基于動力學機理的反應性擾動下核功率動態特性自回歸遍歷建模

錢 虹，金蔚霄，駱建波，周金明

(1.上海電力學院 自動化工程學院，上海 200090；2.上海市電站自動化技術重點實驗室，上海 200072)

研究核電站反應性擾動下核功率的動態特性以及非線性關系是核電站棒位控制優化設計的基礎，將這種關系以控制所需的數學模型的形式表達則是設計數字優化控制算法(如預測控制算法)的關鍵。目前，對反應堆的控制研究多側重于優化控制算法本身，而用于控制的核功率動態特性模型僅有一些初步的研究，如文獻[1-2]僅限于點堆的微觀表達。對于不同容量不同堆芯設計的壓水堆機組，以及同一機組的不同功率水平，當系統參數發生改變時，機理模型的修改成本較高[3-4]。已知運動機理時，采用辨識進行參數估計不失為一種有效的建模方法[5]。目前，遺傳算法、神經網絡算法和粒子群算法的智能算法在模型參數辨識方面得到了一定的研究[6-7]，基于自回歸遍歷(autoregressive exogenous，ARX)模型的最小二乘法是動態系統辨識中較經典的方法[8-12]，在過程控制的動態領域得到了大量應用，如文獻[13-15]中分別用該方法進行辨識建模，并得到了較精確實用的模型。

本研究旨在通過點堆機理建模，在核電高功率(大于75%FP)下不同功率水平進行小區域線性化，在區域內使用基于ARX模型的最小二乘辨識方法用于核功率動態特性模型的參數估計，建立不同功率水平下的動態特性模型組，用于核電站核功率快速準確跟蹤負荷變化時的控制棒棒位和控制策略的研究[16]。

1 反應性擾動下核功率動態特性離散模型

1.1 基于動力學的機理建模

圖1 具有溫度反饋的核反應堆系統方框圖

核反應堆在高功率運行時，需考慮核反應堆內部燃料溫度與慢化劑的溫度變化引起的反應性反饋。核反應堆的功率變化時，燃料溫度產生變化，引起瞬發的反應性效應，同時，慢化劑的溫度也隨功率變化而變化，由于慢化劑熱容量較大，會產生有較大時間延遲的反應性效應[4]。核反應堆溫度反饋原理如圖1所示。圖中，KRGR(s)為基于點堆動力學的零功率核功率動態特性的傳遞函數；F1(s)與F2(s)分別為燃料與慢化劑溫度反饋傳遞函數；αF和αM分別為反應性燃料溫度系數和反應性慢化劑溫度系數；Δρex(s)為外部引入的反應性變化；ΔρF1(s)與ΔρF2(s)分別為燃料和慢化劑溫度變化引起的反應性變化；ΔρF(s)為總的溫度變化引起的反應性變化；Δρ(s)為Δρex(s)和ΔρF(s)的差值；ΔP(s)為核反應堆的功率變化。

具有溫度反饋的反應堆系統的傳遞函數為：

(1)

(2)

式中：n0為t=0時刻的中子密度；Λ為平均中子代時間，Λ=l/keff，l為中子壽命，keff為核反應堆有效增殖因子；λ為等效單組緩發中子先驅核的衰變常量，s-1；β為緩發中子份額。

F(s)為總的溫度反饋傳遞函數，有：

αFF1(s)+

(3)

將式(2)和式(3)代入式(1)便可得到具有溫度反饋核功率動態特性系統的傳遞函數為：

(4)

式中，A=ωF+ωM+λ；B=ωFωM+λωF+λωM；C=λωFωM；D=ωF+ωM+β/Λ；E=an0αF+ωFωM+(ωF+ωM)β/Λ；F=[ωFωMβ+an0(αFωM+bαM+λαF)]/Λ；G=an0(αFωM+bαM)/Λ為模型的結構特性參數。

1.2 核功率動態特性離散ARX模型

由n階差分方程：

y(k)+a1y(k-1)+…+any(k-n)=

b0u(k)+…+bnu(k-n)+e(k)

(5)

可將描述的系統寫為：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+e(k)

(6)

其中：A(z-1)=1+a1z-1+…+anz-n；B(z-1)=b0+b1z-1+…+bnz-n。式(6)稱為ARX模型。

將具有溫度反饋核功率動態特性的傳遞函數離散化可得到如下差分方程[17]：

(1+a1z-1+a2z-2+a3z-3+a4z-4)y(k)=

(b0+b1z-1+b2z-2+b3z-3)u(k)

(7)

令：

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+a3z-3+a4z-4，

B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+b3z-3。

則式(7)可寫為：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)

(8)

考慮到系統受噪聲的影響，式(8)中可加入隨機干擾ε(k)，得到：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+ε(k)

(9)

式(9)即為具有溫度反饋核功率動態特性對應的ARX模型。

2 小區域線性化動態ARX模型參數估計

對非線性系統來說，穩態增益是系統非線性特性的一個關鍵因素。當系統的穩態增益在整個工作區間變化不大時，可用一個近似線性化模型來代替非線性系統進行控制[2]。對于核反應堆，不同功率水平的n0不同，該系統的非線性問題可通過小區域劃分功率段，建立各功率段模型加以解決，本文根據不同功率水平分100%FP～95%FP、95%FP～90%FP、90%FP～85%FP、85%FP～80%FP、80%FP～75%FP 5個工作區域(FP為滿功率)。

式(9)中的y(k)和u(k)是由輸出與輸入量不同時刻的測量值組成的離散時間序列的單元，ε(k)為不可測量的隨機干擾序列的單元。方程階數已知，只需通過帶有噪聲的輸出和輸入觀測數據估計模型的未知參數{a1,a2,a3,a4,b0,b1,b2,b3}。

將待估計的模型參數和k時刻之前的na次采樣數據記為向量Θ與xT(k)，Θ=[a1,a2,a3,a4,b0,b1,b2,b3]T，xT(k)=[-y(k-1),…,-y(k-na),u(k),…,u(k-nb+1)]，其中，na、nb為ARX模型的結構參數，具有溫度反饋核功率動態特性ARX模型中，na=4、nb=3。

則具有核反應堆核功率動態特性差分方程可寫為：

y(k)=xT(k)Θ+ε(k)

(10)

其中，ε(k)為觀測噪聲和模型不準等形成的誤差。將k=na+1,na+2,…,na+N共N步采樣數據代入式(10)，組成N個方程，并用矩陣形式表示為：

YN=XNΘ+εN

(11)

(YN-XNΘ)T(YN-XNΘ)

(12)

(13)

(14)

3 基于ARX模型的核功率動態特性辨識及仿真

3.1 核電站辨識數據的仿真實驗過程

本文模型辨識實驗數據基于壓水堆核電站仿真機，該核電站仿真機是以M310為參考堆芯的1 000 MW福清核電機組，對堆芯中子、反應堆冷卻劑系統以及核電站主系統均采用物理模型模擬系統全部的功能，其運行功能與現場具有近1∶1的逼真度，在此基礎模型上對穩態功率運行以不同速度升降功率和反應堆跟蹤外負荷的正常工況提供逼真的仿真。通過仿真機實驗分別得到初始負荷為100%FP、95%FP、90%FP、85%FP、80%FP時的5組單位階躍響應數據用于模型未知參數辨識，另外，通過實驗取得97%FP、93%FP、87%FP、83%FP、77%FP時的5組單位階躍響應數據用于模型驗證。實驗時，在10 s時加入單位階躍輸入(1 pcm)，采樣時間為1 s，時長為300 s，將各功率下輸出的各自的10組數據進行對應點求平均，如100%負荷時得到的10組數據分別為y1、y2、…、y10，其中，yi為300×1的列向量。則用于Matlab辨識仿真的數據為：

(15)

3.2 模型參數辨識結果

得到系統輸入輸出數據后，用Matlab系統辨識工具箱對系統進行辨識，其中，th=arx(z,n)命令可一次完成最小二乘法的模型辨識。再根據非線性模型局部線性化原理可得到辨識的模型組為：

對應傳遞函數的參數列于表1。

表1 傳遞函數模型結構特性參數

對應傳遞函數模型如下：

3.3 核功率動態特性模型仿真及分析

用最小二乘法結合ARX模型對反應性單位階躍輸入與核功率變化量單位階躍響應輸出數據進行曲線擬合，得到了圖2所示的擬合曲線，圖2還給出了曲線擬合的最終預測誤差與模型的適應度，用于初步判斷模型的準確性。用最終預測誤差與模型適應度對所建模型進行評價說明，通過圖2可看到，模型擬合最終預測誤差(FPE)為1.301 6×10-6～2.062×10-5，模型適應度(fit)為92.76%～96.42%，結合曲線直觀擬合效果，初步說明了模型較準確。

圖2 小區域模型辨識擬合曲線

在Matlab/Simulink中搭建仿真系統，對各功率段模型進行驗證。通過向帶溫度反饋的核反應堆系統加入外加反應性的階躍信號，得到輸出功率變化量數據ym。記核電仿真機仿真輸出數據為y，則可設定模型驗證評價指標e：

(16)

其中，n為所取數據點的個數。e越小，所建模型越精確。

分別取97%FP、93%FP、87%FP、83%FP、77%FP的外加反應性單位階躍響應輸入與核功率變化量單位階躍響應輸出作為模型驗證數據，通過Matlab仿真可得到圖3所示的曲線。

通過以上模型驗證輸出的對比可看出，模型輸出曲線與仿真機實驗得出的數據曲線幾乎重合，以式(16)所述評價指標進行計算，得出的誤差均較小，小于0.01，滿足建模要求。多組不同功率水平的仿真結果的辨識模型與實驗曲線擬合的結果表明，機理和辨識結合建模的方法構建的反應性擾動下核功率動態特性數學模型是可用的。

圖3 模型驗證輸出曲線

4 結語

本研究結合核功率動態特性機理建模與基于最小二乘法的ARX模型參數辨識，通過核電仿真機與Matlab辨識仿真實驗，得到了一組不同高功率段運行時具有溫度反饋核功率動態特性傳遞函數模型，并通過Matlab/Simulink進行了所得模型在不同功率段內的驗證，驗證了該模型的精確性以及該辨識方法的可用性。所建立的模型能根據控制的需求更細致地劃分線性化區域，為核電站實現快速負荷跟蹤的先進核功率優化控制策略提供研究的工程模型基礎。

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