義務教育數學課程改革

《義務教育數學課程標準（2011年版）》的正式頒行代表著我國大陸地區義務教育階段的數學課程改革又向前推進了一步。而在臺灣地區，1967年頒布了《九年國民教育實施綱要》，開啟國民教育歷程，又于2014年指出要實施“十二年的國民基本教育”。不管是義務教育還是國民基本教育，盡管在名稱上存在差別，但實質都是國家按照法律的規定，讓適齡兒童接受一定的教育所提供的一種強制性的制度保障。那么，在這一階段，大陸地區與臺灣地區的數學課程發生了怎樣的變化，數學課程改革又會有怎么樣的趨勢，這是所有數學教育工作者與一線教師迫切想要了解的內容。北京師范大學劉堅教授、臺北教育大學鐘靜教授、北京師范大學綦春霞教授、中央民族大學孫曉天教授、華中師范大學胡典順副教授等與來自各個學校的其他教師一起共同探究了這一問題，進行了經驗的交流與分享。

一、大陸地區義務教育的數學學業狀況

20世紀80年代之后，尤其是進入21世紀之后，各國基礎教育的重心轉移到提高教育質量上面，更加注重學生核心素養和關鍵能力的發展。第三屆APEC部長會議中提到21世紀學生必備的基本能力有數學/科學、語言、職業/專業技能，數學就首當其沖。在OECD《2013年各國成人技能調查報告》中也提到了較差的數學技能會嚴重地限制人們獲得報酬較高和價值更高的工作，數學素養成為教育質量評價的核心內容。因此，北京師范大學的劉堅教授、綦春霞教授與曹一鳴教授及來自北京教育學院的張丹教授一道就中國大陸地區義務教育數學學業狀況進行了具體闡述。

他們認為對學生數學學業成績產生影響的因素有：學校層面有學校類型、學校辦學客觀條件、學校環境、教師隊伍狀況、教師專業素養與教學觀念、校長課程領導力等；學生層面有學生背景、學生學習情況、師生情況、師生關系、學習動機、學校歸屬感、學生方法和學生自信心。為此，他們采用分層三階段不等概率抽樣的方式對包括新疆與西藏等省在內的140個區縣、952所小學的38 312名三年級學生和2 008名教師及1 184名校長、446所初中學校的21 105名八年級學生與1 648名教師及597名校長進行了測試。他們指出，按照題冊、時間設計與等值問題對學生進行測試，在內容與能力方面進行分析，從而考查大陸地區中小學生數學學業在多大程度上達到了課程標準的基本要求；不同地域與城鄉之間存在怎樣的差異性，程度如何；影響各學校學生數學學業水平差異的主要因素是什么，會在多大程度上影響學生的數學學業成績。

通過研究，他們發現14%的小學生沒有達到課標的基本要求，中部的不合格率會更低一點，但東部某省份的不合格比例是60%左右，可以看出東部各省市之間的差異也比較大。同時，他們還指出在小學階段，男女生在基本的空間下沒有差異，在內容維度上的表現也總體不錯，中學的基本趨勢大體與小學相當。

那么，劉教授又提出了這樣的一個問題，那就是學生個體成績之間的差異究竟在多大程度上是由于就讀地的差異導致的？為此，他們參照PISA的統計方式——分層信息模型，只考慮分數與學校，可以看到對三年級學生的解釋率是54%，對八年級學生的解釋率是29%。按照PISA的解釋，25%及其以下代表學校之間是比較均衡的，25%～40%就表明學校間的差異比較大，40%代表差異很大，這表明學生在不同學校的發展存在較大的差異。而且，他們還對下列的變量，如學生層面的性別、生源、學習自信心、師生關系、學習方法與學校層面的學校地理位置、學校歸屬感、教學方式、校長課程領導力等進行分析，運用分層線性模型，發現控制所謂相對比較固定的因素，如流動、性別、城鄉地域等，加入學生自信心后，對學生的影響似乎更大，將其他三個學生層面的變量同時投入的話，師生關系與自信心比學習方式造成的影響要大。基于學校層面，學校歸屬感的影響明顯要比其他的影響因素強，將其他三個變量同時投入的話，學校歸屬感的影響要大于其他兩個變量。劉教授指出，這適合于小學與中學的情況，即師生關系對學生學業成績的影響比較大，學校歸屬感有比較好的解釋率，教學方式也會產生較大的影響，這是學校層面的影響差異。此外，他還將本研究涉及的學校層面與學生層面的所有變量納入模型進行研究，指出對小學而言，對學校層面的解釋率是43.5%，對學生層面的解釋率是16.1%；對中學而言，對學校層面的解釋率是59.1%，對學生層面的解釋率是17.7%。

經過30多年的努力，特別是新世紀10多年的數學課程改革，中國大陸地區義務教育階段絕大多數的同齡人都能夠達到國家數學課程標準規定的基本質量要求，但西部地區、農村地區的數學學業達標率仍然偏低，即使在城市地區，如何全面地提高進城務工子弟受教育的質量，盡可能地不讓一個人掉隊依然是當前和今后一段時期數學教育的首要任務。他們認為義務教育階段的數學教育要想提高學生的數學學業水平，首要的是教師應努力改善師生關系，尊重每一位少年兒童，增進學習者的自信心，學校也需要創造友好的人文環境，促進學生對學校的歸屬感，而中學階段提高教師教學能力、改進教師教學方式則顯得非常重要。

二、臺灣地區國民教育階段的數學課程改革

1967年，臺灣頒布了《九年國民教育實施綱要》，廢除初中聯考；2000年，《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》（2000年）公布；2014年，臺灣“教育部”宣布延長國民教育為12年，實施“十二年國民基本教育”。那么，如何看待臺灣地區國民教育階段的數學課程理念與實施層面的改革得失，來自臺北教育大學的鐘靜教授從臺灣地區國民教育的數學課程改革說起，談了她對臺灣國民教育數學課程改革的看法與思考。

鐘教授指出，從數學內容知識來看，可以將現在實施的課程標準叫做九七正綱或九貫正綱（2008年），和早年實施的六四版（1975年）課程標準等在知識量上是相當的，但課程要以兒童為本位、重視兒童的自主學習本位，所以課程會簡化，才能真正地實現公民教育。接著，鐘教授具體講述了臺灣地區數學課程改革的一些重點，認為早期實施的六四版課程標準在小學階段比較重視兒童學習，強調具體物操作、去單位算式，強調怎樣解題，全面配發教具；在七四版課程標準時，在國中階段強調邏輯與推理。同時，她指出八三版（1994年）課程標準是臺灣小學數學的一個比較重要的分水嶺，強調建構理念、落實兒童本位，強調學生學習自主、認知發展，強調幫助兒童從具體活動到形式運用，同時期的中學課程強調學生的數學解題能力，但都是統編本；而《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》強調的是內外部的連接，培養孩子學習過程的數學能力，如推理、解題、溝通、表征、轉化，強調思考形態與學習方法。但鐘教授也指出由于這一階段的數學教學時數降低，在和高中銜接的問題上需要處理時數不夠這一難題。

而且，鐘教授還指出了臺灣地區數學課程改革出現過兩次擺蕩：一是小學六四版課程標準的主要特性是倫理結構、知識導向與教具操作，而八二版（1993年）課程標準的特性是心理結構、知識建構與認知發展，面臨著從重結果轉為重過程的問題；二是《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》的特性是強調心理結構、能力培養與思考形態，九七正綱的特性是論理結構、知識導向、演算能力，面臨著從重理解轉為重計算的問題。因此，她認為臺灣數學課程改革要落實兒童本位的教學觀，由教師中心轉為學生中心，進行差異化教學，而且由模仿到形塑的數學知識要由傳遞知識轉為認知發展，數學教學要由單向講述移為群體討論，提供從內容到過程的教材設計，發展由紙筆到多元的教學評量。

此外，鐘教授還對《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》的特點與內涵進行了闡述，認為它強調學生的認知階段，而且思考形態會從知覺性、察覺演示、辨識樣式間的關系發展成非形式化的演繹，從算術思維發展到代數思維，重視概念的不同。從學生的認知發展看，六、七年級的學生大概是11、12歲，她認為根據皮亞杰的理論，此時學生的認知發展正處于逐漸地從具體運思到形式運思的過渡期，在解決數學問題方面應由原先單純依靠算術計算過渡到學習利用符號表征、代數運算等代數想法來解題，并且數學領域存在“連結”，包括內部連結和外部連結，可以增進學生的數學素養，加強他們的數學式思維。

鐘靜教授認為數學課程所訂的分段能力指標作為學習的內容選取與活動設計的參照準則時，要能夠讓八成以上的學生進行有意義的學習。對未能達到全部能力指標的部分學生，學校可利用彈性數學時數進行補救教學，對能力較好的學生，當他們的需求無法滿足時，學校可利用彈性教學時數補充額外的教材。同時，她也指出了《國民中小學九年一貫課程暫行綱要》實施面對的狀況與困境，即在試辦時很少看到數學領域的教學、配套措施缺失，能力指標各自論釋，教材銜接并不緊密，會受“建構數學”誤解的影響，并對“十二年國民基本教育”課程綱要草案的一些內容進行了介紹，指出其愿景是成就每一個孩子、適性揚才、終身學習，理念是自發（本體觀）、互動（認識觀）、共好（倫理觀），目標是啟發生命潛能、陶養生活知能、促進生涯發展、涵育公民責任，認為應以核心素養作為課程發展的主軸，支持各教育階段之間的連貫以及各領域、科目之間的統整，即自主行動、社會參與溝通互動，培養終身學習者。在領域學習層面，鐘教授指出，未來除實施領域教學外，也可以實施分科教學，科學地設計課程的組合方式，以減少每學期修習的科目數量。在彈性學習層面，學校特色課程，如專題、議題探究、技藝課程、戶外教育等可以推動教學活化，而學生的適性學習則要兼顧精尖與扶弱。

最后，鐘教授認為數學課程實施要注重師生互動、多元評量，可以采取統整教學、數學繪本教學、數學步道教學、信息科技融入、情境脈絡融入、數學史輔助、數學寫作融入、合作學習教學、討論式教學、探究教學、臆測與論證、數學建模教學、閱讀理解教學、概念診斷教學等多種教學方式，也可以運用實作評量、檔案評量、動態評量、寫作評量、復式評量、二階段評量等評量方式。此外，要實現內外部的連結使教學深化和活化，對課程要素，如前后經驗、數學之間、數學與生活、數學與社會、目標之間、師生之間等進行統整，建立數學內外部的連結，進行社會互動性教學，發展以數學為校本的特色課程。最后，鐘教授指出當前臺灣地區數學課程改革面臨的主要問題是意圖課程（專家設計的課程）和一線教師現場實施的課程存在一定的落差，如何將數學家與數學教育家的理念實現內部整合也是比較大的問題。因此，她指出要正視教學時數、雙峰現象、課程落差、師資培育、課程意義、課程變動等問題。

三、2021年，義務教育數學課程的走向

伴隨《義務教育數學課程標準（2011年版）》的正式頒行，人們自然會追問以下一連串的問題：2021年的義務教育數學課程標準應該是什么樣子？我們拿什么證據說明應該要作出這樣的變化？我們該如何應對這樣的變化，以及為未來可能的變化做哪些準備？面對這一系列的問題，與會的數學教育工作者是如何看待數學課程在未來的走向的，他們又有什么樣的新想法與思路，我們拭目以待。

1.義務教育數學課程的回顧與展望

中國數學教育與中國數學課程取得了很大的進步，在多年的實施過程中也積累了豐富的經驗，雖然存在一些不足需要補充與完善，但《義務教育數學課程標準（2011年版）》頒布之后，義務教育數學課程的最大亮點是數學模型的提出，這是華南師范大學王林全教授對現行義務教育數學課程發展的一些看法。他認為義務教育課程標準要提出更加細致的基本活動經驗內容，要逐步形成與深化概念，探索定理或公式、解題過程與途徑，總結解題類型，提煉數學思想方法，發現、審視、利用、提煉數學美，論述基本活動經驗的穩定性、靈活性與發展性。同時，他也指出由于中國人口眾多、幅員廣大，未來義務教育的數學教材應多樣化，實現多種版本的并存；教材經過國家專家委員會審定后，要得到省、自治區、市教育部門的支持，而且教師還可以對教材的選擇提出意見，建立專家和教師代表審定評價教材的機制。此外，王教授認為義務教育各個地區或學校的發展雖然不平衡，但不要人為地劃分一些重點學校、重點班與重點小組，可以實現三個水平的并存，一是達標水平，讓班級的絕大多數同學達標，二是先進水平，相對班級中的其他同學，少數同學可以是比較先進的，三是優秀水平，應該實現學生在這三個水平之間的流動。在實施的過程中，教師要給予鼓勵。最后，王教授認為要通盤考慮初高中兩套教材，做到內容連貫，防止初中與高中教材相互分割的情況出現，產生銜接問題，所以應統一教材編委會，讓教材更為嚴謹與統一，促進學生更好地學習。

教育改革家富蘭曾經說過，基于成功的教育改革，應該假設“實施過程的主要目的是通過實施者與有關因素的相互作用來轉換你對應該做什么的認識”。東北師范大學馬云鵬教授對新世紀中國義務教育數學課程的實施與未來發展發表了自己的看法，他認為義務教育數學課程的改革以2001年頒布并實施的《義務教育數學課程標準（實驗稿）》為標志，從2001年到2005年，新課程在實施過程中取得了實質性的效果，產生了一些變化，如教材（一標多本）、教學組織形式（教與學的方式、教學過程、教學情境）、教師與管理者角色（教師——組織者、參與者、合作者；學生——活動主體）、知識與理解層面（關注學生的個性差異與全面發展、提升教師的研究意識）及價值的內化等，但同時他也指出這一課程標準在實施過程中也暴露出了一些問題：第一，增加的新內容在教學中遇到一定的問題，如教學難度、實踐與綜合應用領域存在的具體實施困難；第二，對過程性目標的理解與落實感到困惑，會將一些實際問題抽象為數與代數的問題；第三，教學方式的運用與把握存在誤區，不能準確地把握學生自主活動和教師適時指導之間的關系；第四，評價理念與方式改革上遇到困難，如何把握過程性評價與情感態度評價，這也是課程標準實施過程面對的困境。由于在課程目標、教學過程、課程內容、課程教學方式等方面出現了眾多的爭論，馬教授認為《義務教育數學課程標準（2011年版）》在基本保持實驗稿的結構和設計思路的基礎上對一些內容進行了修改，整合基本理念，并修改了部分內容的表述；在課程目標方面，明確提出“四基”，突出學生的數學素養和整體發展；在課程內容上，調整了統計與概率領域的內容。基于上述分析，他認為義務教育數學課程發展走向將實現東西方數學教育理念的融合，在保持數學教學優良傳統的同時，優化課程內容，也會為學生提供足夠的活動與思考的時間與空間，轉變教學模式與教學方法，促進學生的思考。此外，未來數學課程發展也要重視教師的專業成長，特別是關注教師PCK的研究、數學教師的專業素養及其職前與職后教育等。

2.數學課程的國際比較研究

經濟全球化趨勢的不斷增強，必然會推動教育領域的交流與溝通，為此，北京師范大學的吳立寶副教授將亞洲的中國與新加坡、歐洲的英國與法國、大洋洲的澳大利亞與美洲的美國等6個國家的初中數學教科書中有關“方程與不等式”的內容進行了比較研究。他指出，選取進行研究的教科書主要是這些國家教育行政部門發布或者推薦使用的正式教科書，抑或是當地流傳較廣或新推出的教科書，我國選取的是人民教育出版社2008年出版的初中數學教科書，采用直觀描述、類比歸納、抽象演繹等方式對它們的內容廣度與深度進行比較研究。

他指出，從內容廣度上講，6個國家的數學教科書中都具有的公共知識點有方程、列方程、等式性質、一元一次方程、解一元一次方程、不等式，其中方程與不等式部分主要有方程、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組、不等式、其他方程（無理方程、絕對值方程、指數方程、分式方程）等內容。其中，美國數學教科書的知識點數量居首，中國其次，中、美兩國數學教科書有22個知識點相同，而且美國在解一元一次方程部分增加了流程圖與回溯法、猜想—檢驗—改進、無理方程、含絕對值不等式等，并且在美國教科書習題部分涉及了指數方程；法國與新加坡并列第三，法國在一元一次方程（零因子法）、不等式部分與中國有點差異，新加坡講到了指數方程，如3x=27；最后是澳大利亞，流程圖、回溯法、方程、列方程、方程的解、猜想—檢驗—改進、等式性質、一元一次方程、不等式、不等式解、數軸表示解集、解簡單的一元一次不等式以及使用因式分解與公式法解一元二次方程，在一元一次方程部分比較完備，缺少方程組以及分式方程等內容；英國教科書較少，知識點零散，沒有成為體系。從內容深度上進行分析，知識點更多的是以直觀描述的方式呈現，中國的深度是最大的，排名第一；英國、美國、澳大利亞主要是采用流程圖與回溯法；法國運用的方法比較簡單，步驟比較少，美、澳兩國也會采用猜想—檢驗—改進的三步法。利用等式性質求解，這是共性，差異在于方程的復雜程度，中國明確提出了“移項”的概念。對二元一次方程組，英國與澳大利亞沒有涉及，中、美、法三國以直觀形式給出二元一次方程的概念，中國、美國、法國與新加坡四國均講了代入消元法和加減消元法，均有驗根。因此，吳教授告訴我們應注重對方程內容本質的理解，在概念呈現上要注重問題的設置，適當拓寬方程內容的涉及面，如習題。

吳立寶副教授從6個國家初中數學教科書中有關“方程與不等式”的內容進行了國際比較，來自華中師范大學的薛亞喬、胡典順與王明巧則對中國與美國小學數學教材中的“問題提出”內容進行了比較研究。他們指出，“問題提出”是教育研究的焦點之一，而數學教材作為數學課程最為重要的資源，直接影響教師的教與學生的學，因此通過對各國教材的比較，可以發現我國數學教材在“問題提出”編寫方面的優勢與不足，對我國數學課程中“問題提出”具有較大的教學意義。為此，他們選取中國人民教育出版社版（簡稱PEP版）教材、北京師范大學出版社版（簡稱BNU版）教材與美國UCSMP版教材進行比較研究。綜合三個版本教材的編寫特點，他們主要從下列4個方面，即問題數及問題提出數、問題提出類型、問題提出所處知識領域、含特定要求的問題提出對中國與美國的數學教材進行差異比較。

在問題數及問題提出數的比較研究中，他們提出三個版本的教材各個年級的問題數分布是有顯著差異的，但中國兩版教材的分布差異并不顯著。美國UCSMP版教材的問題數是PEP版教材的2.85倍，是BNU版教材的3.23倍。中國兩版的教材中各年級的問題數分布比較均勻，美國UCSMP版教材的問題數隨著年級的升高呈明顯增長趨勢，中國則相對比較平穩。同時，他們也指出，三個版本教材第二學段的問題都比第一學段的問題要多。問題提出數在各年級的分布有顯著差異，而中國兩個版本教材的問題提出數在各年級的分布差異不大，美國UCSMP版教材的問題提出數要高于中國的兩版教材。PEP版教材各年級平均有23個問題提出，BNU版教材平均是22.8個，而UCSMP版教材平均是32個，還可以發現UCSMP版教材第二學段的問題提出數要多于第一學段，而BNU版教材和PEP版教材則相反。然而，他們認為雖然美國教材問題提出數比較多，但其總問題數也比較多。基于此，我們能夠得到三個版本教材的問題提出數占總問題數的百分比，即PEP版教材占3.59%，BNU版教材占4.04%，UCSMP版教材占1.75%，問題提出數量最少的BNU版所占百分比最高，而問題提出數最多的UCSMP版教材的百分比卻最低。

在問題提出類型方面，他們認為問題提出類型主要有追問型問題提出、補充問題型問題提出、補充條件和問題型問題提出、改變條件型問題提出、模型給定型問題提出，指出三個版本教材中問題提出類型分布有非常顯著的差異，各版本教材編寫問題提出類型的重心不同，PEP版教材比較重視追問型和補充問題型問題的編寫，BNU版教材比較注重追問型以及補充條件和問題型問題的編寫，UCSMP版教材則比較注重模型給定型和改變條件型問題的編寫。

如果將知識領域劃分成數與代數、空間與圖形、概率與統計、綜合應用，針對這些問題提出所處的知識領域與分布進行比較的話，他們認為這三個版本教材的問題提出所處領域的分布有顯著差異，三個版本中數與代數領域所占的百分比都非常高，在空間與圖形領域及統計與概率領域所占的比例都比較低，而綜合應用領域只有BNU版教材進行了編寫，所占比例是23.36%，其他版本的教材均未涉及。

在對含特定要求的問題提出數比較時，他們指出，三個版本教材中含特定要求的問題編寫有很大差異，UCSMP版教材中含特定要求的問題提出數最多，是中國兩版教材的10倍，而且UCSMP版教材中含特定要求的問題提出數占總問題提出數的百分比也是最高的，為68.23%，而中國兩個版本中對有特定要求的問題提出的編寫沒有差異，PEP版教材的比例為9.42%，BNU版教材的比例為9.49%。

因此，他們認為我國要合理地增加問題及問題提出數，在課后練習中加入復習題目，適當地增加各學段問題提出的編寫比例，均衡各類型問題提出的分布。同時，他們也希望在教材中能增加模型給定型以及改變條件型問題提出的編寫，并適當地調整各知識領域問題提出的設置，重視對統計與概率領域問題提出的編寫，設置“問題提出”專欄，從問題的解法、內容范圍、解決步驟、能否解決等方面對學生的“問題提出”加以限定。此外，他們認為教材中對問題提出策略的編寫對學生提出擴張性問題也很重要。

3.數學教育的追求

綠色會讓我們想到什么，實驗室會讓我們想到什么，e數學實驗室又會讓我們想到什么？北京教育學院的王長沛教授以“從綠色數學教育到e數學實驗”為題講起了他心目所設想的數學課程走向與數學教育追求。王教授是從一個初二年級學生的e數學實驗活動講起的，指出這個學生借助圖形計算器移動技術、手持技術以及已經學過的三角形中位線定理來思考“三角形兩邊的n等分點所連的n等分線與第三邊有什么位置與數量關系”這個問題，并借助圖形計算器中三角形求解器的功能來探究與學習。王教授認為學生可以在教師的引導下，借助實驗室環境、網絡、圖形計算器、三角形求解器與數學APP等數學工具進行自主探究，要敢提問、敢假設、敢試驗、敢做長探索，指出通過該學生的自述可以看出這些自主探究性活動其實是一個自生過程，通過不厭其煩的反復檢驗、學生悟得、數學數字技術工具的使用、移動學習、e數學實驗室、教師引導、環境與家長的支持，學生可以在學習數學中獲得更多的自信。通過這個故事，王教授指出，數學活動的主要目的是從復雜的現象中分離出不變，數學是關于模式的科學，要從大量的例子中去捕捉、去抽象、去發現不變量，把握不變量的關鍵特征。

此外，王教授認為綠色數學教育是一個復雜的生態系統或綠色的有機體，是一個“1+3”的模型，要從價值論、認識論和本體論三個不同的層次來把握數學教育的關鍵特征，要有自己的想法，要有批判的視角，如數學教育實踐、理論與實踐，要關注一線教師，認為綠色代表現代有機的整體觀與東西方文化的融合，指出其關鍵的發展因素從價值論上說是以學生為本、關注學生發展，從認識論上說是強調建構主義方向，從本體論上說是強調多元與多維的數學觀。同時，他還對綠色數學教育的實踐進行了簡略介紹，認為數學是進行創造與實驗、論證的過程，數學實驗室是為創造與實驗、論證提供條件的地方，應發展到微縮的e數學實驗室，簡單、易用、易學、易帶、易存，還可將信息技術與數學課程進行深度整合。從移動數學實驗室到移動學習，可以說e數學課程是ICT與數學課程的深度整合。最后，王教授借用弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》中的一句話“要實現真正的數學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的”來說明學生的探究需要物理環境的支持，要有傳統方式與ICT相結合的e數學實驗室，要讓學生成為數學實驗室的使用主體，確保每個學生都能獲得e數學活動的基本經驗，進行e數學實驗活動的開發。

教育公平一直是我們追求的目標，但教育公平并不是讓所有的人都成為一樣的人，而是讓所有的人成為不一樣的人，對數學教學來說，也就是說人人都能獲得良好的數學教育，但不同的人在數學上會得到不同的發展。來自浙江新思維教育研究院的唐彩斌院長認為在現實過程中，不同的人學習不同的數學可能會遇到以下問題，如不同的人都想學好數學、不同的人學習同樣的教材、不同的人學習同樣難度的數學、不同的人希望數學學得一樣好，并講述了他在2010年針對某區2 300名學生的計算測試，研究發現，這些教師存在過度訓練的情況，發現學生會做題，但是說不出來為什么會這樣做。基于此，唐院長認為，作為一線教師要關注數學教學內容，厘清必要的基礎數學，也要關注教學目標，深入研究“雙基”，并應用日常教學檢測大數據創建數學教學質量參照標準，實現應用技術、信息技術與學科的深度融合。同時，他也指出數學學習是有線索的，但這線索不一定是唯一的。

數學教育與數學課程的發展關鍵在于落實。中國人民大學附屬中學第二分校的教師肖飛飛針對本校的具體情況分享了她們在數學教育中的探索活動。她指出，學校在數學教育中提出的“零失敗”并不是指在數學考試中對分數有特定的要求，而是要在數學教學中實現學生百分之百的進步，營造一種氛圍與文化，讓每個孩子都能快樂地成長。她指出，中國人民大學附屬中學第二分校地處原城鄉結合部，生源結構復雜，學生的學習能力和水平存在較大差異，但是新的課程標準提出要讓教育面向全體學生，使人人都能獲得良好的數學教育。因此，她們聘請了張肇基老師進行指導，有幸與肇基數學結緣，并對肇基數學的內容進行了具體的介紹，它包括：建立一個真正能給每位學生帶來希望的評價機制——準模測試法，包括標準試題、驗收練習、準模測試、用進步換分數的準及格制度等四大因素，熱忱地呵護學生的向上之心，培養他們學習數學的自信。二是開展以肇基學具為載體的群體性助學活動，突破一些傳統的教學方法。肇基教具包括兩種算卡（肇基數式算卡與肇基圖數算卡）與兩種拼卡（肇基推理拼卡與肇基巧板拼卡），分別應用在代數與幾何方面。三是建立符合少年學生心理特點的互動機制，如師友互動—師師互動—友友互動。

此外，肖老師還講述了她們借助肇基數學取得的一些效果，主要表現在：累積了豐富的數學資料，建立了初中階段的六大題庫，如標準試題庫、驗收題庫、準模試題庫、會戰題庫、中考串聯復習法題庫、輔考題等題庫；形成了具有學校特色的數學教學模式，如課堂上的師友互助、肇基學具活動課、考試前的驗收練習與準模測試、新生夏令營、數學文化節等；改變了教師的教學理念與教學方式，如教育目標的重新定位、教學方法的更新、教師職責的進一步理解等；取得了比較多的研究成果，并進行推廣，改變了學生的數學狀態，激發了學生學習數學的興趣與積極性，提升了他們的數學學習的自我效能感與數學學習能力。同時，肖老師也指出了她們面臨的一些新任務與挑戰，如怎么把準模機制與現行的考試制度更好地銜接、如何尋找科學有效的方式與方法衡量學生在實踐過程中發生的知識與能力的變化、如何更好地推動肇基數學內容的發展等，并指出她們的數學追求是讓數學教育能使學生在回顧過去時幸福而滿足，在面對今天時，快樂而充盈，在憧憬未來時，現實而樂觀，這是不會變的。

4.有關幾何課程改革的思考

類比推理是數學課程中的比較重要的內容，幾何類比推理是指以幾何圖形為材料的類別推理，在中學中會作為合情推理的內容受到人們的重視。西南大學博士李艷琴以“幾何類比推理認知診斷及其對幾何課程改革的思考”發表了她對幾何課程改革的一些看法。她指出，認知診斷屬于新興的測量學范疇與領域，廣義上是將學生個體的成績，并非單獨的成績分數值，和其內部心理特征、過程、結構相聯系；狹義的理解是利用統計的方法將個體在測驗中的各個項目中的反應進行分類，每一類都與一種認知方式相匹配。如何認識認知模型，她認為要從屬性、層級關系、屬性分類等方面進行分析，其中認知屬性是被試解決某一問題時需要的知識、技能與策略，是進行某一具體領域工作所需要的程序性知識與陳述性知識，是認知診斷的前提條件。它的構建是通過這些屬性之間可能存在的依存關系給予具體說明與界定的，通過圖表的方式來表征任務。這一認知模型對教師的教學非常有啟示。此外，她還指出通過心理學的研究可以得出屬性層級之間的關系，主要有4種，即線性型、收斂性、分支型、無結構型，且屬性層級關系是認知診斷測驗設計與試題編制的重要依據和前提，而幾何類比推理的認知屬性，如位置移置、旋轉、反射、數量、大小、陰影、形狀沒有層級關系，其掌握模式，即被試的知識狀態或認知結構，從理論上講存在128種。

同時，她指出有關幾何類比推理認知診斷的結果主要有兩個，一是屬性難度參數估計，二是屬性錯誤認知率，并針對國內外屬性難度參數估計結果進行比較，發現雖然兩種模型估計的參數大小不同，但其相同點是反射和旋轉對項目的難度貢獻率最大，而且會出現大小屬性的難度參數估計差異，這可能是由于被試差異、研究者對屬性的認知等原因導致的。針對屬性錯誤認知率進行分析，她指出能夠發現四至八年級中約70%的學生能全部掌握幾何類比推理的7種認知屬性，出現錯誤的地方主要集中在反射、旋轉和大小等方面。

借用李秉彝教授的話，“幾何本身是無處不在的，關鍵之處并不在于教的內容，而在于教的方法”，她認為幾何類比推理認知模型對幾何課程教學研究有很大的啟示，主要表現在：在教學思考方面，教師要思考怎么教，加強對幾何課程內容的研究；在課程設置方面，要進行實證研究，確定幾何類比推理的難點，找出原因，提出對策，并對認知屬性錯誤率進行研究。因此，她認為可以在幾何課程改革中強化對屬性的教學，適當地調整屬性教學的難度，降低內容要求，重視思維的訓練與初高中的銜接。

最后，她認為幾何類比推理認知診斷未來發展的方向是進一步驗證幾何類比推理屬性分類與屬性層級關系，編制科學合理的幾何類比推理認知診斷測驗項目，為學生構造最優的測驗，進行不同群體的幾何類比推理群體水平認知診斷研究，加強認知診斷補救教學研究。

數學教育離不開數學課程，數學課程的實施離不開教材，教材內容的有效落實也離不開教師的教與學生的學，關鍵之處在于教師教學的方式與學生學習的效果。因此，不管是大陸地區的義務教育，還是臺灣地區的“十二年國民基本教育”，對數學教育與數學課程的研究一直是所有數學教育工作者與一線教師要深入思考的重要內容。

（責任編輯：孫建輝）