學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)困難的原因分析

韓彩虹，李 略，龐琳娜

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西桂林，541004)

在大學(xué)高等數(shù)學(xué)是一門重要的公共基礎(chǔ)課，但補(bǔ)考率一直居高不下。補(bǔ)考的學(xué)生中也包括高考數(shù)學(xué)成績(jī)較好的學(xué)生。筆者曾在計(jì)算機(jī)軟件專業(yè)和教育技術(shù)專業(yè)的學(xué)生中做過(guò)問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，大部分學(xué)生認(rèn)為高等數(shù)學(xué)太抽象、太難，他們對(duì)解答極限的定義法證明、中值定理的證明等需要嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維和辯證思維的題目感到很困難，而對(duì)解答求導(dǎo)數(shù)、求極值等有固定步驟的題目感到比較容易。本文將分析造成這種現(xiàn)象的原因。

一、忽視了高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)內(nèi)容間的關(guān)系

進(jìn)入大學(xué)，學(xué)生剛初步接觸函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分這些內(nèi)容時(shí)往往覺(jué)得自己已經(jīng)學(xué)過(guò)了，于是課上不認(rèn)真聽(tīng)講、課下不復(fù)習(xí)總結(jié)。事實(shí)上他們對(duì)所學(xué)知識(shí)一知半解，當(dāng)進(jìn)入后面更深層次學(xué)習(xí)時(shí)就出現(xiàn)了“很難、不懂”的現(xiàn)象。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)嚴(yán)密的體系，章章相關(guān)、節(jié)節(jié)相聯(lián)，比如導(dǎo)數(shù)學(xué)得不好勢(shì)必會(huì)影響積分的學(xué)習(xí)，這樣就導(dǎo)致了學(xué)習(xí)的惡性循環(huán)，學(xué)生的成績(jī)下滑甚至不及格也是很自然的。

之所以出現(xiàn)這種情況是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)認(rèn)清高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容間的關(guān)系。高中數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，涉及函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分的概念，在課程內(nèi)容設(shè)置方面，這些都是為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備的。但高等數(shù)學(xué)又是高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展和延伸，為高中數(shù)學(xué)提供理論支持。比如高中學(xué)生會(huì)利用求導(dǎo)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，但其中的原理卻是在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)后理解的。如果大學(xué)教師在課前不強(qiáng)調(diào)高等數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的“發(fā)展和延伸”，學(xué)生很難在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)之初就發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。

例如，高中數(shù)學(xué)中只是提到如何求極限的值，卻沒(méi)有具體分析極限的含義，所以當(dāng)學(xué)生在高等數(shù)學(xué)教材中遇到N－ε定義及運(yùn)用時(shí)感到很陌生，有難度。再如導(dǎo)數(shù)的概念，高中數(shù)學(xué)沒(méi)有詳細(xì)闡述，只是要求學(xué)生會(huì)簡(jiǎn)單的求導(dǎo)運(yùn)算，到了大學(xué)則要求掌握導(dǎo)數(shù)概念及分析運(yùn)用、用隱函數(shù)求導(dǎo)等，如果學(xué)生由于“輕敵”沒(méi)有認(rèn)真學(xué)習(xí)，很難掌握這部分內(nèi)容。

在高中，學(xué)生已經(jīng)習(xí)慣了函數(shù)是一元的、圖形是等規(guī)則的、問(wèn)題是直觀形象的;到了大學(xué)，出現(xiàn)了多元函數(shù)、隱函數(shù)，圖形是空間曲面等不規(guī)則圖形，要以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問(wèn)題(如求重積分)，涉及微觀領(lǐng)域而且抽象。若沒(méi)有提前提醒學(xué)生這些區(qū)別，學(xué)生突然從一種模式進(jìn)入到另一中模式，會(huì)感到措手不及，需要較長(zhǎng)時(shí)間適應(yīng)。

高中數(shù)學(xué)討論的是個(gè)別問(wèn)題，一般是直接解決問(wèn)題;大學(xué)里討論的問(wèn)題普遍化，經(jīng)常要用辯證法等間接方法來(lái)解決問(wèn)題。例如微積分的學(xué)習(xí)，通過(guò)討論曲邊梯形的面積及變速直線運(yùn)動(dòng)的路程進(jìn)而提煉出更普遍的表達(dá)式——定積分。高等數(shù)學(xué)常用以直代曲、以有限代無(wú)限、以不變代變等方法先得到近似答案，再通過(guò)極限方法實(shí)現(xiàn)從近似到精確的過(guò)渡。

另外，現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)實(shí)行新課標(biāo)，而目前的大學(xué)數(shù)學(xué)教材是按舊的高中數(shù)學(xué)課標(biāo)編訂的，所以教學(xué)內(nèi)容的銜接過(guò)程中有脫節(jié)現(xiàn)象。例如反三角函數(shù)、極坐標(biāo)方面的知識(shí)，積化和差、和差化積的公式是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)必備的三個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，但這些知識(shí)點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)中只是提到了表示符號(hào)或已經(jīng)全部刪除，這勢(shì)必會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。除此以外，有些數(shù)學(xué)符號(hào)也有所變化，如“B?A”指B是A的真子集，“CAB”指是A中子集B的補(bǔ)集或余集，也可以寫作A/B，而習(xí)慣上用表示補(bǔ)集和用“?”表示真子集都是不規(guī)范的，是錯(cuò)誤的。

因此，大學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中針對(duì)高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接的深化部分、脫節(jié)內(nèi)容以及變化部分應(yīng)該提前說(shuō)明、及時(shí)補(bǔ)充，或指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)相關(guān)的內(nèi)容，這樣可以減少學(xué)生很多困惑。

二、學(xué)生不適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法

新課標(biāo)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)學(xué)生自主探究的教育理念，主要體現(xiàn)在新課標(biāo)中加入了數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模等多種以學(xué)生為主的新型教學(xué)模式，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)及競(jìng)賽是實(shí)施素質(zhì)教育的有效途徑。對(duì)于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)主要是提倡學(xué)生主動(dòng)探究，傳授的是用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的思想和方法。可見(jiàn)二者在教學(xué)方法上是一致的。但是由于高考的壓力所在，實(shí)際上高中數(shù)學(xué)的自主探索教學(xué)方法不能極大地發(fā)揮作用，跟大學(xué)里數(shù)學(xué)的教學(xué)方法相比還是有很大差異。

高中數(shù)學(xué)相對(duì)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容較具體，側(cè)重于計(jì)算，知識(shí)點(diǎn)較少，課時(shí)較多。一節(jié)課課本內(nèi)容只講1～2頁(yè)，新知識(shí)的講授時(shí)間大概只有15分鐘，余下的時(shí)間是做大量的例題和習(xí)題，甚至下節(jié)課還是本知識(shí)點(diǎn)的練習(xí)，這些練習(xí)題都是教師查閱很多資料挑選出來(lái)供學(xué)生練習(xí)的，而且教師會(huì)對(duì)每道題給出詳細(xì)的解答并總結(jié)解題思路及方法，方便記憶。到了大學(xué)，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，側(cè)重概念與原理的剖析，知識(shí)點(diǎn)較多，但課時(shí)數(shù)相對(duì)高中少很多。一節(jié)課下來(lái)，課本內(nèi)容講4～8頁(yè)，而且授課內(nèi)容中推理證明很多，課堂上沒(méi)有太多時(shí)間做練習(xí)。作為一線教師，筆者收到的學(xué)生評(píng)語(yǔ)多數(shù)是“講授太快，一節(jié)課上了高中時(shí)的3節(jié)課的內(nèi)容”，“請(qǐng)像高中老師一樣給我們多做練習(xí)題”，“能不能不講證明，好難啊”。其實(shí)是學(xué)生習(xí)慣了高中數(shù)學(xué)的“例題+練習(xí)”的教學(xué)方式，喜歡等教師給出結(jié)論，不愿意自己探究。在大學(xué)，教師只是引導(dǎo)者，更多的是需要學(xué)生自主探究，需要學(xué)生課后自己查閱相關(guān)知識(shí)，總結(jié)和歸納，這對(duì)學(xué)生知識(shí)遷移的能力提出較高要求。

學(xué)生們不適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法是造成他們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)困難、成績(jī)下滑的原因之一。此外高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)不同的思維方式也是一個(gè)原因。在高中階段，學(xué)生習(xí)慣了邏輯思維，例如求函數(shù)的解析式、最值等許多函數(shù)問(wèn)題，這均屬于對(duì)函數(shù)的靜態(tài)處理。而到了大學(xué)要學(xué)會(huì)運(yùn)用辯證思維，如連續(xù)性、定積分及重積分的定義就要用極限方法對(duì)函數(shù)作動(dòng)態(tài)分析。學(xué)生對(duì)這種利用近似認(rèn)識(shí)精確、從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限的辯證思維認(rèn)識(shí)不足，接受起來(lái)感覺(jué)困難。

三、學(xué)生沒(méi)有調(diào)整好學(xué)習(xí)方法

高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)都要把握好預(yù)習(xí)、聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)這幾個(gè)環(huán)節(jié)，并及時(shí)做總結(jié)歸納。在高中，學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)主要是背公式和定理，通過(guò)大量習(xí)題來(lái)強(qiáng)化解題能力。到了大學(xué)，簡(jiǎn)單的記憶是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，所學(xué)內(nèi)容多也使得進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練不現(xiàn)實(shí)。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)方法上沒(méi)有及時(shí)做出調(diào)整，勢(shì)必會(huì)影響高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效果，感覺(jué)數(shù)學(xué)難而成績(jī)下滑也是必然的。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)需要注意下面三個(gè)方面:

1.相比記憶公式定理來(lái)說(shuō)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法更重要。如歸納法、類比法、映射變換法等，以及一些處理特殊問(wèn)題的特殊技巧方法。掌握了這些方法以后，學(xué)生就可以舉一反三，融會(huì)貫通。例如理解了定積分的概念和性質(zhì)后，用類比的方法不難得出重積分的概念和部分性質(zhì)。當(dāng)然，在大學(xué)中數(shù)學(xué)符號(hào)很多，要熟練掌握數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，比如極限的N－ε語(yǔ)言。

3.相比記憶數(shù)學(xué)本身的知識(shí)來(lái)說(shuō)培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力更重要。大學(xué)生要通過(guò)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來(lái)逐漸培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)能力，包括空間想象能力、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力，邏輯思維能力等，比如參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽就是一次很好的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)能力和展現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的機(jī)會(huì)，這種類似的競(jìng)賽和活動(dòng)學(xué)生應(yīng)該多參加。

四、結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)內(nèi)容的變化、教學(xué)方法及思維方式的不適應(yīng)、學(xué)習(xí)方法沒(méi)有及時(shí)調(diào)整是導(dǎo)致很多學(xué)生感覺(jué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)困難、成績(jī)驟跌的原因。教師應(yīng)該做好下面幾方面的工作，來(lái)幫學(xué)生順利從高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

幫助學(xué)生調(diào)整學(xué)習(xí)方式、端正學(xué)習(xí)態(tài)度。教師指導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，提高學(xué)生自學(xué)能力;指導(dǎo)學(xué)生正確處理好抽象內(nèi)容與直觀模型的關(guān)系，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的有機(jī)聯(lián)系;適當(dāng)放慢教學(xué)進(jìn)度，插入部分聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)歸納總結(jié)。

講清楚高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的異同。第一節(jié)課要給學(xué)生們簡(jiǎn)單講述一下高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的脈絡(luò)、章節(jié)間的聯(lián)系，給他們一個(gè)高等數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架;告訴學(xué)生們高等數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的延伸和發(fā)展，同樣要研究高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)，而積分可以簡(jiǎn)單地看作求導(dǎo)過(guò)程的反向思維，由研究一元函數(shù)推廣到研究多元函數(shù)。這樣可以減少學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的恐懼，提高他們的興趣。教師特別要從內(nèi)容、教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法的不同上指導(dǎo)學(xué)生及時(shí)做出調(diào)整，讓學(xué)生及時(shí)補(bǔ)充知識(shí)，將高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接起來(lái)。

加強(qiáng)與學(xué)生的溝通和交流。教師通過(guò)與學(xué)生的溝通和交流了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，在教學(xué)進(jìn)度和方法上做適當(dāng)調(diào)整。由于大學(xué)里學(xué)生接觸得最多的是自己的同學(xué)，學(xué)生與學(xué)生之間的溝通和交流就變得很重要，因此要培養(yǎng)學(xué)生討論問(wèn)題的習(xí)慣，讓學(xué)生在討論中更深刻地理解知識(shí)和方法。

總的來(lái)說(shuō)，高等數(shù)學(xué)教師有必要給學(xué)生講清楚高等數(shù)學(xué)有什么用、與高中數(shù)學(xué)有什么異同、用什么方法學(xué)高等數(shù)學(xué)，以培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生能盡快適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，不再出現(xiàn)成績(jī)下滑或掛科現(xiàn)象。

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