對數感特點及其教學的思考

馬 玲，張玉成

(海南師范大學初等教育學院，海南海口571158)

2001年出版的《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱《實驗稿》)第一次提出“數感”這一概念，隨后引起了學者廣泛關注與探討。2012年，《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)明確給出了數感的確切含義。本文對《標準》中數感的內涵進行了解讀，并對數感的特點及其教學進行探討。

一 數感的內涵

(一)《實驗稿》和《標準》對數感的闡述

2001年7月，我國新一輪基礎教育數學課程改革頒布的《實驗稿》，在總體目標中提出要使學生“經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立初步的數感和符號感，發展抽象思維”①中華人民共和國教育部，全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)，北京:北京師范大學出版社，2001.7。。在內容標準三個學段都分別闡述了培養和發展學生數感的問題。但是，《實驗稿》中對“數感”這一概念并未給出確切定義。

經過10年課程改革與實踐，關于數感，研究者們在理論和實踐上都進行了一定探索和有益嘗試。在認真聽取各方意見，吸納前期實驗研究成果基礎上，2012年1月出版發行的《標準》不僅將數感作為核心概念提出，而且對數感內涵及功能作了表述。《標準》指出:“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”②中華人民共和國教育部，義務教育數學課程標準(2011版)，北京:北京師范大學出版社，2012，5。

(二)數感內涵解讀

《標準》將數感定義為一種感悟，感悟一詞出自《后漢書·丁鴻傳》:“鴻感悟，垂涕嘆息。”從工具書中查詢，主要有幾種解釋:《現代漢語詞典》(新版410頁):“有所感觸而領悟”;《辭源》(縮印新版622頁):“有所感而覺悟”。這幾種解釋都側重于有感有悟，由感而悟。因此，將數感表述為感悟，也使得數感具有兩重屬性:既有“感”，如感受、感覺、感知，又有“悟”，如悟性、領悟，即既有感性認識又有理性思維。

數感將感悟主要集中于數與數量、數量關系和運算結果估計這三方面，不僅將數感“細致化”，而且有利于教師在教學中更好地把握數感培養的幾條內容主線。史寧中教授在《數學思想概論——數與數量關系的抽象》一書中系統全面闡述了數的表示，他認為:數來源于對數量本質的抽象。數與數量，實際上就是建立起抽象的數和現實中的數量之間的關系，包括數的認識、數的意義、數的表示。數量之間關系包括數的大小關系及其所對應的數量之間的多少關系，也包括變化的量之間函數關系等。對運算結果估計的感悟也是數感的重要方面。

二 數感的特點

(一)基礎性

《標準》將數感放在數學課程10個核心概念首位，一方面突出了數感培養的重要性，另一方面也說明了數感的基礎性。從認知心理學角度來講，不可否認，數感的產生首先依賴于數學知識的內化。數與數量、數量關系等數學知識是數學知識體系的基礎。在小學階段學習的整數、小數、分數、百分數的認識、加減乘除的計算都是最基礎知識，它們不僅是進一步學習所必備，而且在小學階段學習其他領域內容時也要經常用到。因此，數感具有基礎性。

(二)直覺性

數感能憑借感知對象、語言、動作等經驗直接地對數與數量、數量關系和運算結果估計作出敏銳判定，表現為瞬時性理解和記憶。美藉匈牙利數學家喬治·波利亞在論述直覺時說過，“它是任性的、固執的，它們可能出乎意料地閃在我們的面前”。數學史上有一個非常有名的故事:印度數學奇才拉馬努金在聽到英國數學家哈代提到1729這個數字時，立刻就知道這個數字能用兩種不同方式表示為兩個正立方數之和的最小的數，1729=13+123=93+103。拉馬努金在學術上的成就一定程度上和數感有關，但不能否認，數感的獲得并不是完全依靠天賦，而是需要后天的訓練和積累。對數字或數學的敏感反應，很大程度上依賴于人們經過長期積累而形成的數字或數學網絡結構。

(三)抽象性

數感主要是對數與數量、數量關系和運算結果估計的感悟。感悟對象方面，以數與數量為例，它們并不是對客觀世界量性規律性的直接反映，而是抽象思維的產物。正如我們不曾見到作為數學研究對象的真正的“一”，只能見到某一個人、某一棵樹、某一間房等。從感悟本身來講，個體受到客觀事物刺激，由直接感知到理性思維，通過邏輯思維的滲透和數學語言的鋪墊，再由理性到感性。經過不斷實踐檢驗，個體感悟由感性到理性、再由理性到感性，循環往復、逐步上升，就能抽象出客觀事物本質屬性。所以，數學閱歷豐富的人才能夠從普遍事物中發現數學規律，感悟到數學思想方法、數學觀念等抽象概念。

(四)層次性

從心理學角度來講，數感首先是從感官接觸客觀事物開始，通過神經介質傳遞到大腦，激活先前儲存在大腦中的相應知識模塊，形成感覺和知覺，進而通過思維邏輯和數學語言活化，融會貫通，最終形成或重構新的知識模塊。這跟皮亞杰兒童的認知發展“同化－順應－平衡”是一個道理，是一個由感性到理性、由形象到抽象、由淺入深、由低級到高級，層層遞進的認識過程。史寧中認為學生數感的發展是個循序漸進過程，需要經歷感悟多少、用數表示多少、建立數之間關聯、對數進行運算、形成數系概念等過程。國內外研究表明，隨著年級升高，學生的數感表現呈現上升趨勢。因此，數感具有層次性。

(五)差異性

每個人對數學知識的接受能力，對數與數量、數量關系和運算結果估計的“悟”因個體生理和心理差異，以及所處語言文化背景不同而表現出差異性。因此，數感是有個體差異的。《標準》的基本理念是:使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。我們沒有必要讓人人都成為數學家，但至少應當使每一個公民都能獲得良好的數學教育。因此，在數感教學中要注意學生數感發展的差異性，以使每個學生都能獲得良好發展。

三 對數感教學的思考

認識和理解數感的目的就在于培養學生的數感，然而，數感的建立并不是一蹴而就，而是在學習和生活過程中逐步體驗和建立起來的。教學過程應當結合具體學習內容，以數感特點為指導，加強學生數感培養。

(一)結合具體內容，培養學生數感

《標準》將課程內容分為“數與代數”、“圖形與幾何”、“概率與統計”和“綜合與實踐”四個部分，而數感主要體現在“數與代數”部分。“綜合與實踐”部分設置對于培養學生問題意識、應用意識和創新意識十分有利，同時還可以積累學生活動經驗，提高學生解決實際問題能力。它與其他三個部分緊密聯系在一起，從一定程度上來說，它是使其他三個部分在數學思考、問題解決、情感態度這三方面目標上得以實現的有效途徑。因此，數感教學應體現在“數與代數”和“綜合與實踐”部分。

通過對《標準》中數感內涵的解讀，結合《標準》中“數與代數”和“綜合與實踐”部分主要內容，可以將數與數量、數量關系和運算結果估計這三個方面感悟細化為數的意義、數的表示、數量關系，數的運算、數量的估計和數的問題解決這六個方面。教師對數感教學應從這六個方面入手，深入鉆研教材和數學課程標準，有意識地設計具體目標，提供有助于培養學生數感的情景，探索與之相適應的教學方法，把數感培養任務落實到具體教學過程。

(二)數感培養要從小開始，從基礎開始

數與數量、數量關系與運算結果估計主要分布在小學第一學段和第二學段。這部分內容是日后學習的基礎。史寧中教授就曾指出:“數感發展的關鍵期是小學低年級。”因此，數感培養要從小開始，從基礎開始。在小學甚至學前時期就要將學生數感培養滲透到教學中。

(三)數感培養要聯系生活實際

數學家弗賴登塔爾認為:“數學源于現實，寓于現實，用于現實。”數感具有抽象性，學生在小學階段要認識數，學習整數、分數、小數等抽象概念。如果像傳統教學那樣，由教師用“填鴨式”教學方式告訴學生這是什么，應該怎么樣，答案是什么，就完全割裂了知識與生活之間聯系，這些概念在學生頭腦中就只是一些符號，毫無實際意義。因此，在教學中要注意知識與生活實際聯系，讓學生接觸現實社會，緊密聯系日常生活，從而感受到數學無處不在。比如在認識10以內數時，可以讓學生通過觀察圖片，以及生活中像這些數字的實物來認識這些數，可以讓學生來聯想這些數還像什么，還可以讓學生用自己喜歡的方式表示這些數。

(四)在問題解決中培養數感

學習數學的最終目的在于應用數學解決實際問題，而且只有將知識運用于解決現實生活問題，才能真正理解它。因此，在數感教學中要讓學生更多地接觸和理解實際問題，要使學生學會從復雜的實際情境中發現問題，提出問題，并嘗試去解決問題。教師要將《標準》認真貫徹落實，設計一些綜合實踐活動幫助學生解決實際生活問題，進而培養學生數感。

另外，數感具有層次性和差異性特點。因此，在數感教學過程中，要遵循學生數感發展普遍規律，循序漸進進行數感教學，同時，還要遵循學生數感發展個體差異，因材施教。

“冰凍三尺非一日之寒，水滴石穿非一日之功”，學生數感培養不是一蹴而就的。教師在培養學生數感時既要結合具體教學內容，設計教學目標，又要以數感特點為指導，注重聯系生活實際。

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