方式進行交互；其中，數學知識認知結構、啟發方法是解題的基礎，元認知能力是關鍵，同時信念系統通過影響認知行為促進或阻礙問題解決。

【關鍵詞】數學問題求解過程數學知識認知結構啟發方法元認知能力信念系統

【中圖分類號】 G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）05C-0137-03

一、問題背景

有關數學問題解決國內外已有了大量的研究。最初對數學問題解決的研究主要集中在數學問題解決過程及模式的建構和應用方面，近年來越來越多的學者關注數學問題解決內在機制的研究以及成功解題因素的識別。通過這些研究，人們越來越多地認識到數學問題解決過程是一個復雜的系統工程，然而，目前仍然缺乏系統的研究，一些觀點的理論與實踐脫節或者偏頗。

為了對影響問題求解因素有更全面的掌握，筆者結合自身的解題經驗和對學生解題案例的大量觀察分析，對問題解決過程做了進一步的探究，從中挖掘出影響問題求解的主要因素并且探討了這些因素如何影響問題求解過程。我們期望該研究能夠對數學問題解決的教學有所思考和幫助。

二、數學問題求解過程

（一）問題和問題求解

1988年第六屆國際數學教育大會的一份報告指出：“一個數學問題是一個對人具有智力挑戰特征的、沒有現成的直接方法、程序或算法的未解決的情境。”這類題目可以稱之為“問題”。而“問題求解”則是指：綜合地、創造性地運用各種數學知識去解決那種并非單純練習題式的問題，包括實際問題和源于數學內部的問題。

（二）數學問題求解的階段

數學教育家Polya在他的著作《怎樣解題》中給出求解問題的四個階段:理解問題，擬定計劃，實施計劃，檢查回顧。他描述了解決問題的過程是一個線性的從一個階段到下一個階段的發展過程，在解決問題時，第一，我們必須弄清楚是什么問題，什么是必需的條件，我們必須了解各種條件的關系以及未知數據是如何與已知條件相關的。第二，制定一個計劃以獲得解決問題的方案。第三，執行原先擬定的計劃。第四，檢查回顧完成的解題過程并討論它。

（三）數學問題求解過程的分析

根據Polya的解題四個階段，下面我們來分析數學解題過程。

1.理解問題階段，解題者在理解問題情境時通常伴隨著強烈的認知參與。首先是問題的信息經過解題者感知后進入短時記憶（信息加工過程中的“工作區”），其中的部分信息經過復述和編碼，儲存到長時記憶中完成信息輸入。接著是回憶與問題有關的概念、數學事實、關鍵詞、畫出草圖和列表，進一步弄清問題的條件、結論及其差異，進而抽取出問題的邏輯結構以理解問題。同時回憶與問題相關的數學問題圖式，經比較、匹配，識別出數學問題類型。對于一些陌生問題，解題者還需要深化整合、靈活遷移已有的數學問題圖式或者建立新的問題圖式，雖然不同成功解題者完成這個階段花費的時間不同，但是為了試圖理解問題他們都必須合理地構造問題的表征或圖式。這時解題者已有的數學知識、解題經驗、思想方法、解題策略等是他們表征問題情景的基礎。

在這個階段，解題者還顯示出信心、好奇心，他們心里會自我提問：我該如何表示這個問題?這是什么意思?問題看起來像什么？這些都明顯有助于他們使用畫圖、表格等去邏輯地構建問題情境，并自發地訪問和提取相應的數學知識、事實和算法。

2.擬定計劃階段是指回憶是否有該問題的相近或相似解決方法。如果有，則通過借用該解決方法而提出解題思路；如果沒有，則在數學認知策略、思想方法的指導下通過變換題目條件和結論等方式構思出問題的解題方案。在這個階段同時還要運用有關知識與推理規則想象各種解題思路并假設一個可行的解決方案。一般情況下，如果這個解決方案被視為潛在的成功方法，解題者就移到下一個實施計劃階段，否則再次進行理解問題、擬定計劃階段，直到一個可行的解決方案被確定。

在該階段，解題者必須訪問和提取數學知識和啟發方法，以便假設、想象并評估他們的推測。盡管他們有時顯示出負面的挫折、焦慮等情緒反應，但是他們堅定的信心和有效的應對機制使其能夠集中注意力。同時解題者會通過諸如“如果我這樣試試將會發生什么?”“這是否可推導出我要的結論？”“這個方法是否高效？”等提問來持續監控他們的策略和計劃。

3.實施計劃階段是解題者運用數學問題解決的表述規則，構建與表述問題解決的步驟與程序，即應用數學語言與推理法則將先前的問題解決思路進行規范的書寫。在這個階段，解題者的一些行為包括:回憶和提取數學知識、寫出邏輯上連接的數學語句、計算及推導等。

掌握廣泛和熟練的啟發方法、算法、推導程序是其高效解題推理的保證。而對解題方案的持續監控使解題工作在正確的方向前進，解題者良好的認知領域的知識使監控更有成效。

另外，解題者強大的情感反應（如：喜悅、快樂、沮喪和焦慮）促進或阻礙問題解決。他們使用各種各樣的防御和應對機制來有效管理這些情感反應以幫助自己堅持朝著正確方向解決問題。

4.檢查回顧階段是對問題的求解過程及結果的回顧與反思。包括考察解答是否正確，過程是否簡潔，是否還有其他解法，解題方法是否最優，解決過程的關鍵環節是什么，以及運用了哪些知識經驗與方法，能否作一些拓展等。

解題者這時需要考慮是否接受結果，若接受結果則結束解題，若拒絕結果，則轉到下一次的“理解問題—擬定計劃—執行計劃—檢查回顧”循環遞進過程。值得注意的是，優秀的解題者很少以線性的方式解決一個問題，他們通常在嘗試解一個問題時一般要進行“理解問題—擬定計劃—執行計劃—檢查回顧”的多次循環。有時這個循環周期緩慢、繁瑣甚至出現反復，有時則跳躍前進或瞬間帶過。

檢查階段再次涉及解題者利用他們的數學知識和過程性知識來驗證計算和結果的合理性和正確性。在這個階段強烈的負面情緒反應有時會導致他們將問題放在一邊。

由上可見，數學問題解決過程是一個具有多因素影響、非線性遞歸、循環可逆、自我監控和主動知識建構等特征的過程。

三、影響數學問題解決的因素探析

借助以上數學問題解決過程的分析，我們認為：數學知識認知結構、啟發方法、元認知能力和信念系統是影響問題解決的主要因素。

（一）數學知識認知結構

數學知識認知結構是儲存在個人長時記憶系統內的數學知識及其聯系。如概念、公式、規則、數學思想方法和原理及其相互關系。長時記憶是為進行信息加工提供背景知識的倉庫，長時記憶中的知識只有經過根據加工結果得到的線索進行檢索，一部分知識被激活才能調入短時記憶進而對解題發揮作用。

任何解題都是以一定的數學知識，包括有關內容的事實、定義、算法程序、例行程序，及處理過程規則、作圖和畫圖知識等作為必要條件的。在實際解題時，解決者對知識的高效利用依賴于多個因素的控制，即使個人擁有解決某個特定的問題的知識，如果這些知識沒有形成有機的聯系和合理的組合，解題者也常常沒有想到或者不知道何時，如何以及是否使用這些知識。良好的問題解決者擁有更多的聯系廣泛的知識和豐富的圖式。所以解題更為重要的還在于知識的合理組織，使解題者能夠根據題目的特征，在自己的記憶庫中適時提取所需的知識。數學知識的合理組織，實質上就是按照個體的需要，改造和組建適合問題解決的數學知識認知結構。

良好的數學知識認知結構對數學問題解決過程具有決定性影響，尤其在問題解決的關鍵時刻，能夠使用有用的數學知識是高度依賴于個人的豐富的數學知識認知結構。

（二）啟發方法

就思維活動而言解題過程是一個思維定向、展開、控制的過程。這里有分析、綜合、比較、分類、抽象、概括等邏輯思維活動，更需要歸納、類比、聯想、想象、直覺、猜想等創造性思維活動。面對變化萬千的心智活動，要想找到一個可以機械地用來解決一切問題的“萬能公式”顯然是不可能的。只能通過大量的解題親身實踐，總結經驗以發現啟發方法，開啟和指導解題活動。

解題規律、解題策略應是主要的啟發方法。

解題規律可以看成是伴隨數學解題過程產生的體驗性知識，是一種內隱的、動態的知識，如對解題的本質、方法和認知策略的認識與感受。數學題的解法各不相同，但就解題思路而論是有一定規律可循的，如求解方程規律、解答函數極值規律、添加輔助線規律、圖形變換規律等，這些都能夠有效啟發解題思路。

解題策略是指解題者解題時宏觀上采取的解題方法、原則和方案。解題中經常采用的解題策略有：逆向推導、特殊化、數形轉換、將條件和結論組合或分解、將問題簡單化、觀察對稱性和尋找反面例子等。熟悉解題策略有利于全方位、多角度思考問題，在總體上把握解題的方向。

此外，良好的數學問題求解者在解決問題時還表現出靈活性和傾向于使用強大的內容相關進程處理方法而不僅僅是一般啟發式方法，他們善于根據解題進程新出現的情況及時改變或者調整解題的策略。

（三）元認知能力

元認知可以看成主體對認知領域的知識、體驗和控制行為，解題中的元認知行為包括對解題效率和認知活動的有效性的認識、對解題活動的積極實踐體驗以及隨后的自律行為。

解題過程經常伴隨的元認知行為是指對所進行的解題活動，包括解題模式的識別、解題策略的選擇、解題途徑的探索、解題方案的構思、解題效率的認識和解題情景的評價等解題實踐活動的自我意識、自我評價和自我調整。

自我意識是以自身為意識對象的意識。是解題者對正在采取的解題步驟的主觀反映，只有對解題活動的信息輸入、加工、輸出有清醒的自我意識，才能克服思維活動的盲目性，增強主動性和自覺性。自我評價是在自我意識的基礎上主動分析、評價自己所進行的解題工作。 針對解題目標，找出解題過程的薄弱環節或存在問題，以便及時采取相應的對策，把握正確的解題方向，將思維活動調節到最佳狀態。自我調整又是在自我評價后采取的對策行為。根據自我評價反饋的信息，針對解題中的不足之處在新的起點上調整自己的解題策略，修正原有的解題途徑，使解題活動回到正確的軌道上來。

自我意識、自我評價和自我調整等元認知行為常表現為疑問（如：這種方法會使我推到哪里?這是什么意思?）、停頓（如：新出現的結果是否符合解題者的現有的知識和理解）和反復（解題者反復在一個解題環節推敲以確定方法的正確性）。這些具體的元認知行為貫穿整個解題過程，調控著認知活動從一個階段發展到下一個階段并影響著解題者的解題決策，并且自我意識、自我評價和自我調整等元認知行為都是動態的活動，只有通過元認知體驗才能將靜態的元認知知識與動態的調節過程銜接起來。如果沒有關于當前認知活動的體驗，元認知與認知活動之間就處于脫節狀態而無法連接。

此外自我調節也包括控制解題過程的情緒控制機制以及開展內心對話等行為。解題者如果缺乏良好的情緒控制機制，如隨機聯想、缺乏堅持努力、沒有仔細考慮問題含義等，就容易導致利用錯誤的概念和進行錯誤的推理。

（四）信念系統

所謂解題的信念系統，泛指解題的非智力因素，即解題者學習積極性方面的因素，如情感、態度以及數學觀等方面的個性品質。解題中經常表現出來的這些行為有：高興、驕傲、興奮、欣賞、自信、堅持以及憤怒、焦慮、沮喪、急躁等。

事實上純粹的認知行為是罕見的，對于大多數解題者，他們處理問題的表現是受他們所處的環境及看待事物的觀點影響的。其中情感因素如態度和情緒對解題者的行為有一個強大的影響。隨著情感在解決問題過程中頻繁變化，正面的感情如欣賞、自信、堅持、滿意和自豪感，負面情緒如焦慮、失敗、悲傷和沮喪，都是常見的。正面情感通常導致動力和興趣并促進解題者的認知水平發揮，而負面情緒通常成為一種阻礙力量而導致不成功的問題求解。

雖然情感更明顯比信仰在問題解決中扮演了更重要的角色，但數學觀等信仰也扮演了不可或缺的角色。良好的數學觀包括：數學是美好的、做數學需要執著追求解決方案、問題解決過程可能需要許多錯誤的嘗試、問題涉及的數學推理都是令人愉快的、數學思想應該被理解而不是僅僅記住、學習數學需要根據自己的理解整理信息、證明是問題解決過程的一部分等。這些觀點都能夠有效促進數學問題解決。

四、結論

我們通過分析數學問題解決過程，揭示了數學問題解決過程的“理解問題—擬定計劃—執行計劃—檢查回顧”四個階段的非線性循環可逆遞進過程，并且剖析了數學知識認知結構、啟發方法、元認知能力和信念系統等因素如何交互出現影響著解題的過程，決定著解題各階段的開啟、循環、反復和終止，決定著對有關知識、方法、規則的選擇與使用。

研究表明，學習成為一個優秀的問題求解者需要聯系良好的數學知識、豐富問題推理的模式、熟練的解題策略、在解決問題過程有效的管理資源和情感反應，以及大量的實踐和經驗。

所以，在平時的數學解題教學中，我們應該防止機械訓練，并針對不同個體解題過程出現的問題和薄弱環節采取相應的對策，改正錯誤或不良的數學解題方式方法以提高解題能力，并最終借助數學解題訓練幫助學生更好地理解和掌握數學知識、數學思想，教會學生數學地思考問題，使解題成為培養學生思維品質和提高學生創新能力的有效途徑。

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【基金項目】廣西高等學校特色專業及課程一體化建設項目（GXTSZY253）

【作者簡介】羅奇（1964-），男，桂林師范高等專科學校副教授，研究方向：數學教育，初等數學。

（責編丁夢）